Wyrażenia algebraiczne i wartość bezwzględna - MATeMAtyka 1 (ZP)

1.Jednomian; mnożenie jednomianów

Jednomian to liczba, zmienna albo iloczyn liczb i zmiennych, np. $5$, $-2x$, $\frac{3}{4}a^2b$. Jednomiany mnożymy, mnożąc współczynniki liczbowe i dodając wykładniki potęg tej samej zmiennej, np. $\frac{1}{3}x^2 \cdot 6xy^3 = 2x^3y^3$.

2.Wyrazy podobne i redukcja wyrazów podobnych

Wyrazy sumy algebraicznej (sumy lub różnicy jednomianów) są podobne, gdy różnią się co najwyżej współczynnikiem liczbowym, np. $4a^2b$ i $-a^2b$, a $4a^2b$ i $4ab^2$ nie są podobne. Dodawanie lub odejmowanie wyrazów podobnych to redukcja wyrazów podobnych: $5a^2b - 7a^2b = -2a^2b$.

3.Opuszczanie nawiasu poprzedzonego znakiem minus

Gdy przed nawiasem stoi minus, opuszczamy nawias i zmieniamy znak każdego wyrazu w nawiasie na przeciwny: $-(a - b + c) = -a + b - c$. Np. $6x - (4x - 3) = 6x - 4x + 3 = 2x + 3$.

4.Mnożenie sumy algebraicznej przez jednomian

Każdy wyraz sumy mnożymy przez ten jednomian i zapisujemy sumę otrzymanych iloczynów: $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$. Pilnujemy znaków, np. $-2a(3a - b + 1) = -6a^2 + 2ab - 2a$, a $\sqrt{2}(\sqrt{2} + 3) = 2 + 3\sqrt{2}$.

5.Jak wykazać, że wartość wyrażenia nie zależy od wartości zmiennej?

Wykonujemy mnożenie i redukujemy wyrazy podobne. Jeśli wszystkie wyrazy ze zmienną się zredukują i zostanie sama liczba, to wartość wyrażenia nie zależy od zmiennej. Np. $x(x + 5) - x(x - 2) - 7x + 4 = x^2 + 5x - x^2 + 2x - 7x + 4 = 4$.

6.Rozdzielność mnożenia względem dodawania

Dla dowolnych liczb $a$, $b$, $c$ jest $a(b + c) = a \cdot b + a \cdot c$. Ta własność ułatwia rachunki w pamięci: $23 \cdot 4 = (20 + 3) \cdot 4 = 80 + 12 = 92$ oraz $14 \cdot 58 + 14 \cdot 42 = 14 \cdot (58 + 42) = 14 \cdot 100 = 1400$.

7.Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias

To czynność odwrotna do mnożenia jednomianu przez sumę algebraiczną: $a \cdot b + a \cdot c = a(b + c)$. Czynnik można wybrać na kilka sposobów, np. $8x^2 + 12x = 4(2x^2 + 3x) = 4x(2x + 3)$. To, jaki czynnik wyłączymy, zależy od zadania.

8.Jaki czynnik zwykle wyłączamy przed nawias?

Czynnik liczbowy oraz wszystkie możliwe zmienne w jak najwyższych potęgach, np. $15a^3b^2 - 10a^2b^4 = 5a^2b^2(3a - 2b^2)$. Gdy wyłączamy cały wyraz, w nawiasie zostaje w jego miejscu 1: $6x^2 + 3x = 3x(2x + 1)$.

9.Jak obliczyć wartość wyrażenia, gdy znamy wartość innego wyrażenia, np. $x + 2y$?

Wyłączamy wspólny czynnik tak, aby w nawiasie powstało znane wyrażenie, i podstawiamy jego wartość. Np. gdy $x + 2y = 7$, to $3x + 6y - 4 = 3(x + 2y) - 4 = 3 \cdot 7 - 4 = 17$.

10.Jak uzasadnić, że suma liczb jest podzielna przez daną liczbę?

Zapisujemy liczby za pomocą zmiennej i przedstawiamy sumę jako iloczyn danej liczby i liczby całkowitej. Np. suma czterech kolejnych liczb naturalnych to $n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = 4n + 6 = 2(2n + 3)$, a $2n + 3$ jest liczbą naturalną, więc ta suma jest podzielna przez 2.

11.Mnożenie sum algebraicznych

Każdy wyraz jednej sumy mnożymy przez każdy wyraz drugiej sumy i zapisujemy sumę otrzymanych iloczynów: $(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$. Tyle wynosi pole prostokąta o bokach $a + b$ i $c + d$ podzielonego na cztery mniejsze prostokąty. Np. $(x + 2)(x + 7) = x^2 + 7x + 2x + 14 = x^2 + 9x + 14$.

12.Jak mnożyć sumy, w których są wyrazy ze znakiem minus?

Każdy wyraz mnożymy razem ze znakiem, który przed nim stoi. Iloczyn wyrazów o różnych znakach jest ujemny, a o jednakowych znakach - dodatni. Np. $(2a - 5b)(a + 2b) = 2a^2 + 4ab - 5ab - 10b^2 = 2a^2 - ab - 10b^2$.

13.Mnożenie dwumianu przez trójmian

Każdy z 2 wyrazów dwumianu mnożymy przez każdy z 3 wyrazów trójmianu, więc otrzymujemy 6 iloczynów, a potem redukujemy wyrazy podobne. Kolejność mnożenia sum nie ma znaczenia. Np. $(x + 2)(x^2 - 3x + 1) = x^3 - 3x^2 + x + 2x^2 - 6x + 2 = x^3 - x^2 - 5x + 2$.

14.Iloczyn trzech sum algebraicznych, np. objętość prostopadłościanu

Mnożymy dwie dowolnie wybrane sumy i redukujemy wyrazy podobne, a wynik mnożymy przez trzecią sumę. Np. prostopadłościan o krawędziach $x + 1$, $x + 2$ i $x - 3$, gdzie $x > 3$, ma objętość $V = (x^2 + 3x + 2)(x - 3) = x^3 - 7x - 6$ (rysunek).

15.Mnożenie sum zawierających pierwiastki

Postępujemy jak przy mnożeniu sum algebraicznych i korzystamy z równości $(\sqrt{a})^2 = a$ oraz $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ dla $a, b \ge 0$. Np. $(\sqrt{6} + 4)(\sqrt{6} - 2) = 6 - 2\sqrt{6} + 4\sqrt{6} - 8 = 2\sqrt{6} - 2$.

16.Jak rozwiązać równanie lub nierówność z iloczynami sum, np. $(x + 7)(x - 3) = x^2 + 3$?

Wymnażamy sumy, przenosimy wyrazy z niewiadomą na lewą stronę, a liczby na prawą, i redukujemy wyrazy podobne - w takich zadaniach wyrazy z $x^2$ się redukują. Zostaje równanie lub nierówność liniowa. Np. z $x^2 + 4x - 21 = x^2 + 3$ mamy $4x = 24$, czyli $x = 6$ (rysunek).

17.Kwadrat sumy

Dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ i $b$: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Ilustruje to kwadrat o boku $a + b$ złożony z kwadratów o polach $a^2$ i $b^2$ oraz dwóch prostokątów o polu $ab$. Np. $(x + 6)^2 = x^2 + 12x + 36$, a nie $x^2 + 36$.

18.Kwadrat różnicy

Dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ i $b$: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Minus stoi tylko przy wyrazie $2ab$, a $b^2$ dodajemy. Np. $(5x - 3)^2 = 25x^2 - 30x + 9$.

19.Jak podnieść do kwadratu dwumian, którego wyrazy mają współczynniki?

Każdy wyraz traktujemy w całości jako $a$ lub $b$ i podnosimy do kwadratu razem ze współczynnikiem: $(5a)^2 = 25a^2$, a nie $5a^2$. Np. $(5a + 2b)^2 = (5a)^2 + 2 \cdot 5a \cdot 2b + (2b)^2 = 25a^2 + 20ab + 4b^2$.

20.Kwadrat sumy i kwadrat różnicy liczb z pierwiastkami

Stosujemy wzory skróconego mnożenia i równość $(\sqrt{a})^2 = a$. Np. $(\sqrt{3} + 5)^2 = 3 + 10\sqrt{3} + 25 = 28 + 10\sqrt{3}$ oraz $(\sqrt{10} - \sqrt{2})^2 = 10 - 2\sqrt{20} + 2 = 12 - 4\sqrt{5}$.

21.Różnica kwadratów

Dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ i $b$: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Iloczyn różnicy i sumy tych samych wyrazów jest więc różnicą ich kwadratów, np. $(x - 12)(x + 12) = x^2 - 144$ oraz $(4a + 5b)(4a - 5b) = 16a^2 - 25b^2$.

22.Jak rozpoznać różnicę kwadratów, gdy wyrazy są przestawione?

W obu nawiasach są te same dwa wyrazy: jeden ma w obu nawiasach ten sam znak, a drugi - przeciwne znaki. Wynik to kwadrat wyrazu o tym samym znaku minus kwadrat wyrazu o przeciwnych znakach. Np. $(8 + y)(y - 8) = (y + 8)(y - 8) = y^2 - 64$ oraz $(7 - 2x)(7 + 2x) = 49 - 4x^2$.

23.Różnica kwadratów z pierwiastkami

Iloczyn postaci $(a - \sqrt{b})(a + \sqrt{b})$ obliczamy ze wzoru na różnicę kwadratów: $a^2 - b$, bo $(\sqrt{b})^2 = b$. Np. $(9 - \sqrt{7})(9 + \sqrt{7}) = 9^2 - (\sqrt{7})^2 = 81 - 7 = 74$ oraz $(\sqrt{11} - \sqrt{6})(\sqrt{11} + \sqrt{6}) = 11 - 6 = 5$.

24.Jak uprościć wyrażenie ze wzorami skróconego mnożenia i obliczyć jego wartość?

Najpierw stosujemy wzory i redukujemy wyrazy podobne, a dopiero potem podstawiamy liczbę. Gdy przed iloczynem stoi minus, jego rozwinięcie zapisujemy w nawiasie. Np. $(x + 2)^2 - (x - 2)(x + 2) = x^2 + 4x + 4 - (x^2 - 4) = 4x + 8$, więc dla $x = \sqrt{3}$ wartość wynosi $4\sqrt{3} + 8$.

25.Jak usunąć niewymierność z mianownika postaci $a \pm \sqrt{b}$ lub $\sqrt{a} \pm \sqrt{b}$?

Licznik i mianownik mnożymy przez sumę, która różni się od mianownika tylko znakiem drugiego wyrazu. W mianowniku powstaje różnica kwadratów bez pierwiastka. Np. $\frac{8}{\sqrt{5} + 1} = \frac{8(\sqrt{5} - 1)}{(\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} - 1)} = \frac{8(\sqrt{5} - 1)}{5 - 1} = 2\sqrt{5} - 2$ (rysunek).

26.Jak rozwiązać równanie lub nierówność ze wzorami skróconego mnożenia?

Rozwijamy kwadraty i iloczyny ze wzorów, a rozwinięcie poprzedzone minusem bierzemy w nawias. Potem rozwiązujemy jak równanie lub nierówność liniową. Np. $(x - 2)^2 - (x + 6)(x - 6) = 20$, $x^2 - 4x + 4 - (x^2 - 36) = 20$, $-4x + 40 = 20$, $x = 5$.

27.Kiedy wyrażenie postaci $a^2 + 2ab + b^2$ lub $a^2 - 2ab + b^2$ jest równe 0?

Zapisujemy je jako kwadrat dwumianu. Kwadrat liczby jest równy 0 tylko wtedy, gdy ta liczba jest równa 0. Np. $x^2 - 12x + 36 = (x - 6)^2$, więc wyrażenie przyjmuje wartość 0 tylko dla $x = 6$.

28.Dlaczego równanie $x^2 = -7$ jest sprzeczne, a nierówność $x^2 > -3$ tożsamościowa?

Kwadrat liczby rzeczywistej nie jest ujemny: $x^2 \ge 0$ dla każdego $x$. Żadna liczba nie spełnia więc $x^2 = -7$ ani $x^2 < -1$, a każda liczba spełnia $x^2 > -3$. Np. równanie $(x - 3)^2 = 2 - 6x$ po rozwinięciu daje $x^2 = -7$, więc jest sprzeczne.

29.Jak uzasadnić, że reszta z dzielenia liczby przez $k$ jest równa $r$?

Zapisujemy liczbę za pomocą zmiennej i przekształcamy do postaci $k \cdot m + r$, gdzie $m$ jest liczbą całkowitą, a $0 \le r < k$. Np. $(3n + 1)^2 = 9n^2 + 6n + 1 = 3(3n^2 + 2n) + 1$, więc kwadrat liczby postaci $3n + 1$ daje resztę 1 z dzielenia przez 3. Sprawdzenie kilku liczb nie jest uzasadnieniem.

30.Wartość bezwzględna liczby

Wartość bezwzględną liczby $a$ określa wzór: $|a| = a$ dla $a \ge 0$ oraz $|a| = -a$ dla $a < 0$. Jest ona zawsze liczbą nieujemną: $|a| \ge 0$ dla dowolnego $a \in \mathbb{R}$. Np. $|9| = 9$ i $|-4{,}2| = -(-4{,}2) = 4{,}2$.

31.Jak obliczyć wartość bezwzględną wyrażenia z pierwiastkiem, np. $|\sqrt{11} - 4|$?

Najpierw ustalamy znak wyrażenia. Jeśli jest nieujemne, przepisujemy je bez zmian, a jeśli ujemne - zmieniamy znak na przeciwny. Np. $\sqrt{11} < 4$, bo $11 < 16$, więc $|\sqrt{11} - 4| = -(\sqrt{11} - 4) = 4 - \sqrt{11}$, a $\sqrt{10} > 3$, więc $|\sqrt{10} - 3| = \sqrt{10} - 3$.

32.Interpretacja geometryczna wartości bezwzględnej

Wartość bezwzględna liczby $x$ to jej odległość na osi liczbowej od liczby 0. Liczby przeciwne leżą w tej samej odległości od 0, dlatego $|-a| = |a|$ dla dowolnego $a \in \mathbb{R}$, np. $|-6| = |6| = 6$.

33.Równanie $|x| = a$

Szukamy liczb, których odległość od 0 jest równa $a$. Dla $a > 0$ równanie ma dwa rozwiązania: $x = -a$ lub $x = a$, np. $|x| = 5$ dla $x = -5$ lub $x = 5$ (rysunek). Dla $a = 0$ jedynym rozwiązaniem jest $x = 0$, a dla $a < 0$ równanie jest sprzeczne.

34.Jak rozwiązać równanie typu $a|x| + b = c$?

Przekształcamy równanie tak, aby wyznaczyć $|x|$, a potem szukamy liczb o takiej wartości bezwzględnej. Np. $3|x| + 2 = 14$, więc $3|x| = 12$, czyli $|x| = 4$, a stąd $x = -4$ lub $x = 4$.

35.Pierwiastek z kwadratu liczby: $\sqrt{a^2}$

Dla dowolnego $a \in \mathbb{R}$: $\sqrt{a^2} = |a|$, bo pierwiastek kwadratowy nie jest liczbą ujemną. Np. $\sqrt{(-8)^2} = |-8| = 8$, a $\sqrt{(\sqrt{2} - 3)^2} = |\sqrt{2} - 3| = 3 - \sqrt{2}$.

36.Nierówności $|x| < a$ i $|x| \le a$ dla $a > 0$

Spełniają je liczby, których odległość od 0 jest mniejsza od $a$ (albo równa $a$): $|x| < a$ dla $x \in (-a; a)$, a $|x| \le a$ dla $x \in [-a; a]$. Np. $|x| \le 7$ dla $x \in [-7; 7]$ (rysunek).

37.Nierówności $|x| > a$ i $|x| \ge a$ dla $a > 0$

Spełniają je liczby, których odległość od 0 jest większa od $a$ (albo równa $a$): $|x| > a$ dla $x \in (-\infty; -a) \cup (a; \infty)$, a $|x| \ge a$ dla $x \in (-\infty; -a] \cup [a; \infty)$. Np. $|x| > 6$ dla $x \in (-\infty; -6) \cup (6; \infty)$ (rysunek).

38.Nierówności $|x| < 0$, $|x| \le 0$, $|x| \ge 0$ i $|x| > 0$

Wartość bezwzględna nie jest ujemna, a równa 0 jest tylko dla $x = 0$. Dlatego nierówności $|x| < 0$ nie spełnia żadna liczba, $|x| \le 0$ spełnia tylko $x = 0$, $|x| \ge 0$ - każda liczba rzeczywista, a $|x| > 0$ - każda liczba różna od 0.

39.Jak rozwiązać podwójną nierówność, np. $3 < |x| \le 6$?

Szukamy liczb, których odległość od 0 jest większa od 3 i nie większa od 6. Leżą one po obu stronach zera, więc zbiór rozwiązań jest sumą dwóch przedziałów: $x \in [-6; -3) \cup (3; 6]$ (rysunek).