Wartość bezwzględna i jej własności - MATeMAtyka 1 (ZR)

1.Wartość bezwzględna liczby

Wartością bezwzględną liczby $a$ nazywamy liczbę $|a|$ określoną wzorem: $|a| = a$ dla $a \geq 0$ oraz $|a| = -a$ dla $a < 0$. Np. $|6{,}2| = 6{,}2$, $|0| = 0$, $\left|-\frac{4}{7}\right| = -\left(-\frac{4}{7}\right) = \frac{4}{7}$.

2.Czy wartość bezwzględna może być liczbą ujemną?

Nie: $|a| \geq 0$ dla dowolnego $a \in \mathbb{R}$, a $|a| = 0$ tylko dla $a = 0$. Zapis $-a$ w definicji nie oznacza liczby ujemnej - dla $a < 0$ liczba $-a$ jest dodatnia, np. dla $a = -9$ mamy $|a| = -a = -(-9) = 9$.

3.Jak obliczyć wartość bezwzględną wyrażenia z pierwiastkiem?

Najpierw ustalamy znak wyrażenia, porównując liczby, np. przez zapisanie ich jako pierwiastków. Wyrażenie nieujemne przepisujemy, a w ujemnym zmieniamy znaki wszystkich wyrazów. Np. $|4 - \sqrt{15}| = 4 - \sqrt{15}$, bo $4 = \sqrt{16} > \sqrt{15}$, oraz $|2\sqrt{2} - 3| = 3 - 2\sqrt{2}$, bo $2\sqrt{2} = \sqrt{8} < \sqrt{9} = 3$.

4.Interpretacja geometryczna wartości bezwzględnej

Wartość bezwzględna liczby $x$ to jej odległość na osi liczbowej od liczby 0. Liczby przeciwne leżą w tej samej odległości od 0, więc mają tę samą wartość bezwzględną, np. $|-4| = |4| = 4$. Ogólnie $|-a| = |a|$ dla dowolnego $a \in \mathbb{R}$.

5.Jak porównać wartości bezwzględne dwóch liczb?

Większą wartość bezwzględną ma ta liczba, która leży dalej od 0 na osi liczbowej, niezależnie od znaku. Np. $-8 < 5$, ale $|-8| = 8 > 5 = |5|$. Z dwóch liczb ujemnych większą wartość bezwzględną ma mniejsza z nich: $-6{,}5 < -2$ i $|-6{,}5| > |-2|$.

6.Ile wynosi $\sqrt{a^2}$ dla dowolnej liczby $a$?

Dla dowolnego $a \in \mathbb{R}$ zachodzi $\sqrt{a^2} = |a|$, bo pierwiastek kwadratowy jest liczbą nieujemną. Np. $\sqrt{(-8)^2} = |-8| = 8$, a nie $-8$, oraz $\sqrt{(1 - \sqrt{6})^2} = |1 - \sqrt{6}| = \sqrt{6} - 1$, bo $1 - \sqrt{6} < 0$.

7.Ile wynosi $x + |x|$ w zależności od znaku $x$?

Dla $x \geq 0$ mamy $|x| = x$, więc $x + |x| = 2x$, a dla $x < 0$ mamy $|x| = -x$, więc $x + |x| = 0$. Np. liczba $x = 3 - \sqrt{10}$ jest ujemna, bo $3 = \sqrt{9} < \sqrt{10}$, więc $x + |x| = 0$ oraz $|x| - x = -2x = 2\sqrt{10} - 6$.

8.Jak rozwiązać równanie $|x| = a$?

Szukamy liczb, których odległość od 0 jest równa $a$. Dla $a > 0$ są dwie takie liczby: $x = -a$ lub $x = a$, np. $|x| = 2{,}5$ dla $x = -2{,}5$ lub $x = 2{,}5$ (rysunek). Dla $a = 0$ jest jedno rozwiązanie $x = 0$, a dla $a < 0$ równanie jest sprzeczne, bo wartość bezwzględna nie jest ujemna.

9.Jak rozwiązać równanie typu $a|x| + b = c$?

Traktujemy $|x|$ jak niewiadomą: przenosimy $b$ na drugą stronę i dzielimy przez $a$, a potem rozwiązujemy równanie $|x| = d$. Np. $3|x| - 2 = 10$, więc $3|x| = 12$, $|x| = 4$, czyli $x = -4$ lub $x = 4$. Jeśli $|x|$ wyjdzie równe liczbie ujemnej, równanie jest sprzeczne.

10.Jak rozwiązać nierówność $|x| < a$ lub $|x| \leq a$?

Dla $a > 0$ szukamy liczb, których odległość od 0 jest mniejsza od $a$: $|x| < a \Leftrightarrow -a < x < a$, czyli $x \in (-a; a)$. Przy nierówności nieostrej końce należą do zbioru rozwiązań. Np. $|x| \leq 3 \Leftrightarrow x \in [-3; 3]$ (rysunek).

11.Jak rozwiązać nierówność $|x| > a$ lub $|x| \geq a$?

Dla $a > 0$ szukamy liczb, których odległość od 0 jest większa od $a$: $|x| > a \Leftrightarrow x < -a$ lub $x > a$, czyli $x \in (-\infty; -a) \cup (a; \infty)$. Np. $|x| > 1{,}5 \Leftrightarrow x \in (-\infty; -1{,}5) \cup (1{,}5; \infty)$ (rysunek) - obie półproste tworzą jeden zbiór rozwiązań.

12.Kiedy nierówność z $|x|$ jest sprzeczna, a kiedy tożsamościowa?

Korzystamy z tego, że $|x| \geq 0$ dla każdego $x \in \mathbb{R}$. Wartość bezwzględna nie może być mniejsza od liczby ujemnej, więc np. nierówność $|x| < -2$ jest sprzeczna. Jest za to zawsze większa od liczby ujemnej, więc np. $|x| > -1$ jest tożsamościowa - spełnia ją każda liczba rzeczywista. Tak samo nierówność $|x| < 0$ jest sprzeczna, a $|x| \geq 0$ - tożsamościowa.

13.Jak rozwiązać nierówność podwójną typu $a < |x| \leq b$?

Liczba musi spełniać jednocześnie $|x| > a$ i $|x| \leq b$, czyli leżeć od 0 dalej niż $a$, ale nie dalej niż $b$. Np. $3 < |x| \leq 5 \Leftrightarrow x \in [-5; -3) \cup (3; 5]$ (rysunek) - zbiór rozwiązań to suma dwóch przedziałów położonych symetrycznie względem 0.

14.Jaki zbiór punktów układu współrzędnych opisują warunki $|x| \leq a$ i $|y| \leq b$?

Warunek $|x| \leq a$ oznacza $x \in [-a; a]$, a $|y| \leq b$ oznacza $y \in [-b; b]$. Oba warunki spełniają punkty prostokąta o środku w początku układu i bokach długości $2a$ i $2b$, razem z brzegiem. Np. $|x| \leq 6$ i $|y| \leq 3$ opisują prostokąt o wierzchołkach $(-6, -3)$, $(6, -3)$, $(6, 3)$, $(-6, 3)$ (rysunek).

15.Odległość liczb $a$ i $b$ na osi liczbowej

Odległość na osi liczbowej między liczbami $a$ i $b$ jest równa $|a - b|$. Nie zależy od kolejności liczb, bo $|a - b| = |b - a|$. Np. odległość liczb $-3$ i 5 to $|-3 - 5| = |-8| = 8$, tak samo jak $|5 - (-3)| = 8$.

16.Jak rozwiązać równanie $|x - a| = b$?

Szukamy na osi liczb, których odległość od $a$ wynosi $b$. Dla $b > 0$ są dwie takie liczby: $x = a - b$ lub $x = a + b$. Np. $|x - 1| = 4$, więc $x = -3$ lub $x = 5$ (rysunek). Sprawdzenie: $|-3 - 1| = 4$ i $|5 - 1| = 4$.

17.Jak rozwiązać równanie $|x + a| = b$?

Zapisujemy je w postaci $|x - (-a)| = b$ i szukamy liczb odległych od $-a$ o $b$. Np. $|x + 2{,}5| = 1{,}5$ to $|x - (-2{,}5)| = 1{,}5$, więc $x = -4$ lub $x = -1$. Częsty błąd to szukanie liczb odległych od $2{,}5$ zamiast od $-2{,}5$.

18.Kiedy równanie $|x - a| = b$ nie ma rozwiązań, a kiedy ma jedno?

Wartość bezwzględna dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemna, więc dla $b < 0$ równanie jest sprzeczne, np. $|x - 5| = -4$. Dla $b = 0$ jedynym rozwiązaniem jest $x = a$, np. równanie $|x - 6| = 0$ spełnia tylko $x = 6$.

19.Ile rozwiązań ma równanie $|x - a| = |x - b|$, gdy $a \neq b$?

Jedno. Szukamy liczby, która leży tak samo daleko od $a$ jak od $b$, a taką liczbą jest tylko środek odcinka o końcach $a$ i $b$, czyli $x = \frac{a + b}{2}$. Np. równanie $|x - 1| = |x - 7|$ ma jedyne rozwiązanie $x = \frac{1 + 7}{2} = 4$.

20.Jak rozwiązać nierówność $|x - a| < b$?

Dla $b > 0$ szukamy liczb, których odległość od $a$ jest mniejsza od $b$, czyli $a - b < x < a + b$, więc $x \in (a - b; a + b)$. Przy nierówności nieostrej końce należą do zbioru rozwiązań. Np. $|x - 1| \leq 3 \Leftrightarrow x \in [-2; 4]$ (rysunek).

21.Jak rozwiązać nierówność $|x - a| > b$?

Dla $b > 0$ szukamy liczb odległych od $a$ o więcej niż $b$: $x < a - b$ lub $x > a + b$. Np. $|x + 2| \geq 3$ to $|x - (-2)| \geq 3$, więc $x \leq -5$ lub $x \geq 1$, czyli $x \in (-\infty; -5] \cup [1; \infty)$ (rysunek).

22.Jak rozwiązać nierówność z wyrażeniem $\sqrt{x^2 + 2ax + a^2}$?

Wyrażenie pod pierwiastkiem zapisujemy jako kwadrat sumy lub różnicy i korzystamy ze wzoru $\sqrt{a^2} = |a|$. Np. $\sqrt{x^2 + 2x + 1} + |x + 1| \leq 8$, czyli $\sqrt{(x + 1)^2} + |x + 1| \leq 8$, stąd $2|x + 1| \leq 8$ i $|x + 1| \leq 4$, więc $x \in [-5; 3]$.

23.Wartość bezwzględna iloczynu i ilorazu

Dla dowolnych liczb $a$ i $b$: $|a \cdot b| = |a| \cdot |b|$ oraz $\left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|}$ dla $b \neq 0$. Np. $|-5x| = |-5| \cdot |x| = 5|x|$ i $\left|\frac{x}{-4}\right| = \frac{|x|}{4}$. Dla sumy taka równość na ogół nie zachodzi: $|2 + (-3)| = 1$, a $|2| + |-3| = 5$.

24.Jak rozwiązać nierówność typu $|kx + m| < c$?

Wyłączamy współczynnik $k$ przed nawias i korzystamy z tego, że $|a \cdot b| = |a| \cdot |b|$. Np. $|2x + 10| \leq 6$: $|2(x + 5)| = 2|x + 5|$, więc $2|x + 5| \leq 6$, czyli $|x + 5| \leq 3$. Stąd $-8 \leq x \leq -2$, czyli $x \in [-8; -2]$.

25.Jak rozwiązać równanie typu $|kx + m| = c$?

Tak samo wyłączamy współczynnik przy $x$: $|6x - 3| = 9$ daje $|6(x - 0{,}5)| = 6|x - 0{,}5| = 9$, czyli $|x - 0{,}5| = 1{,}5$. Liczby odległe od $0{,}5$ o $1{,}5$ to $x = -1$ lub $x = 2$. Gdy współczynnik przy $x$ jest ujemny, korzystamy z równości $|-a| = |a|$, np. $|3 - x| = |x - 3|$.

26.Kiedy $|w| = w$, a kiedy $|w| = -w$?

Z definicji $|w| = w$, gdy $w \geq 0$, oraz $|w| = -w$, gdy $w \leq 0$ (dla $w = 0$ obie równości są prawdziwe). Np. $|x - 5| = 5 - x$, gdy $x - 5 \leq 0$, czyli $x \leq 5$. Podobnie dla $x < 0$ jest $\sqrt{x^2} = |x| = -x$, więc np. $\sqrt{x^2} + 4x = 3x$.

27.Jak wyznaczyć część wspólną zbiorów opisanych nierównościami z wartością bezwzględną?

Każdą nierówność rozwiązujemy osobno, zapisujemy zbiory jako przedziały lub sumy przedziałów i zaznaczamy je na jednej osi. Np. $A = \{x: |x| < 3\} = (-3; 3)$ i $B = \{x: |x - 4| \geq 5\} = (-\infty; -1] \cup [9; \infty)$, więc $A \cap B = (-3; -1]$.

28.Jak zapisać przedział za pomocą wartości bezwzględnej?

Przedział o końcach $a$ i $b$ tworzą liczby, których odległość od jego środka $\frac{a + b}{2}$ jest mniejsza od połowy długości $\frac{b - a}{2}$ (przy domkniętym - nie większa). Np. środek przedziału $[-1; 9]$ to 4, a połowa długości to 5, więc $x \in [-1; 9] \Leftrightarrow |x - 4| \leq 5$. Podobnie $x \in (-\infty; -1) \cup (9; \infty) \Leftrightarrow |x - 4| > 5$.

29.Jak uzasadnić, że liczba daje resztę $r$ z dzielenia przez $k$?

Zapisujemy liczbę za pomocą zmiennej, przekształcamy ją (np. wzorami skróconego mnożenia) i doprowadzamy do postaci $k \cdot m + r$, gdzie $m$ jest liczbą całkowitą, a $0 \leq r < k$. Np. dla dwóch kolejnych liczb parzystych $2n$ i $2n + 2$: $(2n)^2 + (2n + 2)^2 = 8n^2 + 8n + 4 = 8(n^2 + n) + 4$, więc reszta z dzielenia przez 8 jest równa 4 (rysunek).

30.Dlaczego sprawdzenie dla kilku liczb nie uzasadnia twierdzenia o reszcie z dzielenia?

Twierdzenie dotyczy wszystkich liczb danego rodzaju, a sprawdzenie obejmuje tylko kilka z nich, np. $2^2 + 4^2 = 20 = 8 \cdot 2 + 4$ i $6^2 + 8^2 = 100 = 8 \cdot 12 + 4$. Potrzebne jest rozumowanie dla dowolnych liczb, czyli rachunek na zmiennej $n$ prowadzący do postaci $k \cdot m + r$.