Przekształcenia algebraiczne - MATeMAtyka 1 (ZR)

1.Jak pomnożyć sumę algebraiczną przez jednomian?

Każdy wyraz sumy mnożymy przez ten jednomian i dodajemy otrzymane iloczyny: $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$. Np. $(2x^2 - 5x + 1) \cdot 3x = 6x^3 - 15x^2 + 3x$. Przy mnożeniu przez jednomian ujemny zmieniają się znaki wszystkich wyrazów: $-2(x - 4) = -2x + 8$.

2.Wyrazy podobne

Wyrazy sumy algebraicznej są podobne, gdy składają się z tych samych zmiennych, a zmienne te występują w tych samych potęgach - różnią się co najwyżej czynnikiem liczbowym. Wyrazami podobnymi są też liczby. Np. $5ab^2$ i $-3ab^2$ są podobne, a $2a^2b$ i $2ab^2$ nie są. Redukując wyrazy podobne, dodajemy ich współczynniki: $5ab^2 - 3ab^2 = 2ab^2$.

3.Jak wykazać, że wartość wyrażenia nie zależy od $x$?

Wykonujemy mnożenie i redukujemy wyrazy podobne. Jeśli wszystkie wyrazy ze zmienną się zredukują i zostanie sama liczba, to wyrażenie ma tę samą wartość dla każdego $x$. Np. $2x(x - 3) - x(2x - 6) + 7 = 2x^2 - 6x - 2x^2 + 6x + 7 = 7$.

4.Rozdzielność mnożenia względem dodawania

Dla dowolnych liczb $a$, $b$, $c$ zachodzi $a(b + c) = a \cdot b + a \cdot c$. Czytana od prawej do lewej pozwala wyłączyć wspólny czynnik przed nawias i ułatwić obliczenia, np. $19 \cdot 23 - 19 \cdot 13 = 19 \cdot (23 - 13) = 19 \cdot 10 = 190$.

5.Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias

Jeśli wszystkie wyrazy sumy mają wspólny czynnik, zapisujemy ją jako iloczyn tego czynnika i nawiasu: $a \cdot b + a \cdot c = a(b + c)$. Jest to czynność odwrotna do mnożenia jednomianu przez sumę algebraiczną, więc wynik sprawdzamy, wymnażając nawias. Np. $8x^3 + 4x^2 = 4x^2(2x + 1)$, bo $4x^2 \cdot 2x + 4x^2 \cdot 1 = 8x^3 + 4x^2$.

6.Czy czynnik wyłączany przed nawias jest wybierany jednoznacznie?

Nie - to, jaki czynnik wyłączymy, zależy od zadania. Np. $10x^4 - 15x^3$ można zapisać jako $5(2x^4 - 3x^3)$, $5x^2(2x^2 - 3x)$, $5x^3(2x - 3)$ albo $10x^3\left(x - \frac{3}{2}\right)$ - wszystkie zapisy są poprawne. W nawiasie zawsze stoi to, co zostaje po podzieleniu każdego wyrazu przez wyłączony czynnik.

7.Jaki czynnik wyłączamy zwykle przed nawias?

Zwykle wyłączamy czynnik liczbowy oraz wszystkie możliwe zmienne w jak najwyższych potęgach. Czynnik liczbowy to największy wspólny dzielnik współczynników, a każdą zmienną występującą we wszystkich wyrazach bierzemy z najmniejszym wykładnikiem, z jakim się w nich pojawia. Np. $12a^4b^2 - 30a^2b^3 + 6a^2b = 6a^2b(2a^2b - 5b^2 + 1)$ - wyraz $6a^2b$ daje w nawiasie 1.

8.Jak obliczyć wartość wyrażenia prościej, wyłączając czynnik przed nawias?

Najpierw zapisujemy wyrażenie w postaci iloczynu, a dopiero potem podstawiamy liczby. Np. dla $a = 7{,}3$ i $b = 2{,}7$ mamy $ab + b^2 = b(a + b) = 2{,}7 \cdot 10 = 27$. Tak samo korzystamy z danej wartości wyrażenia: jeśli $2a + 5b = 3$, to $6a + 15b = 3(2a + 5b) = 3 \cdot 3 = 9$.

9.Jak pomnożyć dwie sumy algebraiczne?

Każdy wyraz jednej sumy mnożymy przez każdy wyraz drugiej sumy i zapisujemy sumę otrzymanych iloczynów: $(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$. Na koniec redukujemy wyrazy podobne. Np. $(x + 2)(x - 7) = x^2 - 7x + 2x - 14 = x^2 - 5x - 14$. Znak mnożenia między nawiasami możemy pominąć.

10.Interpretacja geometryczna iloczynu $(a + b)(c + d)$

Prostokąt o bokach $a + b$ i $c + d$ ma pole $(a + b)(c + d)$. Dzieląc jego boki na odcinki $a$, $b$ oraz $c$, $d$, rozcinamy go na cztery mniejsze prostokąty o polach $ac$, $ad$, $bc$ i $bd$. Suma tych pól to pole całego prostokąta, stąd $(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$.

11.Jak pomnożyć sumę dwuwyrazową przez sumę trójwyrazową?

Tak samo: każdy z 2 wyrazów mnożymy przez każdy z 3 wyrazów, więc przed redukcją mamy $2 \cdot 3 = 6$ iloczynów. Kolejność mnożenia sum nie ma znaczenia. Np. $(x + 4)(x^2 - 2x + 3) = x^3 - 2x^2 + 3x + 4x^2 - 8x + 12 = x^3 + 2x^2 - 5x + 12$.

12.Jak pomnożyć trzy sumy algebraiczne?

Mnożymy dwie dowolnie wybrane sumy i redukujemy wyrazy podobne, a potem otrzymany wynik mnożymy przez trzecią sumę. Tak obliczamy np. objętość prostopadłościanu o krawędziach $x + 2$, $x - 1$ i $x + 3$ (rysunek): $(x + 2)(x - 1) = x^2 + x - 2$, a $(x^2 + x - 2)(x + 3) = x^3 + 4x^2 + x - 6$.

13.Jak mnożyć sumy, w których są pierwiastki?

Postępujemy tak jak przy mnożeniu sum algebraicznych, pamiętając, że $(\sqrt{a})^2 = a$ i $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ dla $a, b \geq 0$. Np. $(\sqrt{6} + 4)(\sqrt{6} - 1) = 6 - \sqrt{6} + 4\sqrt{6} - 4 = 2 + 3\sqrt{6}$ oraz $(3\sqrt{2} + \sqrt{5})(\sqrt{2} - \sqrt{5}) = 6 - 3\sqrt{10} + \sqrt{10} - 5 = 1 - 2\sqrt{10}$.

14.Jak uzasadnić, że liczba zapisana wyrażeniem z $n$ jest podzielna przez $k$?

Mnożymy sumy, redukujemy wyrazy podobne i wyłączamy $k$ przed nawias, a potem uzasadniamy, że liczba w nawiasie jest całkowita. Np. dla całkowitego $n$: $(n + 5)(3n - 1) + (n - 1)(3n + 1) = 3n^2 + 14n - 5 + 3n^2 - 2n - 1 = 6n^2 + 12n - 6 = 6(n^2 + 2n - 1)$. Liczba $n^2 + 2n - 1$ jest całkowita jako suma liczb całkowitych, więc dana liczba dzieli się przez 6 (rysunek).

15.Jak rozwiązać równanie, w którym trzeba pomnożyć sumy algebraiczne?

Wykonujemy mnożenie, przenosimy wyrazy z niewiadomą na jedną stronę, a liczby na drugą, i redukujemy wyrazy podobne. W takich równaniach wyrazy z $x^2$ się redukują i zostaje równanie liniowe. Np. $(x - 3)(x + 7) = x^2 + 3$, czyli $x^2 + 4x - 21 = x^2 + 3$, stąd $4x = 24$, więc $x = 6$.

16.Jak rozwiązać nierówność, w której trzeba pomnożyć sumy algebraiczne?

Tak jak równanie: mnożymy sumy, przenosimy wyrazy i redukujemy wyrazy podobne. Przy dzieleniu przez liczbę ujemną zmieniamy zwrot nierówności. Np. $(x - 2)(x + 3) < x(x + 3) - 2$, czyli $x^2 + x - 6 < x^2 + 3x - 2$, stąd $-2x < 4$, więc $x > -2$, czyli $x \in (-2; \infty)$ (rysunek).

17.Kwadrat sumy

Dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ i $b$: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. W miejsce $a$ i $b$ możemy wstawić dowolne wyrażenia: kwadrat pierwszego wyrazu plus podwojony iloczyn obu wyrazów plus kwadrat drugiego wyrazu. Np. $(x + 7)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 7 + 7^2 = x^2 + 14x + 49$.

18.Kwadrat różnicy

Dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ i $b$: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Minus stoi tylko przed podwojonym iloczynem, a kwadrat drugiego wyrazu dodajemy. Np. $(x - 9)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 9 + 9^2 = x^2 - 18x + 81$. Ponieważ $b - a = -(a - b)$, zachodzi też $(b - a)^2 = (a - b)^2$.

19.Czy $(a + b)^2 = a^2 + b^2$?

Na ogół nie - to najczęstszy błąd. W kwadracie sumy jest jeszcze podwojony iloczyn $2ab$, więc równość zachodzi tylko wtedy, gdy $ab = 0$. Np. $(3 + 4)^2 = 7^2 = 49$, a $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$; różnica to $2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$. Podobnie na ogół $(a - b)^2 \neq a^2 - b^2$, np. $(5 - 2)^2 = 9$, a $5^2 - 2^2 = 21$.

20.Jak podnieść do kwadratu sumę lub różnicę, gdy wyraz ma współczynnik, np. $(4x - 3)^2$?

Do kwadratu podnosimy cały wyraz razem ze współczynnikiem, dlatego bierzemy go w nawias: $(4x - 3)^2 = (4x)^2 - 2 \cdot 4x \cdot 3 + 3^2 = 16x^2 - 24x + 9$. Częsty błąd to $4x^2$ zamiast $(4x)^2 = 16x^2$.

21.Jak podnieść do kwadratu sumę wyrażeń z dwiema zmiennymi, np. $(5x + 2y)^2$?

Za $a$ i $b$ we wzorze wstawiamy całe jednomiany $5x$ i $2y$: $(5x + 2y)^2 = (5x)^2 + 2 \cdot 5x \cdot 2y + (2y)^2 = 25x^2 + 20xy + 4y^2$. Podwojony iloczyn zawiera obie zmienne, a kwadraty - po jednej.

22.Jak podnieść do kwadratu sumę lub różnicę z pierwiastkami?

Stosujemy wzory skróconego mnożenia i korzystamy z tego, że $(\sqrt{a})^2 = a$ dla $a \geq 0$. Np. $(\sqrt{7} + 2)^2 = 7 + 4\sqrt{7} + 4 = 11 + 4\sqrt{7}$ oraz $(\sqrt{10} - \sqrt{2})^2 = 10 - 2\sqrt{20} + 2 = 12 - 4\sqrt{5}$. Pierwiastek w wyniku upraszczamy: $2\sqrt{20} = 2 \cdot 2\sqrt{5} = 4\sqrt{5}$.

23.Różnica kwadratów

Dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ i $b$: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Iloczyn różnicy i sumy tych samych wyrazów zamieniamy więc na różnicę ich kwadratów: $(x - 8)(x + 8) = x^2 - 64$, $(3y - 5)(3y + 5) = 9y^2 - 25$. Przy wymnażaniu iloczyny $ab$ i $-ab$ się redukują, dlatego w wyniku nie ma wyrazu środkowego.

24.Jak rozpoznać iloczyn $(a - b)(a + b)$, gdy czynniki zapisano w innej kolejności?

Szukamy dwóch nawiasów z tymi samymi wyrazami, które różnią się tylko znakiem jednego z nich. Wyraz z tym samym znakiem w obu nawiasach to $a$, a wyraz z przeciwnymi znakami to $b$. Np. $(5 + 4x)(4x - 5) = (4x + 5)(4x - 5) = 16x^2 - 25$, a nie $25 - 16x^2$.

25.Dlaczego iloczyn typu $(4 + \sqrt{6})(4 - \sqrt{6})$ lepiej liczyć ze wzoru niż kalkulatorem?

Wzór na różnicę kwadratów od razu daje wynik dokładny: $(4 + \sqrt{6})(4 - \sqrt{6}) = 16 - 6 = 10$. Kalkulator używa przybliżenia $\sqrt{6} \approx 2{,}449490$, więc iloczyn wychodzi tylko w przybliżeniu równy 10. Gdy $p$ i $q \geq 0$ są wymierne, iloczyn $(p + \sqrt{q})(p - \sqrt{q}) = p^2 - q$ jest liczbą wymierną.

26.Jak obliczyć wartość wyrażenia dla niewymiernej wartości $x$?

Najpierw upraszczamy wyrażenie za pomocą wzorów skróconego mnożenia, a dopiero potem podstawiamy liczbę. Np. $(x + 2)^2 - (x - 2)(x + 2) = x^2 + 4x + 4 - (x^2 - 4) = 4x + 8$, więc dla $x = \sqrt{3}$ wyrażenie ma wartość $4\sqrt{3} + 8$.

27.Jak usunąć niewymierność z mianownika, gdy jest w nim suma lub różnica z pierwiastkiem?

Rozszerzamy ułamek przez wyrażenie, które różni się od mianownika tylko znakiem między składnikami. W mianowniku powstaje iloczyn $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$, czyli liczba bez pierwiastka. Np. $\frac{6}{\sqrt{7} - 1} = \frac{6(\sqrt{7} + 1)}{(\sqrt{7} - 1)(\sqrt{7} + 1)} = \frac{6(\sqrt{7} + 1)}{7 - 1} = \sqrt{7} + 1$ (rysunek).

28.Jak usunąć niewymierność z mianownika, w którym są dwa pierwiastki albo współczynnik przy pierwiastku?

Postępujemy tak samo. Gdy przy pierwiastku stoi współczynnik, do kwadratu podnosimy cały iloczyn: $(2\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8$. Np. $\frac{4}{\sqrt{10} - \sqrt{6}} = \frac{4(\sqrt{10} + \sqrt{6})}{10 - 6} = \sqrt{10} + \sqrt{6}$ oraz $\frac{3}{2\sqrt{2} - \sqrt{5}} = \frac{3(2\sqrt{2} + \sqrt{5})}{8 - 5} = 2\sqrt{2} + \sqrt{5}$.

29.Jak usunąć niewymierność z mianownika, w którym są trzy składniki?

Dwa składniki traktujemy jak jeden i stosujemy wzór na różnicę kwadratów dwa razy. Np. $\frac{4}{1 + \sqrt{3} + \sqrt{6}}$ rozszerzamy przez $(1 + \sqrt{3}) - \sqrt{6}$: w mianowniku jest $(1 + \sqrt{3})^2 - 6 = 2\sqrt{3} - 2$, więc ułamek równa się $\frac{2(1 + \sqrt{3} - \sqrt{6})}{\sqrt{3} - 1}$. Teraz rozszerzamy przez $\sqrt{3} + 1$ i otrzymujemy $4 + 2\sqrt{3} - 3\sqrt{2} - \sqrt{6}$ (rysunek).

30.Jak sprawdzić, że dwie liczby z pierwiastkami są wzajemnie odwrotne?

Liczby są odwrotne, gdy ich iloczyn jest równy 1. Często pomaga wzór na różnicę kwadratów: $(8 + 3\sqrt{7})(8 - 3\sqrt{7}) = 64 - 63 = 1$, więc $(8 + 3\sqrt{7})^{-1} = 8 - 3\sqrt{7}$. Tak samo uzasadniamy równości typu $(a + b)^{-1} = a - b$: wystarczy sprawdzić, że $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2 = 1$.

31.Jak rozwiązać równanie ze wzorami skróconego mnożenia, gdy przed wzorem stoi minus?

Wynik wzoru zapisujemy w nawiasie, a potem opuszczamy nawias, zmieniając znaki wszystkich wyrazów. Np. $(x + 5)^2 - (x - 1)(x + 1) = 2$, czyli $x^2 + 10x + 25 - (x^2 - 1) = 2$, więc $x^2 + 10x + 25 - x^2 + 1 = 2$, stąd $10x = -24$ i $x = -2{,}4$.

32.Jak rozwiązać nierówność ze wzorami skróconego mnożenia?

Stosujemy wzory, redukujemy wyrazy z $x^2$ i rozwiązujemy nierówność liniową. Np. $(x - 5)^2 \geq (x - 1)(x + 1) + 6$, czyli $x^2 - 10x + 25 \geq x^2 + 5$, stąd $-10x \geq -20$. Dzielimy przez liczbę ujemną, więc zmieniamy zwrot: $x \leq 2$, czyli $x \in (-\infty; 2]$ (rysunek).

33.Jak rozpoznać, że trójmian jest kwadratem sumy lub kwadratem różnicy?

Dwa wyrazy muszą być kwadratami, np. $A^2$ i $B^2$, a trzeci - podwojonym iloczynem $2AB$ ze znakiem plus albo minus. Np. $9x^2 - 6x + 1 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 1 + 1^2 = (3x - 1)^2$, ale $x^2 + 6x + 4$ nie jest kwadratem sumy, bo $2 \cdot x \cdot 2 = 4x$, a nie $6x$.

34.Kiedy wyrażenie postaci $(x - a)^2$ przyjmuje wartość 0?

Kwadrat liczby jest równy 0 tylko wtedy, gdy ta liczba jest równa 0, dlatego $(x - a)^2 = 0 \Leftrightarrow x = a$. Symbol $\Leftrightarrow$ zastępuje zwrot „wtedy i tylko wtedy, gdy”. Np. $x^2 - 10x + 25 = 0 \Leftrightarrow (x - 5)^2 = 0 \Leftrightarrow x = 5$.

35.Jak rozpoznać, że równanie z kwadratem jest sprzeczne?

Kwadrat liczby rzeczywistej nie może być liczbą ujemną. Jeśli po przekształceniach otrzymamy np. $x^2 = -4$, to równanie nie ma rozwiązań - jest sprzeczne. Np. $(x + 1)(x - 1) = -5$, czyli $x^2 - 1 = -5$, więc $x^2 = -4$ - żadna liczba $x \in \mathbb{R}$ go nie spełnia.

36.Jak rozpoznać, że nierówność z kwadratem jest tożsamościowa albo sprzeczna?

Korzystamy z tego, że $x^2 \geq 0$ dla każdego $x \in \mathbb{R}$. Np. $(2x + 3)^2 \geq 12x$ daje $4x^2 + 9 \geq 0$ - nierówność tożsamościowa, spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą. Z kolei $(x + 2)^2 < 4x + 4$ daje $x^2 < 0$ - nierówność sprzeczna, bo kwadrat liczby nie jest liczbą ujemną.