Układy równań - MATeMAtyka 1 (ZR)

1.Jak rozwiązać zadanie tekstowe za pomocą równania z jedną niewiadomą?

Jedną z szukanych wielkości oznaczamy przez $x$, a drugą zapisujemy za pomocą $x$. Układamy równanie, rozwiązujemy je i sprawdzamy wynik w treści zadania. Np. na parkingu stoi 14 samochodów i motocykli, które mają razem 44 koła: $4x + 2(14 - x) = 44$, $2x + 28 = 44$, $x = 8$ - jest 8 samochodów i 6 motocykli.

2.Związek między drogą, prędkością i czasem

W ruchu ze stałą prędkością $s = v \cdot t$, gdzie $s$ - droga, $v$ - prędkość, $t$ - czas; stąd $v = \frac{s}{t}$ i $t = \frac{s}{v}$. Gdy dwa pojazdy wyjeżdżają jednocześnie naprzeciw siebie, do spotkania pokonują razem całą odległość, np. dla 75 km i prędkości $18~\mathrm{km/h}$ i $12~\mathrm{km/h}$: $18t + 12t = 75$, $t = 2{,}5~\mathrm{h}$.

3.Równanie z dwiema niewiadomymi

Równanie z dwiema niewiadomymi, np. $3x + 2y = 12$, jest spełnione przez nieskończenie wiele par liczb. Aby znaleźć taką parę, za $x$ wybieramy dowolną liczbę i wyznaczamy $y$, rozwiązując otrzymane równanie. Np. $x = 0$, $y = 6$; $x = 2$, $y = 3$; $x = -2$, $y = 9$.

4.Jak znaleźć pary liczb naturalnych dodatnich spełniające równanie z dwiema niewiadomymi?

Za jedną niewiadomą wstawiamy kolejne liczby naturalne dodatnie i sprawdzamy, czy druga też jest liczbą naturalną dodatnią. Np. dla $4x + 3y = 25$: $x = 1$ daje $y = 7$, $x = 4$ daje $y = 3$, dla $x = 2, 3, 5, 6$ liczba $y$ nie jest całkowita, a dla $x \geq 7$ jest ujemna - są dwie pary. Takich par może nie być wcale, np. dla $4x + 6y = 9$ lewa strona jest parzysta, a prawa nie.

5.Układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi

Układem dwóch równań z dwiema niewiadomymi (krótko: układem równań) nazywamy dwa jednocześnie rozpatrywane równania opisujące związek między tymi niewiadomymi. Zapisujemy je jedno pod drugim i łączymy klamrą, np. $\begin{cases} x + y = 8 \\ 4x - 3y = 11 \end{cases}$.

6.Rozwiązanie układu równań

Rozwiązanie układu równań to para liczb, która spełnia jednocześnie oba równania. Sprawdzamy to, podstawiając liczby do każdego z równań. Np. para $x = 5$, $y = 3$ jest rozwiązaniem układu $\begin{cases} x + y = 8 \\ 4x - 3y = 11 \end{cases}$, bo $5 + 3 = 8$ i $20 - 9 = 11$, a para $x = 6$, $y = 2$ nie jest, bo spełnia tylko pierwsze równanie ($24 - 6 = 18$).

7.Jak zapisać treść zadania w postaci układu równań?

Oznaczamy dwie niewiadome i każdą informację z treści zapisujemy jako osobne równanie. Np. „suma liczb jest równa 40, a pierwsza jest o 6 większa od drugiej”: $x + y = 40$ i $x = y + 6$; „$a$ jest trzy razy mniejsza od $b$”: $b = 3a$; „średnia arytmetyczna liczb wynosi 8”: $\frac{x + y}{2} = 8$; „$a$ stanowi 20% liczby $b$”: $a = 0{,}2b$.

8.Jak wyznaczyć parametry, aby dana para liczb była rozwiązaniem układu?

Podstawiamy liczby z tej pary do obu równań i rozwiązujemy otrzymane równania, w których niewiadomymi są parametry. Np. para $x = -2$, $y = 3$ ma spełniać układ $\begin{cases} mx + 2y = 4 \\ 3x - ny = 9 \end{cases}$: $-2m + 6 = 4$, więc $m = 1$, oraz $-6 - 3n = 9$, więc $n = -5$.

9.Metoda podstawiania

1) Z jednego równania wyznaczamy jedną niewiadomą. 2) Otrzymane wyrażenie podstawiamy w jej miejsce w drugim równaniu. 3) Rozwiązujemy równanie z jedną niewiadomą. 4) Obliczamy drugą niewiadomą. 5) Sprawdzamy rozwiązanie w obu równaniach. Np. dla $\begin{cases} x + 2y = 4 \\ 3x - y = 5 \end{cases}$ wyznaczamy $y = 3x - 5$ i otrzymujemy $x = 2$, $y = 1$ (rysunek).

10.Którą niewiadomą wyznaczyć w metodzie podstawiania?

Wybór niewiadomej i równania, z którego ją wyznaczamy, nie wpływa na rozwiązanie układu - kierujemy się łatwością obliczeń. Najwygodniej wyznaczyć niewiadomą o współczynniku 1 lub $-1$, bo unikamy ułamków. Np. z równania $5x - y = 2$ wyznaczamy $y = 5x - 2$, a nie $x = \frac{y + 2}{5}$.

11.Równoważne układy równań

Równoważne układy równań to układy, które mają to samo rozwiązanie (są spełnione przez tę samą parę liczb). Otrzymujemy je, przekształcając równania układu w równania równoważne, np. mnożąc obie strony równania przez liczbę różną od zera. Na dowolnym etapie rozwiązywania możemy też zamienić równania miejscami.

12.Jak rozwiązać układ, w którym niewiadome występują po obu stronach równań?

Najpierw doprowadzamy każde równanie do prostszej postaci: opuszczamy nawiasy, niewiadome przenosimy na lewą stronę, a liczby na prawą i redukujemy wyrazy podobne. Potem rozwiązujemy układ wybraną metodą. Np. $3x + y = 2y + 1$ zapisujemy jako $3x - y = 1$, a $2(x - y) = x + 4$ jako $x - 2y = 4$.

13.Jak rozwiązać układ z ułamkami?

Równanie z ułamkami mnożymy obustronnie przez wspólny mianownik (najlepiej najmniejszy), mnożąc przez niego każdy wyraz, także po prawej stronie. Licznik złożony z kilku wyrazów bierzemy w nawias. Np. $\frac{x}{2} - \frac{y - 3}{4} = 1$ mnożymy przez 4: $2x - (y - 3) = 4$, czyli $2x - y + 3 = 4$, $2x - y = 1$.

14.Kiedy metoda podstawiania pokazuje, że układ nie ma rozwiązań?

Gdy po podstawieniu otrzymamy równanie sprzeczne, np. $0y = 1$ - nie spełnia go żadna liczba, więc żadna para liczb nie spełnia układu. Np. dla $\begin{cases} x + 3y = 2 \\ 2x + 6y = 5 \end{cases}$: $x = 2 - 3y$, $2(2 - 3y) + 6y = 5$, $4 - 6y + 6y = 5$, czyli $0y = 1$.

15.Kiedy metoda podstawiania pokazuje, że układ ma nieskończenie wiele rozwiązań?

Gdy po podstawieniu otrzymamy równanie $0x = 0$ (czyli $0 = 0$), spełnione przez każdą liczbę. O rozwiązaniach decyduje wtedy drugie równanie, z obiema niewiadomymi, które spełnia nieskończenie wiele par. Np. dla $\begin{cases} 10x + 5y = 15 \\ y = 3 - 2x \end{cases}$: $10x + 5(3 - 2x) = 15$, $0x = 0$; układ spełniają m.in. pary $x = 0$, $y = 3$ oraz $x = 2$, $y = -1$.

16.Układ równań liniowych

Układ równań $\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$, gdzie $a_1 \neq 0$ lub $b_1 \neq 0$ oraz $a_2 \neq 0$ lub $b_2 \neq 0$, nazywamy układem równań liniowych. Np. układ z równaniami $2x = 5$ (czyli $2x + 0y = 5$) i $x - y = 1$ jest liniowy, a układ z równaniem $xy = 3$ - nie.

17.Układ oznaczony, nieoznaczony i sprzeczny

Układ równań liniowych, którego rozwiązaniem jest jedna para liczb, nazywamy układem oznaczonym. Układ, który ma nieskończenie wiele rozwiązań, to układ nieoznaczony, a układ, który nie ma ani jednego rozwiązania - układ sprzeczny. Np. $x + y = 5$ i $x - y = 1$ tworzą układ oznaczony, $x + y = 5$ i $3x + 3y = 15$ - nieoznaczony, a $x + y = 5$ i $x + y = 1$ - sprzeczny (rysunek).

18.Jak dopisać drugie równanie, aby układ był nieoznaczony, sprzeczny albo oznaczony?

Dla równania $2x + 5y = 3$: układ nieoznaczony da równanie powstałe przez pomnożenie obu stron danego równania przez tę samą liczbę różną od zera, np. $4x + 10y = 6$; sprzeczny - równanie z tak samo pomnożoną lewą stroną, ale inną prawą stroną, np. $4x + 10y = 7$; oznaczony - równanie, którego lewej strony nie da się otrzymać, mnożąc lewą stronę danego równania przez liczbę, np. $x - y = 5$.

19.Jak rozwiązać układ, który po zastosowaniu wzorów skróconego mnożenia staje się liniowy?

Stosujemy wzory, np. $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, opuszczamy nawiasy i redukujemy wyrazy podobne - w takich układach kwadraty niewiadomych się redukują i zostaje układ równań liniowych. Np. $(x + 3)^2 - x^2 = 2y + 1$ daje $x^2 + 6x + 9 - x^2 = 2y + 1$, czyli $3x - y = -4$.

20.Jak zbadać liczbę rozwiązań układu z parametrem?

Metodą podstawiania wyznaczamy niewiadomą z równania, w którym jej współczynnik nie zależy od parametru, i dochodzimy do równania postaci $a \cdot y = b$, gdzie $a$ i $b$ zależą od parametru. Gdy $a \neq 0$, układ jest oznaczony; gdy $a = 0$ i $b = 0$ - nieoznaczony; gdy $a = 0$ i $b \neq 0$ - sprzeczny. Np. $\begin{cases} x + my = 4 \\ mx + 9y = 12 \end{cases}$ daje $(9 - m^2)y = 12 - 4m$: dla $m = 3$ układ jest nieoznaczony, dla $m = -3$ sprzeczny, a dla pozostałych $m$ oznaczony.

21.Jak rozwiązać układ równań z $x^2$ i $y^2$?

Traktujemy $x^2$ i $y^2$ jak niewiadome i rozwiązujemy układ jak liniowy. Potem pamiętamy, że równanie $x^2 = a$ dla $a > 0$ ma dwa rozwiązania: $\sqrt{a}$ i $-\sqrt{a}$. Np. dla $\begin{cases} x^2 + y^2 = 34 \\ x^2 - y^2 = 16 \end{cases}$ po dodaniu stronami $2x^2 = 50$, więc $x^2 = 25$, $y^2 = 9$: $x = 5$ lub $x = -5$, $y = 3$ lub $y = -3$ - układ ma cztery rozwiązania.

22.Metoda przeciwnych współczynników

1) Mnożymy jedno lub oba równania przez takie liczby, aby współczynniki przy jednej niewiadomej były liczbami przeciwnymi. 2) Dodajemy równania stronami - ta niewiadoma znika. 3) Rozwiązujemy równanie z jedną niewiadomą. 4) Wynik podstawiamy do jednego z równań układu i obliczamy drugą niewiadomą. Np. dla $\begin{cases} 5x + 2y = 1 \\ x - 4y = 9 \end{cases}$ mnożymy drugie równanie przez $-5$ i otrzymujemy $y = -2$, $x = 1$ (rysunek).

23.Kiedy w metodzie przeciwnych współczynników mnożymy oba równania?

Gdy po pomnożeniu tylko jednego równania przez liczbę całkowitą nie otrzymamy przeciwnych współczynników. Wtedy przy wybranej niewiadomej tworzymy wspólną wielokrotność jej współczynników z przeciwnymi znakami. Np. dla $\begin{cases} 3x + 4y = 10 \\ 2x + 3y = 7 \end{cases}$ pierwsze mnożymy przez 2, a drugie przez $-3$: $6x + 8y = 20$ i $-6x - 9y = -21$, stąd $-y = -1$, $y = 1$, $x = 2$.

24.Czy rozwiązanie układu zależy od wybranej metody?

Nie. Rozwiązanie układu nie zależy od wyboru metody ani od kolejności równań, którą można zmienić na każdym etapie. W metodzie podstawiania nie zależy od tego, którą niewiadomą i z którego równania wyznaczymy, a w metodzie przeciwnych współczynników - od tego, którą niewiadomą redukujemy.

25.Jak metodą przeciwnych współczynników rozpoznać układ sprzeczny?

Po dodaniu równań stronami znikają obie niewiadome i otrzymujemy równanie sprzeczne $0x + 0y = c$, gdzie $c \neq 0$ (można je zapisać np. $0 = 5$). Nie spełnia go żadna para liczb, więc układ jest sprzeczny. Np. dla $\begin{cases} 2x - 3y = 1 \\ -4x + 6y = 3 \end{cases}$ mnożymy pierwsze równanie przez 2 i po dodaniu stronami mamy $0x + 0y = 5$.

26.Jak metodą przeciwnych współczynników rozpoznać układ nieoznaczony i jak zapisać jego rozwiązanie?

Po dodaniu równań stronami otrzymujemy równanie tożsamościowe $0x + 0y = 0$, które spełnia każda para liczb. Układ jest nieoznaczony, a jego rozwiązania wyznacza drugie równanie - wyznaczamy z niego $y$. Np. dla $\begin{cases} 6x - 3y = 9 \\ -2x + y = -3 \end{cases}$ (drugie mnożymy przez 3) rozwiązanie zapisujemy: $\begin{cases} x \in \mathbb{R} \\ y = 2x - 3 \end{cases}$.

27.Jak wyznaczyć parametr, dla którego rozwiązaniem układu jest para liczb ujemnych, przeciwnych lub o przeciwnych znakach?

Rozwiązujemy układ, wyrażając $x$ i $y$ za pomocą parametru. Dla pary liczb ujemnych zapisujemy warunki $x < 0$ i $y < 0$ i bierzemy część wspólną rozwiązań, dla pary liczb przeciwnych - warunek $x + y = 0$, a dla pary liczb o przeciwnych znakach rozpatrujemy dwa przypadki: $x > 0$ i $y < 0$ albo $x < 0$ i $y > 0$. Np. $\begin{cases} x + y = m \\ x - y = 4 \end{cases}$ daje $x = \frac{m + 4}{2}$, $y = \frac{m - 4}{2}$: para liczb ujemnych dla $m < -4$, przeciwnych dla $m = 0$, o przeciwnych znakach dla $m \in (-4; 4)$.

28.Jak rozwiązać zadanie tekstowe za pomocą układu równań?

1) Oznaczamy niewiadome (z jednostkami). 2) Każdą informację z treści zapisujemy jako równanie i tworzymy układ. 3) Rozwiązujemy układ. 4) Sprawdzamy wynik w treści zadania i to, czy ma sens (np. liczba osób musi być naturalna). 5) Zapisujemy odpowiedź. Np. w klasie jest 26 osób, a dziewcząt jest o 2 mniej niż chłopców: $d + c = 26$, $d = c - 2$, stąd $c = 14$, $d = 12$ (rysunek).

29.Jak ułożyć układ w zadaniu o liczbie sztuk i ich łącznej wartości?

Jedno równanie opisuje łączną liczbę sztuk (kursów, monet, biletów), a drugie - łączną wartość, masę albo kwotę: cena (masa, nominał) jednej sztuki razy liczba sztuk. Np. 20 biletów po 15 zł i po 25 zł kosztowało razem 420 zł: $\begin{cases} x + y = 20 \\ 15x + 25y = 420 \end{cases}$, stąd $x = 8$, $y = 12$.

30.Jak ułożyć układ w zadaniu o wieku?

Wygodnie jest zrobić tabelę: jeśli obecnie osoby mają $x$ i $y$ lat, to $n$ lat temu miały $x - n$ i $y - n$, a za $k$ lat będą miały $x + k$ i $y + k$ - każdej osobie przybywa tyle samo lat. Np. Kuba jest o 6 lat starszy od Ani, a 2 lata temu był od niej trzy razy starszy: $\begin{cases} k = a + 6 \\ k - 2 = 3(a - 2) \end{cases}$, stąd $a = 5$, $k = 11$.

31.Jak zapisać liczbę dwucyfrową w zadaniu o jej cyfrach?

Liczba o cyfrze dziesiątek $a$ i cyfrze jedności $b$ jest równa $10a + b$ (przy czym $a \neq 0$), a po przestawieniu cyfr - $10b + a$. Np. suma cyfr jest równa 11, a po przestawieniu cyfr liczba zwiększa się o 27: $\begin{cases} a + b = 11 \\ (10b + a) - (10a + b) = 27 \end{cases}$, stąd $b - a = 3$, $a = 4$, $b = 7$ - to liczba 47.

32.Stężenie procentowe roztworu

Stężenie procentowe roztworu określa, jaki procent masy całego roztworu stanowi masa rozpuszczonej substancji. Roztwór soli nazywamy solanką. Masę substancji obliczamy, mnożąc stężenie przez masę roztworu, np. 40 kg solanki o stężeniu 3% zawiera $0{,}03 \cdot 40 = 1{,}2~\mathrm{kg}$ soli.

33.Jak ułożyć układ w zadaniu o mieszaniu roztworów?

Jedno równanie opisuje masy roztworów: $x + y = m$, a drugie - masy substancji rozpuszczonej: $p_1 \cdot x + p_2 \cdot y = p \cdot m$, gdzie stężenia zapisujemy jako ułamki dziesiętne. Np. aby z solanek 10-procentowej i 4-procentowej otrzymać 60 kg solanki 6-procentowej: $\begin{cases} x + y = 60 \\ 0{,}1x + 0{,}04y = 3{,}6 \end{cases}$, stąd $x = 20~\mathrm{kg}$, $y = 40~\mathrm{kg}$.

34.Jak zapisać w równaniu procent danej wielkości, np. odsetki z lokaty?

$p\%$ liczby $x$ to $\frac{p}{100} \cdot x$, wielkość zwiększona o $p\%$ to $\left(1 + \frac{p}{100}\right) \cdot x$, a zmniejszona o $p\%$ - $\left(1 - \frac{p}{100}\right) \cdot x$. Np. 5000 zł wpłacono na dwie roczne lokaty oprocentowane 2% i 5%, a odsetki wyniosły razem 190 zł: $\begin{cases} x + y = 5000 \\ 0{,}02x + 0{,}05y = 190 \end{cases}$, stąd $x = 2000$ zł, $y = 3000$ zł.

35.Prędkość własna łodzi

Prędkość własna łodzi to prędkość, jaką osiąga łódź na stojącej wodzie. Jeśli $v$ to prędkość własna łodzi, a $v_p$ - prędkość prądu rzeki, to łódź płynąca z prądem porusza się z prędkością $v + v_p$, a płynąca pod prąd - z prędkością $v - v_p$.

36.Jak obliczyć prędkość własną łodzi i prędkość prądu rzeki?

Zakładamy, że prędkości są stałe. Z drogi i czasu obliczamy prędkość łodzi z prądem i pod prąd (prędkość = droga : czas), układamy układ $\begin{cases} v + v_p = a \\ v - v_p = b \end{cases}$ i dodajemy równania stronami. Np. 40 km z prądem w 2 h i pod prąd w 2,5 h: $v + v_p = 20$, $v - v_p = 16$, stąd $2v = 36$, $v = 18~\mathrm{km/h}$, $v_p = 2~\mathrm{km/h}$.

37.Jak ułożyć układ, gdy drugi pojazd wyrusza później i dogania pierwszy?

W chwili dogonienia oba pojazdy przebyły tę samą drogę, ale pierwszy jechał dłużej o czas opóźnienia drugiego. Np. drugi rowerzysta jedzie o 6 km/h szybciej, wyrusza z tego samego miejsca 2 godziny później i dogania pierwszego po 4 h jazdy: $\begin{cases} v_2 = v_1 + 6 \\ 6v_1 = 4v_2 \end{cases}$, stąd $v_1 = 12~\mathrm{km/h}$, $v_2 = 18~\mathrm{km/h}$.

38.Jak rozwiązać zadanie z trzema niewiadomymi za pomocą układu dwóch równań?

Korzystając z treści, jedną niewiadomą opisujemy za pomocą pozostałych i otrzymujemy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi. Na koniec obliczamy trzecią niewiadomą i sprawdzamy warunki zadania. Np. 12 zeszytów po 3 zł, 4 zł i 6 zł kosztowało 50 zł, a zeszytów po 6 zł jest tyle samo, co po 3 zł: $z = x$, więc $\begin{cases} 2x + y = 12 \\ 9x + 4y = 50 \end{cases}$, stąd $x = 2$, $y = 8$, $z = 2$ (rysunek).