Pojęcie funkcji, wykres i własności - MATeMAtyka 1 (ZP)

1.Funkcja

Funkcją ze zbioru $X$ w zbiór $Y$ nazywamy przyporządkowanie, w którym każdemu elementowi $x \in X$ odpowiada dokładnie jeden element $y \in Y$. Np. przyporządkowanie każdej liczbie ze zbioru $\{1, 2, 3, 4\}$ liczby o 5 większej jest funkcją.

2.Dziedzina funkcji i argumenty

Dziedziną funkcji ze zbioru $X$ w zbiór $Y$ jest zbiór $X$, czyli zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja jest określona. Elementy dziedziny nazywamy argumentami. Dziedzinę funkcji $f$ oznaczamy przez $D$ lub $D_f$.

3.Przeciwdziedzina i wartości funkcji

Przeciwdziedziną funkcji ze zbioru $X$ w zbiór $Y$ jest zbiór $Y$. Element zbioru $Y$ przyporządkowany jakiemuś argumentowi nazywamy wartością funkcji. Nie każdy element przeciwdziedziny musi być wartością: dla $f: \{-2, -1, 0, 1\} \to \{0, 1, 2, 3\}$, $f(x) = |x|$ liczba 3 nie jest wartością, a wartość 1 funkcja przyjmuje dla $x = -1$ i $x = 1$.

4.Co oznaczają zapisy $f: X \to Y$ i $f(x)$?

Zapis $f: X \to Y$ oznacza funkcję $f$ ze zbioru $X$ w zbiór $Y$, a $f(x)$ - wartość, jaką funkcja $f$ przyjmuje dla argumentu $x$. Np. $f(3) = -1$ czytamy „$f$ od 3 jest równe $-1$” - dla argumentu 3 funkcja przyjmuje wartość $-1$. Funkcje oznaczamy zwykle małymi literami: $f$, $g$, $h$.

5.Kiedy przyporządkowanie nie jest funkcją?

Gdy jakiemuś elementowi zbioru $X$ nie przyporządkowano żadnego elementu zbioru $Y$ albo przyporządkowano mu więcej niż jeden element. Na grafie funkcji z każdego elementu zbioru $X$ wychodzi dokładnie jedna strzałka, a do elementu zbioru $Y$ może prowadzić kilka strzałek albo żadna.

6.Miejsce zerowe funkcji

Miejscem zerowym funkcji $f$ nazywamy taki argument $x$, dla którego $f(x) = 0$. Np. funkcja określona na zbiorze $\{-3, 0, 2, 5\}$ wartościami $f(-3) = 0$, $f(0) = 2$, $f(2) = 0$, $f(5) = 4$ ma dwa miejsca zerowe: $-3$ i $2$. Miejsce zerowe jest argumentem, a nie wartością funkcji.

7.Prostokątny układ współrzędnych

To dwie prostopadłe osie liczbowe o wspólnym początku $O$: pozioma oś $OX$, czyli oś odciętych, i pionowa oś $OY$, czyli oś rzędnych. Każdy punkt płaszczyzny jest jednoznacznie określony przez parę współrzędnych $(x, y)$: pierwsza to odcięta, druga to rzędna. Np. punkt $(-2, 5)$ ma odciętą $-2$ i rzędną $5$.

8.Ćwiartki układu współrzędnych

Osie dzielą płaszczyznę na cztery ćwiartki, oznaczane cyframi rzymskimi i numerowane przeciwnie do ruchu wskazówek zegara (rysunek). W I ćwiartce $x > 0$ i $y > 0$, w II $x < 0$ i $y > 0$, w III $x < 0$ i $y < 0$, w IV $x > 0$ i $y < 0$. Punkty leżące na osiach nie należą do żadnej ćwiartki.

9.Punkt kratowy

Punktem kratowym nazywamy punkt, którego obie współrzędne są liczbami całkowitymi, np. $(-3, 4)$ albo $(0, -2)$. Punkt $\left(\frac{1}{2}, 3\right)$ nie jest punktem kratowym, bo jego odcięta nie jest liczbą całkowitą.

10.Funkcja liczbowa i jej wykres

Funkcja liczbowa to funkcja, której argumenty i wartości są liczbami. Wykresem funkcji $f: X \to Y$ nazywamy zbiór wszystkich punktów $(x, y)$ takich, że $x \in X$ oraz $y = f(x)$. Np. dla $f(x) = 2x - 1$ o dziedzinie $\{0, 1, 2, 3\}$ wykres to cztery punkty: $(0, -1)$, $(1, 1)$, $(2, 3)$, $(3, 5)$ (rysunek).

11.Sposoby przedstawiania funkcji

Funkcję możemy przedstawić za pomocą opisu słownego, grafu, tabeli, wykresu lub wzoru. Np. opis „każdej liczbie rzeczywistej $x$ przyporządkowujemy liczbę o 4 mniejszą” zapisujemy wzorem $f(x) = x - 4$ albo $y = x - 4$, gdzie dziedziną jest $\mathbb{R}$.

12.Jak naszkicować wykres funkcji $f(x) = ax + b$ o dziedzinie $[x_1; x_2]$?

Wykresem jest odcinek. Obliczamy $f(x_1)$ i $f(x_2)$, zaznaczamy punkty $(x_1, f(x_1))$ i $(x_2, f(x_2))$ pełnymi kółkami i łączymy je. Np. dla $f(x) = 3x - 2$, $x \in [-1; 2]$: $f(-1) = -5$, $f(2) = 4$ (rysunek). Gdy dziedziną jest przedział otwarty, wykres to odcinek bez końców - końce zaznaczamy pustymi kółkami.

13.Wykres funkcji $f(x) = ax + b$, gdy dziedziną jest $\mathbb{R}$ albo przedział nieograniczony

Dla dziedziny $\mathbb{R}$ wykres jest prostą: wystarczy obliczyć wartości dla dwóch argumentów i poprowadzić prostą przez dwa punkty. Dla dziedziny $[a; \infty)$ lub $(-\infty; a]$ wykres jest półprostą domkniętą (z początkiem), a dla $(a; \infty)$ lub $(-\infty; a)$ - półprostą otwartą (bez początku). Np. wykres $f(x) = 2x + 1$, $x \in (1; \infty)$ to półprosta otwarta o początku $(1, 3)$, który do niej nie należy.

14.Jak naszkicować wykres funkcji określonej różnymi wzorami w różnych przedziałach?

Szkicujemy każdy fragment wykresu tylko w jego przedziale, a wszystkie fragmenty - w jednym układzie. Dziedziną jest suma tych przedziałów. Np. dla $f(x) = \begin{cases} x + 2 & \text{dla } x \in [-4; -1] \\ 1 & \text{dla } x \in (-1; 3] \end{cases}$ wykres to odcinek od $(-4, -2)$ do $(-1, 1)$ i odcinek poziomy od $(-1, 1)$ do $(3, 1)$, a $D = [-4; 3]$ (rysunek).

15.Wykres funkcji $f(x) = |x|$

Wykres funkcji $f(x) = |x|$ o dziedzinie $\mathbb{R}$ ma kształt litery V z wierzchołkiem w punkcie $(0, 0)$ (rysunek). Wzór bez wartości bezwzględnej: $f(x) = \begin{cases} -x & \text{dla } x \in (-\infty; 0) \\ x & \text{dla } x \in [0; \infty) \end{cases}$. Np. $f(-3) = 3$ i $f(2) = 2$.

16.Wykres funkcji $f(x) = x^2$ i tabela wartości funkcji

Tabela wartości funkcji to tabela, w której podajemy wartości funkcji dla wybranych argumentów, np. dla $f(x) = x^2$: $f(-2) = 4$, $f(-1) = 1$, $f(0) = 0$, $f(1) = 1$, $f(2) = 4$. Punkty z tabeli zaznaczamy w układzie współrzędnych i łączymy krzywą. Otrzymujemy parabolę o wierzchołku $(0, 0)$ i ramionach skierowanych w górę (rysunek).

17.Wykresy funkcji $y = ax^2$ dla różnych współczynników $a$

Wykresy funkcji $y = \frac{1}{2}x^2$, $y = x^2$ i $y = 3x^2$ to parabole o wierzchołku $(0, 0)$ i ramionach w górę. Im większy jest dodatni współczynnik przy $x^2$, tym węższa parabola, np. $y = 3x^2$ jest węższa niż $y = x^2$. Wykres $y = -x^2$ ma ramiona skierowane w dół.

18.Jak odczytać z wykresu wartość funkcji dla danego argumentu?

Od punktu $x$ na osi $OX$ prowadzimy prostą pionową do wykresu, a od punktu wykresu - prostą poziomą do osi $OY$. Odczytana liczba to $f(x)$; dla każdego argumentu z dziedziny jest dokładnie jedna taka wartość. Np. dla łamanej z rysunku: $f(-2) = -1$ i $f(3) = 3$.

19.Kiedy punkt należy do wykresu funkcji danej wzorem?

Gdy po wstawieniu jego współrzędnych do wzoru $y = f(x)$ (odciętej na miejsce $x$, rzędnej na miejsce $y$) otrzymamy równość prawdziwą. Np. punkt $(-2, 5)$ należy do wykresu funkcji $f(x) = x^2 + 1$, bo $(-2)^2 + 1 = 5$, a punkt $(1, 3)$ nie należy, bo $1^2 + 1 = 2 \neq 3$.

20.Jak rozpoznać, czy linia jest wykresem funkcji?

Funkcja przyporządkowuje każdemu argumentowi tylko jedną wartość, więc do jej wykresu nie mogą należeć dwa punkty o tej samej odciętej. Dlatego żadna prosta pionowa nie przecina wykresu funkcji w więcej niż jednym punkcie. Np. okrąg nie jest wykresem funkcji, bo niektóre proste pionowe przecinają go w dwóch punktach.

21.Funkcja rosnąca

Funkcję $f: X \to \mathbb{R}$ nazywamy rosnącą, jeśli dla dowolnych argumentów $x_1, x_2 \in X$ spełniony jest warunek: jeśli $x_1 < x_2$, to $f(x_1) < f(x_2)$. Większemu argumentowi odpowiada większa wartość, więc wykres wznosi się od lewej do prawej. Warunek można też zapisać: jeśli $x_1 < x_2$, to $f(x_2) - f(x_1) > 0$.

22.Funkcja malejąca

Funkcję $f: X \to \mathbb{R}$ nazywamy malejącą, jeśli dla dowolnych argumentów $x_1, x_2 \in X$ spełniony jest warunek: jeśli $x_1 < x_2$, to $f(x_1) > f(x_2)$. Większemu argumentowi odpowiada mniejsza wartość, więc wykres opada od lewej do prawej. Warunek można też zapisać: jeśli $x_1 < x_2$, to $f(x_2) - f(x_1) < 0$.

23.Funkcja stała

Funkcję $f: X \to \mathbb{R}$ nazywamy stałą, jeśli dla dowolnych argumentów $x_1, x_2 \in X$ prawdziwa jest równość $f(x_1) = f(x_2)$. Wszystkie punkty wykresu leżą wtedy na jednej prostej poziomej, np. wykresem funkcji $f(x) = -3$, $x \in \mathbb{R}$ jest prosta pozioma przechodząca przez punkt $(0, -3)$.

24.Funkcja niemalejąca

Funkcję $f: X \to \mathbb{R}$ nazywamy niemalejącą, jeśli dla dowolnych argumentów $x_1, x_2 \in X$: jeśli $x_1 < x_2$, to $f(x_1) \le f(x_2)$. Wraz ze wzrostem argumentu wartości rosną albo się nie zmieniają. Np. funkcja $f(x) = 2x$ dla $x \in [-3; 1]$ i $f(x) = 2$ dla $x \in (1; 4]$ jest niemalejąca, ale nie jest rosnąca.

25.Funkcja nierosnąca

Funkcję $f: X \to \mathbb{R}$ nazywamy nierosnącą, jeśli dla dowolnych argumentów $x_1, x_2 \in X$: jeśli $x_1 < x_2$, to $f(x_1) \ge f(x_2)$. Wraz ze wzrostem argumentu wartości maleją albo się nie zmieniają. Np. funkcja $f(x) = 2$ dla $x \in [-3; 0]$ i $f(x) = 2 - x$ dla $x \in (0; 3]$ jest nierosnąca.

26.Funkcje monotoniczne

Funkcje rosnące, malejące, nierosnące, niemalejące i stałe nazywamy funkcjami monotonicznymi. Każda funkcja rosnąca jest niemalejąca, a każda funkcja malejąca jest nierosnąca. Funkcja stała jest jednocześnie niemalejąca i nierosnąca.

27.Funkcja przedziałami monotoniczna i przedziały monotoniczności

Funkcja, która w całej dziedzinie nie jest monotoniczna, ale jest monotoniczna w pewnych przedziałach, to funkcja przedziałami monotoniczna, a te przedziały to przedziały monotoniczności. Np. funkcja $f(x) = |x|$, $x \in \mathbb{R}$ maleje w przedziale $(-\infty; 0]$, a rośnie w przedziale $[0; \infty)$.

28.Jak odczytać z wykresu przedziały monotoniczności funkcji?

Patrzymy na wykres od lewej do prawej: gdzie się wznosi, funkcja rośnie, gdzie opada - maleje, a gdzie jest poziomy - jest stała. Końcami przedziałów są odcięte punktów, w których wykres zmienia kierunek, oraz końce dziedziny. Np. funkcja $f: [-4; 4] \to \mathbb{R}$ z rysunku rośnie w $[-4; -1]$, jest stała w $[-1; 2]$ i maleje w $[2; 4]$.

29.Czy funkcja malejąca w każdym z dwóch przedziałów jest malejąca w ich sumie?

Nie zawsze. Np. funkcja $f(x) = \frac{2}{x}$ maleje w każdym z przedziałów $(-\infty; 0)$ i $(0; \infty)$, ale nie jest malejąca w zbiorze $(-\infty; 0) \cup (0; \infty)$, bo $-1 < 1$, a $f(-1) = -2 < f(1) = 2$ (rysunek).

30.Jak odczytać dziedzinę funkcji z wykresu?

Dziedzinę odczytujemy na osi $OX$: to zbiór odciętych wszystkich punktów wykresu. Pełne kółko na końcu fragmentu wykresu oznacza, że ten koniec należy do dziedziny, a puste - że nie należy. Np. wykres złożony z odcinka od $(-6, 1)$ (puste kółko) do $(-2, 3)$ (pełne kółko) i odcinka od $(0, 2)$ do $(4, 0)$ (pełne kółka) ma dziedzinę $D = (-6; -2] \cup [0; 4]$.

31.Zbiór wartości funkcji

Zbiór wartości funkcji $f: D \to Y$ to zbiór tych wszystkich $y \in Y$, dla których istnieje taki argument $x \in D$, że $f(x) = y$. Oznaczamy go przez $f(D)$ lub $f(D_f)$. Z wykresu odczytujemy go na osi $OY$ - pomagają w tym proste poziome (równoległe do osi $OX$).

32.Odczytaj z wykresu dziedzinę i zbiór wartości funkcji $f$.

Dziedzina: $D = [-3; 5]$ - odcięte punktów wykresu wypełniają przedział od $-3$ do $5$, a oba końce należą do wykresu. Zbiór wartości: $f(D) = [-2; 3]$ - rzędne punktów wykresu wypełniają przedział od rzędnej najniższego punktu $(2, -2)$ do rzędnej najwyższego punktu $(-1, 3)$.

33.Najmniejsza i największa wartość funkcji

Największa wartość funkcji to największa liczba w jej zbiorze wartości, a najmniejsza wartość - najmniejsza liczba w tym zbiorze; podajemy też argumenty, dla których są przyjmowane. Funkcja może ich nie przyjmować, np. $f(x) = 2x$, $x \in (-1; 3]$ ma zbiór wartości $(-2; 6]$: największa wartość to 6 (dla $x = 3$), a najmniejszej nie ma, bo $-2$ nie jest wartością.

34.Jak odczytać z wykresu, dla jakich argumentów funkcja przyjmuje daną wartość $a$?

Rysujemy prostą poziomą $y = a$. Odcięte punktów wspólnych tej prostej z wykresem to szukane argumenty - może ich być kilka, jeden albo wcale. Np. gdy prosta $y = 2$ przecina wykres funkcji $f$ w punktach $(-3, 2)$ i $(1, 2)$, to $f(x) = 2$ dla $x = -3$ i $x = 1$.

35.Miejsca zerowe funkcji na wykresie

Miejsca zerowe to odcięte punktów wspólnych wykresu z osią $OX$, czyli argumenty spełniające równanie $f(x) = 0$. Np. gdy wykres przecina oś $OX$ w punktach $(-2, 0)$ i $(3, 0)$, to miejscami zerowymi są liczby $-2$ i $3$.

36.Jak odczytać z wykresu rozwiązania nierówności $f(x) > 0$ i $f(x) \le 0$?

Nierówność $f(x) > 0$ spełniają argumenty, dla których wykres leży nad osią $OX$, a $f(x) < 0$ - pod osią. Przy $\ge$ i $\le$ dołączamy miejsca zerowe. Dla funkcji $f: [-4; 5] \to \mathbb{R}$ z rysunku: $f(x) > 0$ dla $x \in (-3; 0) \cup (4; 5]$, a $f(x) \le 0$ dla $x \in [-4; -3] \cup [0; 4]$.

37.Jak odczytać z wykresu rozwiązania nierówności $f(x) > a$ i $f(x) \ge a$?

Rysujemy prostą $y = a$. Nierówność $f(x) > a$ spełniają argumenty, dla których wykres leży nad tą prostą, a $f(x) \ge a$ - także te, dla których wykres ma z nią punkty wspólne. Np. prosta $y = 4$ przecina wykres $y = x^2$ w punktach $(-2, 4)$ i $(2, 4)$, więc $x^2 > 4$ dla $x \in (-\infty; -2) \cup (2; \infty)$, a $x^2 \ge 4$ dla $x \in (-\infty; -2] \cup [2; \infty)$.

38.Jak rozwiązać graficznie równanie $f(x) = g(x)$ i nierówność $f(x) < g(x)$?

Szkicujemy wykresy obu funkcji w jednym układzie współrzędnych. Rozwiązania równania to odcięte punktów wspólnych wykresów, a nierówność $f(x) < g(x)$ spełniają argumenty, dla których wykres $f$ leży poniżej wykresu $g$. Np. wykresy $y = x^2$ i $y = x + 2$ przecinają się w punktach $(-1, 1)$ i $(2, 4)$, więc $x^2 < x + 2$ dla $x \in (-1; 2)$.