Przesuwanie wykresu i proporcjonalność odwrotna - MATeMAtyka 1 (ZP)

1.Przesunięcie wykresu wzdłuż osi $OY$

Wykres funkcji $y = f(x) + q$ dla $q > 0$ otrzymujemy przez przesunięcie wykresu funkcji $y = f(x)$ o $q$ jednostek w górę wzdłuż osi $OY$, a wykres funkcji $y = f(x) - q$ - o $q$ jednostek w dół. Każdy punkt $(x, y)$ wykresu przechodzi wtedy na punkt $(x, y + q)$ albo $(x, y - q)$. Np. wykres $y = 2x - 1$ to wykres $y = 2x$ przesunięty o 1 jednostkę w dół.

2.Jak zmieniają się dziedzina, zbiór wartości i miejsca zerowe po przesunięciu wykresu wzdłuż osi $OY$?

Dziedzina się nie zmienia, bo argumenty zostają te same. Zbiór wartości przesuwa się tak samo jak wykres: gdy $f(D) = [-2; 5]$, to funkcja $y = f(x) + 3$ ma zbiór wartości $[1; 8]$. Miejsca zerowe na ogół się zmieniają - odczytujemy je z nowego wykresu.

3.Wykres funkcji $y = |x| + q$

To wykres funkcji $y = |x|$ przesunięty wzdłuż osi $OY$ tak, że wierzchołek trafia do punktu $(0, q)$; zbiór wartości to $[q; \infty)$. Np. funkcja $y = |x| - 1$ ma wierzchołek $(0, -1)$, zbiór wartości $[-1; \infty)$ i miejsca zerowe $-1$ i $1$ (rysunek).

4.Wykres funkcji $y = x^2 + q$ i liczba rozwiązań równania $x^2 + q = m$

Wykres $y = x^2 + q$ to parabola $y = x^2$ przesunięta wzdłuż osi $OY$, o wierzchołku $(0, q)$ i zbiorze wartości $[q; \infty)$. Prosta $y = m$ ma z nią dwa punkty wspólne dla $m > q$, jeden dla $m = q$, a dla $m < q$ nie ma żadnego - tyle rozwiązań ma równanie $x^2 + q = m$. Np. równanie $x^2 - 4 = m$ ma dwa rozwiązania dla $m > -4$ (rysunek).

5.Przesunięcie wykresu wzdłuż osi $OX$

Wykres funkcji $y = f(x - p)$ dla $p > 0$ otrzymujemy przez przesunięcie wykresu funkcji $y = f(x)$ o $p$ jednostek w prawo wzdłuż osi $OX$, a wykres funkcji $y = f(x + p)$ - o $p$ jednostek w lewo. Uwaga na znak: $y = (x - 3)^2$ to parabola $y = x^2$ przesunięta o 3 jednostki w prawo, z wierzchołkiem $(3, 0)$ (rysunek).

6.Dlaczego wykres funkcji $y = f(x - p)$, gdzie $p > 0$, powstaje przez przesunięcie w prawo, a nie w lewo?

Funkcja $y = f(x - p)$ przyjmuje każdą wartość dla argumentu o $p$ większego niż funkcja $f$. Np. $y = x^2$ przyjmuje wartość 0 dla $x = 0$ i wartość 4 dla $x = 2$, a $y = (x - 3)^2$ - wartość 0 dla $x = 3$ i wartość 4 dla $x = 5$. Każdy punkt $(x, y)$ wykresu przechodzi więc na punkt $(x + p, y)$.

7.Jak zmieniają się dziedzina, zbiór wartości i miejsca zerowe po przesunięciu wykresu wzdłuż osi $OX$?

Dla $y = f(x - p)$, gdzie $p > 0$, do każdej liczby z dziedziny i do każdego miejsca zerowego dodajemy $p$, a dla $y = f(x + p)$ - odejmujemy $p$. Zbiór wartości się nie zmienia. Np. łamana $ABC$ to wykres $f: [-4; -1] \to \mathbb{R}$ z miejscem zerowym $-4$, a łamana $A'B'C'$ - wykres $g(x) = f(x - 5)$ o dziedzinie $[1; 4]$ i miejscu zerowym 1; obie funkcje mają zbiór wartości $[0; 2]$ (rysunek).

8.Jak odczytać przesunięcie wzdłuż osi $OX$, gdy przy $x$ stoi współczynnik, np. $y = |4x + 8|$?

Wyłączamy współczynnik przy $x$ przed nawias: $|4x + 8| = |4(x + 2)|$. Zatem $y = f(x + 2)$ dla $f(x) = |4x|$, czyli wykres funkcji $f$ przesunięty o 2 jednostki w lewo, a nie o 8. Miejscem zerowym jest $-2$, bo $|4 \cdot (-2) + 8| = 0$.

9.Wzór funkcji po przesunięciu wykresu wzdłuż obu osi

Przesuwając wykres funkcji $y = f(x)$ o $a$ jednostek w prawo i o $b$ jednostek w górę ($a > 0$, $b > 0$), otrzymujemy wykres funkcji $y = f(x - a) + b$. Przy przesunięciu w lewo piszemy $x + a$, a przy przesunięciu w dół odejmujemy $b$. Np. wykres $y = |x|$ przesunięty o 4 jednostki w prawo i o 2 w dół to wykres $y = |x - 4| - 2$.

10.Jak naszkicować wykres funkcji $y = (x - p)^2 + q$?

Wykres $y = x^2$ przesuwamy najpierw wzdłuż osi $OX$ (w prawo, gdy $p > 0$), a potem otrzymany wykres wzdłuż osi $OY$ (w górę, gdy $q > 0$). Wierzchołkiem paraboli jest punkt $(p, q)$. Np. $y = (x + 1)^2 - 4$: przesunięcie o 1 jednostkę w lewo i o 4 w dół, wierzchołek $(-1, -4)$, miejsca zerowe $-3$ i $1$ (rysunek).

11.Wykres funkcji $y = |x - p| + q$

To wykres $y = |x|$ przesunięty tak, że wierzchołek trafia do punktu $(p, q)$; zbiór wartości to $[q; \infty)$. Np. $y = |x + 2| - 1$: przesunięcie o 2 jednostki w lewo i o 1 w dół, wierzchołek $(-2, -1)$, zbiór wartości $[-1; \infty)$, miejsca zerowe $-3$ i $-1$ (rysunek).

12.Proporcjonalność odwrotna

Funkcję postaci $y = \frac{a}{x}$, gdzie $x > 0$ oraz $a \in \mathbb{R}_+$, nazywamy proporcjonalnością odwrotną. Wielkości $x$ i $y$ nazywamy odwrotnie proporcjonalnymi, a liczbę $a$ - współczynnikiem proporcjonalności odwrotnej. Np. funkcja $y = \frac{7}{x}$, gdzie $x > 0$, ma współczynnik 7.

13.Iloczyn wielkości odwrotnie proporcjonalnych

Jeśli wielkości $x$ i $y$ są odwrotnie proporcjonalne, to ich iloczyn jest stały i równy współczynnikowi proporcjonalności: $x \cdot y = a$. Dlatego wzór proporcjonalności odwrotnej możemy zapisać w postaci $x \cdot y = a$. Np. dla $y = \frac{20}{x}$: $2 \cdot 10 = 4 \cdot 5 = 20$.

14.Jak wyznaczyć wzór proporcjonalności odwrotnej, gdy znamy jedną parę wartości?

Mnożymy znane wartości, bo $x \cdot y = a$. Np. gdy wielkości są odwrotnie proporcjonalne i $y = 10$ dla $x = 3$, to $a = 3 \cdot 10 = 30$, więc $y = \frac{30}{x}$. Dla $x = 5$ otrzymujemy $y = \frac{30}{5} = 6$.

15.Jak zmienia się jedna z wielkości odwrotnie proporcjonalnych, gdy druga rośnie?

Wraz ze wzrostem jednej z nich druga proporcjonalnie maleje: gdy $x$ wzrośnie $k$ razy, to $y$ zmaleje $k$ razy. Np. dla $y = \frac{18}{x}$: przy $x = 2$ jest $y = 9$, a przy trzy razy większym $x = 6$ jest $y = 3$, czyli trzy razy mniej.

16.Wykres proporcjonalności odwrotnej $y = \frac{a}{x}$

Wykres leży w I ćwiartce układu współrzędnych i opada od lewej do prawej. Dla $x$ bliskich 0 zbliża się do osi $OY$, a dla dużych $x$ - do osi $OX$, ale żadnej z osi nie przecina. Np. do wykresu $y = \frac{15}{x}$ należą punkty $(1, 15)$, $(3, 5)$, $(5, 3)$ i $(15, 1)$ (rysunek).

17.Punkty o obu współrzędnych całkowitych na wykresie $y = \frac{a}{x}$

Gdy $a$ jest liczbą naturalną, odcięte takich punktów są dzielnikami naturalnymi liczby $a$, a rzędne są równe $\frac{a}{x}$. Np. do wykresu $y = \frac{10}{x}$ należą dokładnie cztery takie punkty: $(1, 10)$, $(2, 5)$, $(5, 2)$ i $(10, 1)$.

18.Boki prostokąta o stałym polu

Długości $x$ i $y$ boków prostokąta o ustalonym polu $P$ są odwrotnie proporcjonalne: $x \cdot y = P$, czyli $y = \frac{P}{x}$. Jeśli punkt $(x, y)$ leży na wykresie $y = \frac{P}{x}$, to prostokąt o przeciwległych wierzchołkach $(0, 0)$ i $(x, y)$ oraz bokach na osiach ma pole $P$, np. dla $P = 16$: $1 \cdot 16 = 2 \cdot 8 = 4 \cdot 4 = 16$.

19.Cena i liczba kilogramów towaru kupionego za stałą kwotę

Jeśli za stałą kwotę $k$ zł kupujemy towar po cenie $x$ zł za kilogram, to liczba kupionych kilogramów $y$ jest odwrotnie proporcjonalna do ceny: $x \cdot y = k$, czyli $y = \frac{k}{x}$. Np. za 30 zł kupimy 5 kg towaru po 6 zł za kilogram albo 3 kg po 10 zł.

20.Czas, droga i średnia prędkość

Czas $t$ potrzebny do przebycia drogi $s$ ze średnią prędkością $v$ wyraża się wzorem $t = \frac{s}{v}$. Przy stałej drodze czas i prędkość są odwrotnie proporcjonalne, np. trasę $120~\mathrm{km}$ pokonamy w 2 h z prędkością $60~\mathrm{km/h}$, a w 3 h z prędkością $40~\mathrm{km/h}$.

21.Jak wyznaczyć miejsca zerowe funkcji określonej kilkoma wzorami?

Każdy wzór przyrównujemy do zera, rozwiązujemy równanie i sprawdzamy, czy rozwiązanie należy do przedziału, w którym ten wzór obowiązuje (rysunek). Np. dla $f(x) = \begin{cases} 2x + 6 & \text{dla } x \in (-\infty; -1) \\ 3 - x & \text{dla } x \in [-1; 2] \end{cases}$: $x = -3 \in (-\infty; -1)$, ale $x = 3 \notin [-1; 2]$, więc $f$ ma jedno miejsce zerowe: $-3$. Liczbę miejsc zerowych można też odczytać z wykresu.

22.Jak obliczyć wartość funkcji określonej kilkoma wzorami dla argumentu niewymiernego?

Najpierw ustalamy, do którego przedziału należy argument, np. porównując kwadraty liczb dodatnich: $\sqrt{7} < 3$, bo $7 < 9$. Potem liczymy wartość ze wzoru obowiązującego w tym przedziale. Np. gdy $f(x) = x^2$ dla $x \in (-\infty; 3)$ i $f(x) = 2x$ dla $x \in [3; \infty)$, to $f(\sqrt{7}) = (\sqrt{7})^2 = 7$.