Logarytm i procenty - MATeMAtyka 1 (ZR)

1.Logarytm dziesiętny

Logarytmem o podstawie 10 (logarytmem dziesiętnym) z dodatniej liczby $b$ nazywamy liczbę $x$ taką, że $10^x = b$. Piszemy wtedy $\log b = x$, bez podstawy. Pytanie o $\log b$ to pytanie, do jakiej potęgi trzeba podnieść 10, aby otrzymać $b$. Np. $\log 10\,000 = 4$, bo $10^4 = 10\,000$, a $\log 0{,}001 = -3$, bo $10^{-3} = 0{,}001$.

2.Logarytm o podstawie $a$ z liczby $b$

Niech $a$ i $b$ będą liczbami dodatnimi oraz $a \neq 1$. Logarytm o podstawie $a$ z liczby $b$ to wykładnik potęgi, do jakiej należy podnieść podstawę $a$, aby otrzymać liczbę $b$: $\log_a b = x$, gdy $a^x = b$. Np. $\log_2 32 = 5$, bo $2^5 = 32$, a $\log_7 49 = 2$, bo $7^2 = 49$.

3.Jak nazywamy liczby w zapisie $\log_a b = x$?

Liczba $a$ to podstawa logarytmu, $b$ to liczba logarytmowana, a $x$ to logarytm. Np. w równości $\log_4 64 = 3$ podstawą logarytmu jest 4, liczbą logarytmowaną 64, a logarytmem 3, bo $4^3 = 64$.

4.Kiedy logarytm $\log_a b$ nie istnieje?

Gdy nie są spełnione warunki z definicji: podstawa $a$ musi być dodatnia i różna od 1, a liczba logarytmowana $b$ musi być dodatnia. Nie istnieją np. $\log_2 (-8)$ ani $\log_5 0$, bo każda potęga liczby dodatniej jest dodatnia, a także $\log_1 3$, bo $1^x = 1$ dla każdego $x$, i $\log_{-2} 4$, bo podstawa jest ujemna.

5.Jak obliczyć logarytm z ułamka lub z pierwiastka?

Zapisujemy liczbę logarytmowaną jako potęgę podstawy - wykładnik tej potęgi jest szukanym logarytmem. Np. $\log_5 \frac{1}{25} = -2$, bo $\frac{1}{25} = 5^{-2}$, $\log_7 \sqrt{7} = \frac{1}{2}$, bo $\sqrt{7} = 7^{\frac{1}{2}}$, a $\log_2 \sqrt[3]{4} = \frac{2}{3}$, bo $\sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{2^2} = 2^{\frac{2}{3}}$.

6.Jak obliczyć logarytm, gdy podstawa i liczba logarytmowana są potęgami tej samej liczby?

Zapisujemy obie liczby jako potęgi tej samej liczby i porównujemy wykładniki. Np. $\log_4 32 = x$ oznacza $4^x = 32$, czyli $2^{2x} = 2^5$, więc $2x = 5$ i $x = \frac{5}{2}$. Podobnie $\log_{27} 9 = \frac{2}{3}$, bo $27^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{27})^2 = 3^2 = 9$.

7.Ile wynoszą $\log_a 1$ i $\log_a a$?

Dla dowolnej liczby dodatniej $a$ różnej od 1: $\log_a 1 = 0$, bo $a^0 = 1$, oraz $\log_a a = 1$, bo $a^1 = a$. Np. $\log_9 1 = 0$ i $\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} = 1$.

8.Jak obliczyć logarytm o podstawie $\frac{1}{2}$ lub $\frac{1}{3}$?

Z definicji, korzystając z potęg o wykładniku ujemnym: $\left(\frac{1}{a}\right)^{-n} = a^n$. Np. $\log_{\frac{1}{2}} 16 = -4$, bo $\left(\frac{1}{2}\right)^{-4} = 2^4 = 16$, a $\log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{9} = 2$, bo $\left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}$. Gdy $0 < a < 1$, logarytm o podstawie $a$ z liczby większej od 1 jest ujemny.

9.Logarytm iloczynu

Jeśli $a$, $b$, $c$ są liczbami dodatnimi i $a \neq 1$, to $\log_a (b \cdot c) = \log_a b + \log_a c$. Logarytm iloczynu jest równy sumie logarytmów czynników. Np. $\log_3 (9 \cdot 243) = \log_3 9 + \log_3 243 = 2 + 5 = 7$.

10.Logarytm ilorazu

Jeśli $a$, $b$, $c$ są liczbami dodatnimi i $a \neq 1$, to $\log_a \frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c$. Logarytm ilorazu jest równy różnicy logarytmów dzielnej i dzielnika. Np. $\log_5 \frac{0{,}2}{125} = \log_5 0{,}2 - \log_5 125 = -1 - 3 = -4$.

11.Logarytm potęgi

Jeśli $a$ i $b$ są liczbami dodatnimi, $a \neq 1$ i $p \in \mathbb{R}$, to $\log_a b^p = p \cdot \log_a b$. Wykładnik potęgi liczby logarytmowanej przechodzi przed logarytm. Np. $\log_7 49^4 = 4 \cdot \log_7 49 = 4 \cdot 2 = 8$, a $\log_2 \sqrt[5]{8} = \log_2 8^{\frac{1}{5}} = \frac{1}{5} \cdot 3 = \frac{3}{5}$.

12.Jak obliczyć sumę lub różnicę logarytmów, których nie umiemy obliczyć osobno?

Stosujemy wzory na logarytm iloczynu i ilorazu w drugą stronę: sumę logarytmów o tej samej podstawie zamieniamy na logarytm iloczynu, a różnicę - na logarytm ilorazu. Np. $\log_6 4 + \log_6 9 = \log_6 36 = 2$, a $\log_3 54 - \log_3 2 = \log_3 27 = 3$.

13.Czy logarytm sumy jest równy sumie logarytmów?

Nie. Wzory dotyczą iloczynu, ilorazu i potęgi, a dla sumy i różnicy liczb logarytmowanych takiego wzoru nie ma. Np. $\log_2 (4 + 4) = \log_2 8 = 3$, ale $\log_2 4 + \log_2 4 = 2 + 2 = 4$. Także iloczyn logarytmów nie jest logarytmem iloczynu: $\log_2 4 \cdot \log_2 8 = 6$, a $\log_2 32 = 5$.

14.Jak obliczyć przybliżone logarytmy dziesiętne, znając jeden z nich, np. $\log 2 \approx 0{,}301$?

Korzystamy z własności logarytmów. Przesunięcie przecinka o $k$ miejsc w prawo to mnożenie przez $10^k$, a w lewo - dzielenie przez $10^k$, więc do logarytmu dodajemy albo od niego odejmujemy $k$. Np. $\log 200 = 2 + \log 2 \approx 2{,}301$, $\log 0{,}02 = \log 2 - 2 \approx -1{,}699$, a $\log 5 = \log \frac{10}{2} = 1 - \log 2 \approx 0{,}699$. Tak korzysta się z tablic logarytmów dziesiętnych.

15.1 procent danej wielkości

1 procent (1%) danej wielkości to $0{,}01$ tej wielkości, więc $p\%$ wielkości $w$ to $\frac{p}{100} \cdot w$. Procenty zawsze odnoszą się do jakiejś całości. Np. 35% liczby 80 to $0{,}35 \cdot 80 = 28$, a 175% liczby 80 to $1{,}75 \cdot 80 = 140$.

16.Jak obliczyć cenę po podwyżce lub obniżce o $p\%$?

Po podwyżce o $p\%$ nowa cena stanowi $(100 + p)\%$ ceny początkowej, a po obniżce o $p\%$ - $(100 - p)\%$ ceny początkowej. Np. buty za 240 zł po obniżce o 15% kosztują $0{,}85 \cdot 240 = 204$ zł, a po podwyżce o 15% - $1{,}15 \cdot 240 = 276$ zł.

17.Czy dwie kolejne obniżki o 20% i o 10% dają obniżkę o 30%?

Nie. Wielokrotnej zmiany o pewien procent nie można zastąpić jednorazową zmianą o sumę procentów, bo druga zmiana liczy się od nowej ceny. Np. 200 zł po obniżce o 20% to 160 zł, a po kolejnej obniżce o 10% - 144 zł. Cena stanowi $0{,}8 \cdot 0{,}9 = 0{,}72$ ceny początkowej, więc spadła o 28%.

18.Jak obliczyć podwyżkę, która przywraca cenę sprzed obniżki?

Szukamy mnożnika, który zamieni obniżoną cenę z powrotem w początkową. Po obniżce o 20% cena to $0{,}8w$, a z równania $0{,}8w \cdot \left(1 + \frac{q}{100}\right) = w$ mamy $1 + \frac{q}{100} = \frac{1}{0{,}8} = 1{,}25$, czyli $q = 25$. Podwyżka musi być większa niż obniżka (25% zamiast 20%), bo liczy się ją od niższej ceny.

19.Jak obliczyć procentową zmianę pola prostokąta po zmianie jego boków?

Każdą zmianę zapisujemy jako mnożnik i mnożymy mnożniki. Np. gdy jeden bok wydłużymy o 30%, a drugi skrócimy o 30%, pole $P = a \cdot b$ zmieni się na $1{,}3a \cdot 0{,}7b = 0{,}91 \cdot a \cdot b = 0{,}91P$, czyli zmaleje o 9%, a nie pozostanie bez zmian.

20.1 promil danej wielkości

1 promil (1‰) danej wielkości to $0{,}001$ tej wielkości, czyli dziesiąta część procentu. Np. 4‰ liczby 2500 to $0{,}004 \cdot 2500 = 10$, a liczba o 3‰ większa od 2000 to $1{,}003 \cdot 2000 = 2006$.

21.Jak obliczyć, jakim procentem liczby $a$ jest liczba $b$?

Dzielimy $b$ przez $a$ i mnożymy przez $100\%$: $\frac{b}{a} \cdot 100\%$. Np. 18 to $\frac{18}{24} \cdot 100\% = 75\%$ liczby 24, a 24 to $\frac{24}{18} \cdot 100\% = 133\frac{1}{3}\%$ liczby 18. Kolejność ma znaczenie: dzielimy przez liczbę, od której liczymy procent.

22.Jak obliczyć, o ile procent wzrosła lub zmalała wielkość?

Zmianę dzielimy przez wartość początkową i mnożymy przez $100\%$. Np. bilet podrożał z 40 zł do 46 zł, czyli o 6 zł: $\frac{6}{40} \cdot 100\% = 15\%$. Liczba 60 jest o 25% większa od 48, ale 48 jest o 20% mniejsza od 60, bo za każdym razem dzielimy przez inną liczbę.

23.Jak obliczyć liczbę, gdy znamy jej procent?

Zapisujemy równanie $\frac{p}{100} \cdot x = a$ i wyznaczamy z niego $x$. Np. kurtka po obniżce o 20% kosztuje 196 zł, czyli 80% ceny $x$ sprzed obniżki: $0{,}8x = 196$, więc $x = 196 : 0{,}8 = 245$ zł.

24.Cena netto, cena brutto i podatek VAT

Cena brutto składa się z ceny netto powiększonej o podatek VAT, który jest procentem ceny netto. Przy stawce 23% cena brutto to $1{,}23$ ceny netto, więc cenę netto obliczamy, dzieląc cenę brutto przez $1{,}23$. Np. netto 300 zł daje brutto $1{,}23 \cdot 300 = 369$ zł, a brutto 615 zł to netto $615 : 1{,}23 = 500$ zł.

25.Punkt procentowy

Różnicę dwóch wielkości podanych w procentach wyrażamy w punktach procentowych. Np. gdy poparcie wzrosło z 20% do 25%, wzrosło o 5 punktów procentowych, a liczba popierających wzrosła o $\frac{5}{20} \cdot 100\% = 25\%$. Zmiana w punktach procentowych i zmiana w procentach to zwykle różne liczby.

26.Kapitał po roku na lokacie oprocentowanej $r\%$ w skali roku

Kapitał $k$ złożony na rok przy oprocentowaniu rocznym $r\%$ wynosi po roku $k \cdot \left(1 + \frac{r}{100}\right)$, a odsetki to $\frac{r}{100} \cdot k$. Np. 6000 zł na lokacie oprocentowanej 4,5% w skali roku daje po roku $6000 \cdot 1{,}045 = 6270$ zł, w tym 270 zł odsetek.

27.Podatek od odsetek

Od odsetek z lokaty płaci się podatek. W Polsce wynosi on 19%, ale w zadaniach dla uproszczenia przyjmujemy 20%. Po roku odbieramy więc kapitał i 80% odsetek. Np. przy 8000 zł na 3% odsetki to 240 zł, podatek to $0{,}2 \cdot 240 = 48$ zł, a odbieramy $8000 + 240 - 48 = 8192$ zł.

28.Procent składany (kapitalizacja roczna)

Gdy po każdym roku odsetki dopisuje się do kapitału, w kolejnym roku procent liczy się od większej kwoty. Kapitał $k$ po $n$ latach przy oprocentowaniu rocznym $r\%$ wynosi $k \cdot \left(1 + \frac{r}{100}\right)^n$. Np. 2000 zł na 5%: po roku 2100 zł, po dwóch latach 2205 zł, po trzech $2315{,}25$ zł.

29.Lokata roczna czy dwie kolejne lokaty półroczne?

Oprocentowanie lokaty podaje się w skali roku, więc lokata półroczna oprocentowana $r\%$ w skali roku daje po pół roku $\frac{r}{2}\%$ odsetek. Przy dwóch kolejnych lokatach półrocznych odsetki z pierwszego półrocza też są oprocentowane: 1000 zł przy 6% w skali roku daje po roku $1000 \cdot 1{,}03^2 = 1060{,}90$ zł, a na lokacie rocznej 1060 zł.

30.Jak policzyć liczby z danego zakresu, które przy dzieleniu przez $d$ dają resztę $r$?

Wyznaczamy najmniejszą i największą taką liczbę i zapisujemy je w postaci $d \cdot n + r$. Liczb jest tyle, ile jest wartości $n$. Np. liczby dwucyfrowe z resztą 2 z dzielenia przez 9 to $11 = 9 \cdot 1 + 2$, 20, …, $92 = 9 \cdot 10 + 2$, więc $1 \leq n \leq 10$ i jest ich 10.

31.Jak policzyć liczby podzielne przez $a$ i przez $b$?

Liczba jest podzielna przez $a$ i przez $b$ dokładnie wtedy, gdy jest podzielna przez $\mathrm{NWW}(a, b)$, np. przez 3 i przez 5 - gdy przez 15. Liczymy więc wielokrotności NWW w danym zakresie. Np. liczby dwucyfrowe podzielne przez 4 i przez 6 to wielokrotności 12: od $12 \cdot 1 = 12$ do $12 \cdot 8 = 96$, czyli 8 liczb. Uwaga: $\mathrm{NWW}(4, 6) = 12$, a nie $4 \cdot 6 = 24$.

32.Jak policzyć liczby podzielne przez $a$ lub przez $b$?

Dodajemy liczbę wielokrotności $a$ i liczbę wielokrotności $b$, a potem odejmujemy liczbę wielokrotności $\mathrm{NWW}(a, b)$, bo te liczby policzyliśmy dwa razy. Np. wśród liczb dwucyfrowych 30 dzieli się przez 3, 22 przez 4, a 8 przez 12, więc przez 3 lub przez 4 dzieli się $30 + 22 - 8 = 44$ liczb.