Zbiory, przedziały i nierówności - MATeMAtyka 1 (ZR)

1.Zbiór i jego elementy

Zbiory oznaczamy wielkimi literami. Zbiór opisujemy, podając jego elementy: słownie albo wypisując je w nawiasie klamrowym. Symbol $\in$ oznacza, że element należy do zbioru, a $\notin$ - że nie należy. Np. dla zbioru naturalnych dzielników liczby 12, czyli $A = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$, mamy $6 \in A$ i $5 \notin A$. Podobnie $\sqrt{3} \notin \mathbb{Q}$.

2.Zbiór skończony, zbiór nieskończony i zbiór pusty

Zbiór skończony ma skończoną liczbę elementów, np. zbiór dzielników liczby 12. Do zbioru nieskończonego należy nieskończenie wiele elementów, np. do $\mathbb{Z}$. Zbiór, do którego nie należy żaden element, to zbiór pusty $\emptyset$, np. zbiór liczb naturalnych mniejszych od 0. Zbiór $\{0\}$ nie jest pusty - ma jeden element.

3.Jak opisać zbiór za pomocą warunku?

Podajemy, z jakiego zbioru bierzemy elementy, i warunek, który mają spełniać, np. $\{x \in \mathbb{Z}: -2 \leq x < 3\} = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$. Zbiór, z którego wybieramy, ma znaczenie: $\{x \in \mathbb{N}: x^2 = 9\} = \{3\}$, ale $\{x \in \mathbb{Z}: x^2 = 9\} = \{-3, 3\}$.

4.Równość zbiorów

Dwa zbiory są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają te same elementy. Kolejność wypisania elementów nie ma znaczenia. Np. $\{1, 2, 3\} = \{3, 1, 2\}$ oraz $\{x \in \mathbb{N}: x < 3\} = \{0, 1, 2\}$.

5.Co oznacza zdanie „p wtedy i tylko wtedy, gdy q”?

Oznacza, że prawdziwe są dwa zdania: „jeżeli p, to q” oraz „jeżeli q, to p”. Np. zdanie „liczba naturalna jest parzysta wtedy i tylko wtedy, gdy jej ostatnia cyfra jest parzysta” jest prawdziwe, bo zachodzą obie implikacje. Zdanie „liczba naturalna jest podzielna przez 9 wtedy i tylko wtedy, gdy jest podzielna przez 3” jest fałszywe: 6 dzieli się przez 3, ale nie dzieli się przez 9.

6.Podzbiór

Zbiór $A$ jest podzbiorem zbioru $B$ (jest zawarty w zbiorze $B$), jeśli każdy element zbioru $A$ jest elementem zbioru $B$. Zapisujemy $A \subset B$, a $A \not\subset B$ oznacza, że $A$ nie jest podzbiorem $B$. Np. $\{2, 4\} \subset \{1, 2, 3, 4\}$, ale $\{2, 5\} \not\subset \{1, 2, 3, 4\}$. Dla każdego zbioru $A$: $A \subset A$ i $\emptyset \subset A$. Jeśli $A \subset B$ i $B \subset A$, to $A = B$.

7.Zawieranie zbiorów liczbowych $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$

Każda liczba naturalna jest całkowita, każda całkowita - wymierna, a każda wymierna - rzeczywista, więc $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ (rysunek). Zawierania w drugą stronę nie zachodzą: $\mathbb{Z} \not\subset \mathbb{N}$, bo $-1 \in \mathbb{Z}$ i $-1 \notin \mathbb{N}$, oraz $\mathbb{R} \not\subset \mathbb{Q}$, bo $\sqrt{2} \in \mathbb{R}$ i $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$.

8.Ile podzbiorów ma zbiór $n$-elementowy?

Zbiór $n$-elementowy ma $2^n$ podzbiorów - wliczamy zbiór pusty i cały zbiór. Każdy element może należeć do podzbioru albo nie, więc każdy kolejny element podwaja liczbę podzbiorów. Np. zbiór $\{a\}$ ma $2^1 = 2$ podzbiory: $\emptyset$ i $\{a\}$, zbiór 5-elementowy ma $2^5 = 32$ podzbiory, a zbiór 6-elementowy - $2^6 = 64$ podzbiory.

9.Iloczyn (część wspólna) zbiorów

Iloczynem (częścią wspólną) zbiorów $A$ i $B$ nazywamy zbiór elementów, które należą jednocześnie do obu tych zbiorów: $A \cap B = \{x: x \in A \text{ i } x \in B\}$. Np. dla $A = \{1, 3, 5, 7, 9\}$ i $B = \{3, 6, 9\}$ mamy $A \cap B = \{3, 9\}$. Zbiory, które nie mają wspólnych elementów ($A \cap B = \emptyset$), nazywamy rozłącznymi, np. zbiór liczb dodatnich i zbiór liczb ujemnych.

10.Suma zbiorów

Sumą zbiorów $A$ i $B$ nazywamy zbiór elementów, które należą do co najmniej jednego ze zbiorów $A$ lub $B$: $A \cup B = \{x: x \in A \text{ lub } x \in B\}$. Elementy wspólne zapisujemy raz. Np. $\{1, 3, 5, 7, 9\} \cup \{3, 6, 9\} = \{1, 3, 5, 6, 7, 9\}$.

11.Różnica zbiorów

Różnicą zbiorów $A$ i $B$ nazywamy zbiór elementów, które należą do zbioru $A$ i nie należą do zbioru $B$: $A \setminus B = \{x: x \in A \text{ i } x \notin B\}$. Kolejność zbiorów ma znaczenie. Np. dla $A = \{1, 3, 5, 7, 9\}$ i $B = \{3, 6, 9\}$ mamy $A \setminus B = \{1, 5, 7\}$, a $B \setminus A = \{6\}$.

12.Przestrzeń i dopełnienie zbioru

Przestrzeń $U$ to zbiór wszystkich rozpatrywanych elementów; gdy mówimy o liczbach, jest nią zwykle $\mathbb{R}$. Dopełnienie zbioru $A$ to różnica przestrzeni i zbioru $A$: $A' = U \setminus A = \{x \in U: x \notin A\}$. Np. dla $U = \{1, 2, \ldots, 10\}$ i zbioru $A$ liczb parzystych z $U$ mamy $A' = \{1, 3, 5, 7, 9\}$.

13.Prawa De Morgana

Dla dowolnych zbiorów $A$ i $B$: $(A \cap B)' = A' \cup B'$ oraz $(A \cup B)' = A' \cap B'$ - dopełnienie zamienia iloczyn na sumę, a sumę na iloczyn. Np. dla $U = \{1, 2, \ldots, 6\}$, $A = \{1, 2, 3\}$, $B = \{2, 4, 6\}$: $(A \cup B)' = \{5\}$ i $A' \cap B' = \{4, 5, 6\} \cap \{1, 3, 5\} = \{5\}$. Podobnie dla trzech zbiorów: $(A \cup B \cup C)' = A' \cap B' \cap C'$ i $(A \cap B \cap C)' = A' \cup B' \cup C'$.

14.Jak wyznaczyć zbiór typu $(A \cup B) \setminus C$ albo $A \cap B \cap C$?

Najpierw wykonujemy działanie w nawiasie, potem następne. Iloczyn $A \cap B \cap C$ to elementy należące do wszystkich trzech zbiorów. Np. dla $A = \{1, 2, \ldots, 6\}$, $B = \{4, 5, \ldots, 9\}$ i $C = \{2, 5, 8\}$: $A \cup B = \{1, 2, \ldots, 9\}$, więc $(A \cup B) \setminus C = \{1, 3, 4, 6, 7, 9\}$, a $A \cap B \cap C = \{5\}$.

15.Jak uzupełnić diagram Venna w zadaniu z ankietą?

Zaczynamy od części wspólnej, potem wpisujemy osoby należące tylko do jednego zbioru, a na końcu te spoza obu zbiorów. Np. w klasie 30 osób 18 gra w piłkę nożną, 15 w siatkówkę, a 7 w obie gry: tylko w piłkę gra $18 - 7 = 11$ osób, tylko w siatkówkę $15 - 7 = 8$, w co najmniej jedną grę $11 + 8 + 7 = 26$, a w żadną $30 - 26 = 4$ (rysunek).

16.Oś liczbowa i współrzędna punktu

Oś liczbowa to prosta, na której wyróżniono punkt zerowy (początek osi), zwrot oraz przynajmniej jeden punkt wskazujący jednostkę. Każdej liczbie rzeczywistej odpowiada dokładnie jeden punkt osi, a każdemu punktowi - dokładnie jedna liczba, zwana jego współrzędną. Zapis $A(-3)$ oznacza punkt $A$ o współrzędnej $-3$, a $B(1{,}5)$ - punkt $B$ o współrzędnej $1{,}5$ (rysunek).

17.Przedział otwarty $(a; b)$

Zbiór liczb $x$ spełniających warunek $a < x < b$ to przedział otwarty $(a; b)$. Liczby $a$ i $b$ to końce przedziału - nie należą do niego, więc na osi zaznaczamy je pustymi kółkami. Np. warunek $-2 < x < 5$ zapisujemy jako $x \in (-2; 5)$ (rysunek).

18.Przedział domknięty $[a; b]$

Zbiór liczb $x$ spełniających warunek $a \leq x \leq b$ to przedział obustronnie domknięty $[a; b]$. Oba końce należą do przedziału, więc na osi zaznaczamy je zamalowanymi kółkami. Np. warunek $-6 \leq x \leq -1$ zapisujemy jako $x \in [-6; -1]$ (rysunek).

19.Przedział lewostronnie domknięty i przedział prawostronnie domknięty

Jeśli do przedziału należy tylko jego lewy koniec, jest to przedział lewostronnie domknięty $[a; b)$, czyli $a \leq x < b$. Jeśli należy tylko prawy koniec - przedział prawostronnie domknięty $(a; b]$, czyli $a < x \leq b$. Np. $x \in [-3; 4)$ oznacza $-3 \leq x < 4$: kółko w $-3$ jest zamalowane, a w 4 puste (rysunek).

20.Długość przedziału

Długością każdego z przedziałów $(a; b)$, $(a; b]$, $[a; b)$ i $[a; b]$ nazywamy liczbę $b - a$. Nie zależy ona od tego, czy końce należą do przedziału. Np. przedział $(-1{,}5; 3]$ ma długość $3 - (-1{,}5) = 4{,}5$.

21.Przedziały $(a; \infty)$ i $[a; \infty)$

Zbiór liczb spełniających nierówność $x > a$ to przedział lewostronnie otwarty $(a; \infty)$, a nierówność $x \geq a$ - przedział lewostronnie domknięty $[a; \infty)$. Przy symbolu $\infty$ zawsze stawiamy nawias okrągły, bo $\infty$ nie jest liczbą. Np. $x \geq 1{,}5$ zapisujemy jako $x \in [1{,}5; \infty)$ (rysunek).

22.Przedziały $(-\infty; b)$ i $(-\infty; b]$

Zbiór liczb spełniających nierówność $x < b$ to przedział prawostronnie otwarty $(-\infty; b)$, a nierówność $x \leq b$ - przedział prawostronnie domknięty $(-\infty; b]$. Np. $x < -1$ zapisujemy jako $x \in (-\infty; -1)$ (rysunek). Cały zbiór liczb rzeczywistych $\mathbb{R}$ to przedział $(-\infty; \infty)$.

23.Jak zapisać zbiór liczb odległych od liczby $a$ o mniej niż $d$?

Na osi są to liczby leżące między $a - d$ a $a + d$, bez końców, czyli przedział $(a - d; a + d)$. Gdy odległość ma być nie większa niż $d$, końce należą do zbioru: $[a - d; a + d]$. Np. liczby odległe od 2 o mniej niż 3 tworzą przedział $(-1; 5)$, a odległe o nie więcej niż 3 - przedział $[-1; 5]$.

24.Jak opisać przedziałami punkty prostokąta w układzie współrzędnych?

Odczytujemy, jakie wartości przyjmuje pierwsza współrzędna $x$, a jakie druga współrzędna $y$ punktów prostokąta. Np. prostokąt o wierzchołkach $(1, -1)$, $(4, -1)$, $(4, 2)$, $(1, 2)$ razem z brzegiem to punkty, dla których $x \in [1; 4]$ i $y \in [-1; 2]$ (rysunek). Bok narysowany linią przerywaną nie należy do zbioru - wtedy przy odpowiednim końcu stawiamy nawias okrągły.

25.Suma i iloczyn przedziałów

Przedziały zaznaczamy na jednej osi. Sumie odpowiada ta część osi, która jest zaznaczona co najmniej raz, a iloczynowi - ta, która jest zaznaczona dwa razy. Np. dla $A = [-4; 3)$ i $B = (1; 6]$ mamy $A \cup B = [-4; 6]$ i $A \cap B = (1; 3)$. Końce sprawdzamy osobno: 3 nie należy do $A$, ale należy do $B$, więc należy do sumy, a do iloczynu nie.

26.Różnica przedziałów - na co uważać przy końcach?

Różnicy $A \setminus B$ odpowiada ta część osi, która należy tylko do $A$. Koniec przedziału trafia do różnicy, jeśli należy do $A$, a nie należy do $B$. Np. dla $A = [-4; 3)$ i $B = (1; 6]$ mamy $A \setminus B = [-4; 1]$, bo $1 \notin B$, oraz $B \setminus A = [3; 6]$, bo $3 \notin A$.

27.Kiedy różnica przedziałów jest sumą przedziałów?

Gdy przedział $B$ leży wewnątrz przedziału $A$ - po jego usunięciu z $A$ zostają dwa kawałki. Np. dla $A = [-2; 6]$ i $B = (1; 4)$ mamy $A \setminus B = [-2; 1] \cup [4; 6]$: liczby 1 i 4 nie należą do $B$, więc zostają w różnicy. Oba kawałki tworzą jeden zbiór $A \setminus B$ (rysunek). Zbiór złożony z kilku przedziałów zapisujemy jako ich sumę.

28.Dopełnienie przedziału

Dopełnienie zbioru $A \subset \mathbb{R}$ to $A' = \mathbb{R} \setminus A$, czyli wszystkie liczby rzeczywiste spoza $A$. Końce przedziału, które należą do $A$, nie należą do $A'$, i odwrotnie. Np. dla $A = [-2; 3)$ mamy $A' = (-\infty; -2) \cup [3; \infty)$ - obie półproste tworzą jeden zbiór $A'$ (rysunek).

29.Jak wyznaczyć liczby całkowite należące do przedziału?

Wyznaczamy iloczyn przedziału i zbioru $\mathbb{Z}$ (albo $\mathbb{N}$, gdy chodzi o liczby naturalne), uważając na końce. Np. $(-3{,}5; 2] \cap \mathbb{Z} = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2\}$ - to 6 liczb, bo 2 należy do przedziału, a $(-3{,}5; 2] \cap \mathbb{N} = \{0, 1, 2\}$.

30.Równanie tożsamościowe i równanie sprzeczne

Równanie tożsamościowe jest spełnione przez każdą liczbę rzeczywistą, a równanie sprzeczne - przez żadną. Gdy po przekształceniach niewiadoma się redukuje i zostaje równość prawdziwa, równanie jest tożsamościowe, np. $2(x + 3) = 2x + 6$ daje $6 = 6$. Gdy zostaje równość fałszywa, równanie jest sprzeczne, np. $3x - 1 = 3x + 4$ daje $-1 = 4$.

31.Nierówność i jej rozwiązanie

Warunek $ax + b > c$, gdzie $x$ jest niewiadomą, to nierówność; znak może być też $<$, $\geq$ lub $\leq$. Liczba spełnia nierówność, jeśli po podstawieniu jej za $x$ otrzymujemy nierówność prawdziwą, np. 5 spełnia $2x - 3 > 4$, bo $7 > 4$. Rozwiązać nierówność to wyznaczyć zbiór wszystkich liczb, które ją spełniają. Nierówności ze znakiem $>$ lub $<$ są ostre, a ze znakiem $\geq$ lub $\leq$ - nieostre.

32.Dodawanie i odejmowanie liczby po obu stronach nierówności

Dodanie tej samej liczby do obu stron nierówności lub odjęcie jej od obu stron daje nierówność o tym samym zbiorze rozwiązań. Odpowiada to przeniesieniu liczby na drugą stronę z przeciwnym znakiem. Np. $x - 7 \geq -2$, więc $x \geq -2 + 7$, czyli $x \geq 5$ i $x \in [5; \infty)$.

33.Nierówności równoważne

Dwie nierówności nazywamy równoważnymi, jeśli mają ten sam zbiór rozwiązań. Np. $3x < 6$ i $x < 2$ są równoważne, a $x < 2$ i $x \leq 2$ nie są, bo liczba 2 spełnia tylko drugą z nich.

34.Mnożenie i dzielenie obu stron nierówności przez liczbę

Jeżeli obie strony nierówności pomnożymy lub podzielimy przez tę samą liczbę dodatnią, otrzymamy nierówność równoważną. Jeżeli przez liczbę ujemną - nierówność równoważną otrzymamy dopiero po zmianie zwrotu nierówności, bo np. $2 < 5$, ale $-2 > -5$. Np. $-3x \geq 12$ dzielimy przez $-3$ i otrzymujemy $x \leq -4$, czyli $x \in (-\infty; -4]$ (rysunek).

35.Jak rozwiązać nierówność z ułamkami?

Mnożymy obie strony przez wspólny mianownik (liczbę dodatnią), biorąc liczniki w nawiasy, a potem opuszczamy nawiasy, przenosimy wyrazy i dzielimy. Np. nierówność $\frac{x - 1}{2} - \frac{x}{3} < 1$ mnożymy przez 6: $3(x - 1) - 2x < 6$, czyli $3x - 3 - 2x < 6$, więc $x < 9$ (rysunek).

36.Nierówność sprzeczna i nierówność tożsamościowa

Nierówność, która nie jest spełniona przez żadną liczbę rzeczywistą, jest sprzeczna, a spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą - tożsamościowa. Np. $2(x + 1) > 2x + 5$ daje $2 > 5$ - sprzeczność, zbiór rozwiązań to $\emptyset$. Z kolei $3(x - 1) \leq 3x$ daje $-3 \leq 0$ - tożsamość, zbiór rozwiązań to $\mathbb{R}$.

37.Układ nierówności (zapis z klamrą)

Klamra oznacza, że obie nierówności mają być spełnione jednocześnie. Rozwiązujemy każdą z nich, a wynikiem jest część wspólna zbiorów rozwiązań. Np. $\begin{cases} 2x - 1 > 3 \\ x + 4 \leq 10 \end{cases}$ daje $x > 2$ i $x \leq 6$, czyli $x \in (2; 6]$ (rysunek).

38.Jak rozwiązać nierówność ze współczynnikiem niewymiernym?

Postępujemy jak zwykle, ale przed dzieleniem sprawdzamy znak współczynnika przy $x$. Np. w nierówności $(3 - \sqrt{10})x < 2(3 - \sqrt{10})$ współczynnik jest ujemny, bo $\sqrt{10} > 3$, więc po podzieleniu przez $3 - \sqrt{10}$ zmieniamy zwrot: $x > 2$. Z kolei $\sqrt{2}x < 4$ daje $x < \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$.

39.Jak rozwiązać zadanie tekstowe za pomocą nierówności?

Oznaczamy niewiadomą, zapisujemy warunek z treści jako nierówność, rozwiązujemy ją i sprawdzamy, które rozwiązania mają sens (np. tylko liczby naturalne). Np. abonament A kosztuje 20 zł miesięcznie i $0{,}10$ zł za minutę, a w ofercie B płaci się $0{,}30$ zł za minutę. Oferta A jest tańsza, gdy $20 + 0{,}1t < 0{,}3t$, czyli $t > 100$ minut.