Układy równań - MATeMAtyka 1 (ZP)

1.Równanie z dwiema niewiadomymi

To równanie, w którym występują dwie niewiadome, np. $3x + y = 12$. Spełnia je nieskończenie wiele par liczb: wybieramy dowolne $x$ i obliczamy $y$, np. $x = 0$, $y = 12$ albo $x = 2$, $y = 6$ albo $x = -1$, $y = 15$.

2.Układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi i jego rozwiązanie

Układ równań to dwa jednocześnie rozpatrywane równania z tymi samymi dwiema niewiadomymi, zapisane z klamrą, np. $\begin{cases} x + y = 11 \\ x - y = 3 \end{cases}$. Rozwiązanie układu to para liczb, która spełnia jednocześnie oba równania - tu $x = 7$, $y = 4$.

3.Jak sprawdzić, czy para liczb jest rozwiązaniem układu?

Podstawiamy liczby do obu równań. Para jest rozwiązaniem tylko wtedy, gdy spełnia oba równania. Np. dla układu $\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x - y = 4 \end{cases}$ para $x = 3$, $y = -1$ jest rozwiązaniem: $6 - 1 = 5$ i $3 + 1 = 4$, a para $x = 1$, $y = 3$ spełnia tylko pierwsze równanie.

4.Jak zapisać zależności słowne w postaci równań?

„$x$ jest o 5 większa od $y$” zapisujemy jako $x = y + 5$, „$x$ jest 3 razy mniejsza od $y$” jako $y = 3x$, a „$x$ stanowi 20% liczby $y$” jako $x = 0{,}2y$. Np. „dwie liczby różnią się o 7, a ich suma jest równa 31” to $\begin{cases} x - y = 7 \\ x + y = 31 \end{cases}$.

5.Metoda podstawiania

Z jednego równania wyznaczamy jedną niewiadomą i podstawiamy otrzymane wyrażenie do drugiego równania. Rozwiązujemy równanie z jedną niewiadomą, a potem obliczamy drugą niewiadomą. Np. w układzie $\begin{cases} x + 2y = 7 \\ 3x - y = 7 \end{cases}$: $x = 7 - 2y$, $3(7 - 2y) - y = 7$, $y = 2$, $x = 3$ (rysunek).

6.Którą niewiadomą wyznaczyć w metodzie podstawiania?

Wybór nie ma wpływu na rozwiązanie układu, więc kierujemy się łatwością obliczeń. Najwygodniej wyznaczyć niewiadomą ze współczynnikiem 1 lub $-1$, bo unikamy wtedy ułamków. Np. z równania $5x - y = 2$ wyznaczamy $y = 5x - 2$.

7.Równoważne układy równań

To układy, które mają to samo rozwiązanie. Otrzymujemy je, przekształcając równania układu w równania równoważne, np. dzieląc obie strony przez liczbę różną od 0 albo przenosząc wyrazy na drugą stronę. Np. układy $\begin{cases} 2x + 2y = 10 \\ x - y = 1 \end{cases}$ i $\begin{cases} x + y = 5 \\ x = y + 1 \end{cases}$ są równoważne.

8.Jak rozwiązać układ z nawiasami lub ułamkami?

Najpierw doprowadzamy równania do prostszej postaci: opuszczamy nawiasy, mnożymy obie strony przez wspólny mianownik i zapisujemy niewiadome po lewej stronie, a liczby po prawej. Np. $\frac{x}{2} - \frac{y}{4} = 1$ mnożymy przez 4: $2x - y = 4$, a $3(x - 1) = y + 2$ zapisujemy jako $3x - y = 5$.

9.Układ równań liniowych: oznaczony, nieoznaczony i sprzeczny

Układ równań liniowych to układ $\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$, w którym $a_1 \neq 0$ lub $b_1 \neq 0$ oraz $a_2 \neq 0$ lub $b_2 \neq 0$. Układ równań liniowych, którego rozwiązaniem jest jedna para liczb, nazywamy układem oznaczonym. Układ, który ma nieskończenie wiele rozwiązań, to układ nieoznaczony, a układ, który nie ma ani jednego rozwiązania - układ sprzeczny.

10.Jak rozpoznać podczas rozwiązywania, że układ jest sprzeczny?

Niewiadome się redukują i otrzymujemy równanie sprzeczne, np. $0y = 2$ albo $0x + 0y = 4$, czyli $0 = 4$. Nie spełnia go żadna para liczb, więc układ nie ma rozwiązań. Np. w układzie $\begin{cases} x - 4y = 1 \\ 3x - 12y = 5 \end{cases}$ po podstawieniu $x = 1 + 4y$ otrzymujemy $3 + 12y - 12y = 5$, czyli $0y = 2$.

11.Jak rozpoznać układ nieoznaczony i zapisać jego rozwiązanie?

Niewiadome się redukują i otrzymujemy równanie tożsamościowe, np. $0x = 0$, czyli $0 = 0$. Wtedy układ spełnia każda para liczb, dla której prawdziwe jest pozostałe równanie z obiema niewiadomymi. Np. dla $\begin{cases} x - 3y = 4 \\ -2x + 6y = -8 \end{cases}$ rozwiązanie zapisujemy: $x \in \mathbb{R}$, $y = \frac{1}{3}x - \frac{4}{3}$.

12.Metoda przeciwnych współczynników

Gdy współczynniki przy jednej niewiadomej są liczbami przeciwnymi, dodajemy równania stronami i otrzymujemy równanie z jedną niewiadomą. Obliczoną wartość podstawiamy do jednego z równań i wyznaczamy drugą niewiadomą. Np. w układzie $\begin{cases} 2x + y = 9 \\ 3x - y = 11 \end{cases}$: $5x = 20$, $x = 4$, $y = 9 - 8 = 1$ (rysunek).

13.Kiedy przed dodaniem równań mnożymy jedno z nich przez liczbę?

Gdy współczynniki przy żadnej niewiadomej nie są liczbami przeciwnymi. Mnożymy obie strony równania, także prawą, przez taką liczbę, aby współczynniki przy jednej niewiadomej stały się przeciwne. Np. w układzie $\begin{cases} 3x + 2y = 12 \\ x + y = 5 \end{cases}$ mnożymy drugie równanie przez $-2$: $-2x - 2y = -10$. Po dodaniu $x = 2$, a stąd $y = 3$.

14.Mnożenie obu równań układu przez różne liczby

Czasem trzeba pomnożyć oba równania, każde przez inną liczbę, aby otrzymać przeciwne współczynniki. Np. w układzie $\begin{cases} 3x + 4y = 10 \\ 2x + 3y = 7 \end{cases}$ mnożymy pierwsze równanie przez 2, a drugie przez $-3$: $6x + 8y = 20$ i $-6x - 9y = -21$. Po dodaniu $-y = -1$, więc $y = 1$ i $x = 2$.

15.Od czego nie zależy rozwiązanie układu równań?

Rozwiązanie nie zależy od wyboru metody ani od kolejności równań, którą można zmienić na każdym etapie. W metodzie podstawiania nie zależy od tego, którą niewiadomą i z którego równania wyznaczymy, a w metodzie przeciwnych współczynników - od tego, którą niewiadomą zredukujemy.

16.Jak ustalić, dla jakiej wartości parametru układ jest sprzeczny albo nieoznaczony?

Rozwiązujemy układ jak zwykle, traktując parametr jak liczbę, aż zostanie równanie z jedną niewiadomą. Np. w układzie $\begin{cases} x + 2y = 3 \\ 2x + my = 5 \end{cases}$ mnożymy pierwsze równanie przez $-2$ i dodajemy: $(m - 4)y = -1$. Dla $m = 4$ mamy $0y = -1$, więc układ jest sprzeczny, a dla $m \neq 4$ - oznaczony. Gdyby po prawej stronie zostało 0, dla $m = 4$ układ byłby nieoznaczony.

17.Jak rozwiązać zadanie tekstowe za pomocą układu równań?

Oznaczamy dwie niewiadome, zapisujemy dwa równania opisujące warunki zadania i rozwiązujemy układ. Potem sprawdzamy, czy rozwiązanie spełnia warunki zadania (np. liczba osób musi być naturalna, a długość dodatnia), i zapisujemy odpowiedź. Np. w klasie jest 31 uczniów, dziewcząt o 5 więcej niż chłopców: $\begin{cases} d + c = 31 \\ d = c + 5 \end{cases}$, więc $c = 13$, $d = 18$.

18.Zadania o monetach, biletach i zakupach

Jedno równanie dotyczy liczby sztuk, a drugie łącznej wartości: liczba sztuk razy cena (albo nominał) daje kwotę. Np. 10 banknotów po 20 zł i 50 zł ma wartość 290 zł: $\begin{cases} x + y = 10 \\ 20x + 50y = 290 \end{cases}$, stąd $x = 7$, $y = 3$.

19.Zadania o wieku

Obecny wiek osób oznaczamy niewiadomymi. Wiek sprzed $k$ lat to wiek obecny minus $k$, a wiek za $k$ lat - plus $k$, przy czym wiek obu osób zmienia się o tyle samo lat. Np. dziadek jest 5 razy starszy od wnuka, a za 8 lat będzie 3 razy starszy: $\begin{cases} d = 5w \\ d + 8 = 3(w + 8) \end{cases}$, stąd $w = 8$, $d = 40$.

20.Zadania geometryczne, np. o bokach prostokąta

Długości boków oznaczamy niewiadomymi, a równania zapisujemy z obwodu i z zależności między bokami. Np. obwód prostokąta jest równy 34 cm, a jeden bok jest o 5 cm dłuższy od drugiego: $\begin{cases} 2x + 2y = 34 \\ x = y + 5 \end{cases}$, stąd boki mają 11 cm i 6 cm.

21.Zadania o liczbach dwucyfrowych

Liczbę dwucyfrową o cyfrze dziesiątek $x$ i cyfrze jedności $y$ zapisujemy jako $10x + y$, a po przestawieniu cyfr - jako $10y + x$. Np. suma cyfr jest równa 9, a po przestawieniu cyfr liczba wzrasta o 27: $\begin{cases} x + y = 9 \\ 10y + x = 10x + y + 27 \end{cases}$, stąd $x = 3$, $y = 6$, czyli szukana liczba to 36.

22.Stężenie procentowe roztworu

Stężenie procentowe roztworu określa, jaki procent masy całego roztworu stanowi masa rozpuszczonej substancji. Masę substancji obliczamy, mnożąc stężenie przez masę roztworu, np. w 30 kg solanki o stężeniu 4% jest $0{,}04 \cdot 30~\mathrm{kg} = 1{,}2~\mathrm{kg}$ soli.

23.Jak ułożyć układ równań w zadaniu o mieszaniu roztworów?

Pierwsze równanie opisuje masy roztworów, a drugie - masy substancji: masa substancji w mieszaninie to suma jej mas w mieszanych roztworach. Np. ile solanki 5% i 15% zmieszać, aby otrzymać 50 kg solanki 12%: $\begin{cases} x + y = 50 \\ 0{,}05x + 0{,}15y = 0{,}12 \cdot 50 \end{cases}$, stąd $x = 15$ kg, $y = 35$ kg.

24.Jak zapisać w równaniu wzrost lub spadek o $p\%$?

Wielkość $x$ po wzroście o $p\%$ jest równa $x + \frac{p}{100}x$, np. po wzroście o 20% to $1{,}2x$, a po spadku o 10% to $0{,}9x$. Na lokacie oprocentowanej 5% w skali roku odsetki po roku wynoszą $0{,}05x$, a cała kwota $1{,}05x$ (pomijamy podatek).

25.Zadania o ruchu: wzór $s = v \cdot t$

Droga $s$ to iloczyn prędkości $v$ i czasu $t$, więc $v = \frac{s}{t}$ i $t = \frac{s}{v}$. Gdy dwa pojazdy jadą naprzeciw siebie, do chwili spotkania razem przebywają całą odległość między nimi. Np. z miast odległych o 400 km jadą naprzeciw siebie samochody z prędkościami 75 km/h i 85 km/h: $75t + 85t = 400$, więc spotkają się po 2,5 h.

26.Prędkość własna łodzi; płynięcie z prądem i pod prąd

Prędkość własna łodzi $v$ to prędkość, jaką łódź osiąga na stojącej wodzie. Gdy prąd rzeki ma prędkość $v_p$, łódź płynie z prądem z prędkością $v + v_p$, a pod prąd - z prędkością $v - v_p$. Np. z prądem 22 km/h, a pod prąd 14 km/h: $\begin{cases} v + v_p = 22 \\ v - v_p = 14 \end{cases}$, więc $v = 18$ km/h, $v_p = 4$ km/h.

27.Zadanie z trzema niewiadomymi

Jedną niewiadomą zapisujemy za pomocą pozostałych i otrzymujemy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi. Np. sprzedano 15 przekąsek: $x$ batonów po 3 zł, $y$ wafli po 2 zł i $z$ soków po 4 zł, razem za 46 zł, a batonów było 2 razy więcej niż soków. Z $x = 2z$ mamy $\begin{cases} y + 3z = 15 \\ 2y + 10z = 46 \end{cases}$, stąd $z = 4$, $y = 3$, $x = 8$.