Zbiory, przedziały i nierówności - MATeMAtyka 1 (ZP)

1.Zbiór i jego elementy; symbole $\in$ i $\notin$

Zbiory oznaczamy wielkimi literami, a aby opisać zbiór, określamy jego elementy. Zapis $x \in A$ oznacza, że $x$ należy do zbioru $A$, a $x \notin A$ - że do niego nie należy. Np. $-5 \in \mathbb{Z}$, ale $-5 \notin \mathbb{N}$.

2.Zbiór skończony i zbiór nieskończony

Zbiór skończony ma skończoną liczbę elementów, np. zbiór naturalnych dzielników liczby 18: $\{1, 2, 3, 6, 9, 18\}$. Do zbioru nieskończonego należy nieskończenie wiele elementów, np. $\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \ldots\}$.

3.Zbiór pusty

Zbiór pusty to zbiór, do którego nie należy żaden element. Oznaczamy go symbolem $\emptyset$. Np. zbiór liczb naturalnych mniejszych od 0 jest pusty, bo najmniejszą liczbą naturalną jest 0.

4.Sposoby opisu zbioru

Zbiór można opisać słownie, wypisać jego elementy (jeśli to możliwe) albo podać warunek, który spełniają jego elementy. Np. zbiór liczb naturalnych mniejszych od 4 to $\{0, 1, 2, 3\}$, czyli $\{n \in \mathbb{N}: n < 4\}$.

5.Jak wypisać elementy zbioru opisanego warunkiem, np. $\{n \in \mathbb{N}: n^2 < 40\}$?

Sprawdzamy kolejne liczby ze zbioru podanego przed dwukropkiem i wybieramy te, które spełniają warunek. Ważne, jaki to zbiór: $\{n \in \mathbb{N}: n^2 < 40\} = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, a $\{x \in \mathbb{Z}: x^2 < 40\} = \{-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

6.Równość zbiorów

Dwa zbiory są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają te same elementy. Kolejność wypisania elementów nie ma znaczenia. Np. $\{x \in \mathbb{Z}: x^2 = 9\} = \{-3, 3\}$ oraz $\{1, 2, 3\} = \{3, 1, 2\}$.

7.Podzbiór; zapis $A \subset B$

Zbiór $A$ jest podzbiorem zbioru $B$ (jest zawarty w $B$), jeśli każdy element zbioru $A$ jest elementem zbioru $B$. Zapisujemy $A \subset B$, a $A \not\subset B$ oznacza, że $A$ nie jest podzbiorem $B$. Np. $\{2, 4\} \subset \{1, 2, 3, 4\}$, ale $\{2, 5\} \not\subset \{1, 2, 3, 4\}$.

8.Własności zawierania zbiorów

Dla dowolnego zbioru $A$ jest $A \subset A$ oraz $\emptyset \subset A$. Jeśli $A \subset B$ i $B \subset A$, to zbiory są równe: $A = B$. Np. podzbiorami zbioru $\{1, 2\}$ są: $\emptyset$, $\{1\}$, $\{2\}$ i $\{1, 2\}$.

9.Zawieranie zbiorów liczbowych

Zachodzą zależności $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$: każda liczba naturalna jest całkowita, każda całkowita jest wymierna, a każda wymierna jest rzeczywista. W drugą stronę zawieranie nie zachodzi, np. $-1 \in \mathbb{Z}$, ale $-1 \notin \mathbb{N}$, więc $\mathbb{Z} \not\subset \mathbb{N}$ (rysunek).

10.Iloczyn (część wspólna) zbiorów

Iloczynem (częścią wspólną) zbiorów $A$ i $B$ nazywamy zbiór elementów, które należą jednocześnie do obu tych zbiorów: $A \cap B = \{x: x \in A \text{ i } x \in B\}$. Np. $\{2, 5, 8, 11\} \cap \{1, 2, 3, 4, 5\} = \{2, 5\}$.

11.Zbiory rozłączne

Zbiory $A$ i $B$ nazywamy rozłącznymi, gdy nie mają wspólnych elementów, czyli gdy $A \cap B = \emptyset$. Np. zbiory $\{1, 2, 3\}$ i $\{4, 5\}$ są rozłączne, a $\{1, 2, 3\}$ i $\{3, 4\}$ nie są, bo oba zawierają liczbę 3.

12.Suma zbiorów

Sumą zbiorów $A$ i $B$ nazywamy zbiór elementów, które należą do co najmniej jednego z tych zbiorów: $A \cup B = \{x: x \in A \text{ lub } x \in B\}$. Elementy wspólne zapisujemy raz. Np. $\{1, 3, 5\} \cup \{3, 4\} = \{1, 3, 4, 5\}$.

13.Różnica zbiorów

Różnicą zbiorów $A$ i $B$ nazywamy zbiór elementów, które należą do $A$ i nie należą do $B$: $A \setminus B = \{x: x \in A \text{ i } x \notin B\}$. Zamiana zbiorów miejscami zmienia wynik: dla $A = \{1, 2, 3, 4\}$ i $B = \{3, 4, 5\}$ jest $A \setminus B = \{1, 2\}$, a $B \setminus A = \{5\}$.

14.Przestrzeń i dopełnienie zbioru

Przestrzeń $U$ to zbiór wszystkich rozpatrywanych elementów; dla liczb jest nią zwykle $\mathbb{R}$. Dopełnienie zbioru $A$ to różnica przestrzeni i zbioru $A$: $A' = U \setminus A = \{x \in U: x \notin A\}$. Np. dla $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ i $A = \{2, 4, 6\}$ jest $A' = \{1, 3, 5\}$.

15.Oś liczbowa i współrzędna punktu

Oś liczbowa to prosta, na której wyróżniono punkt zerowy (początek osi), zwrot i co najmniej jeden punkt wskazujący jednostkę. Każdej liczbie rzeczywistej odpowiada dokładnie jeden punkt osi, a każdemu punktowi dokładnie jedna liczba, zwana jego współrzędną, np. $A(-3)$ i $B(1{,}5)$ (rysunek).

16.Przedział otwarty $(a; b)$

To zbiór liczb $x$, które spełniają podwójną nierówność $a < x < b$. Końce $a$ i $b$ nie należą do przedziału, więc na osi zaznaczamy je pustymi kółkami. Np. $x \in (-1; 4)$ oznacza, że $-1 < x < 4$ (rysunek).

17.Przedział domknięty $[a; b]$

Przedział domknięty (obustronnie domknięty) to zbiór liczb $x$, które spełniają podwójną nierówność $a \le x \le b$. Oba końce należą do przedziału, więc na osi zaznaczamy je zamalowanymi kółkami. Np. $x \in [-4; 1]$ oznacza, że $-4 \le x \le 1$ (rysunek).

18.Przedział lewostronnie domknięty $[a; b)$ i prawostronnie domknięty $(a; b]$

Do przedziału $[a; b)$ należy tylko lewy koniec: $a \le x < b$. Do przedziału $(a; b]$ należy tylko prawy koniec: $a < x \le b$. Np. $[0; 5)$ to liczby spełniające nierówność $0 \le x < 5$: liczba 0 należy do przedziału, a liczba 5 nie należy (rysunek).

19.Jak zapisać zbiór liczb odległych od liczby $a$ o mniej niż $d$?

Na osi odkładamy $d$ jednostek w obie strony od $a$. Liczby odległe od $a$ o mniej niż $d$ tworzą przedział otwarty $(a - d; a + d)$, a odległe o nie więcej niż $d$ - przedział domknięty $[a - d; a + d]$. Np. liczby odległe od 4 o mniej niż 3 to $(1; 7)$, a o nie więcej niż 3 to $[1; 7]$.

20.Końce i długość przedziału

Liczby $a$ i $b$ to końce przedziału. Długością każdego z przedziałów $(a; b)$, $(a; b]$, $[a; b)$, $[a; b]$ jest liczba $b - a$ - nie zależy ona od tego, czy końce należą do przedziału. Np. długość przedziału $[-3; 5)$ wynosi $5 - (-3) = 8$.

21.Jak policzyć liczby całkowite należące do przedziału?

Wypisujemy liczby całkowite leżące między końcami, a każdy koniec dopisujemy tylko wtedy, gdy należy do przedziału. Np. do przedziału $[-2; 3)$ należy 5 liczb całkowitych: $-2, -1, 0, 1, 2$, a do przedziału $(-2; 3)$ tylko 4: $-1, 0, 1, 2$.

22.Przedziały $(a; \infty)$ i $[a; \infty)$

Zbiór liczb spełniających nierówność $x > a$ to przedział lewostronnie otwarty $(a; \infty)$, a zbiór liczb spełniających $x \ge a$ to przedział lewostronnie domknięty $[a; \infty)$. Przy symbolu $\infty$ zawsze stoi nawias okrągły. Np. $x \ge 2$ oznacza $x \in [2; \infty)$ (rysunek).

23.Przedziały $(-\infty; b)$ i $(-\infty; b]$; zbiór $\mathbb{R}$

Zbiór liczb spełniających nierówność $x < b$ to przedział prawostronnie otwarty $(-\infty; b)$, a zbiór liczb spełniających $x \le b$ to przedział prawostronnie domknięty $(-\infty; b]$. Zbiór liczb rzeczywistych zapisujemy jako $(-\infty; \infty)$. Np. $x < 1$ oznacza $x \in (-\infty; 1)$ (rysunek).

24.Jak wyznaczyć sumę i iloczyn przedziałów?

Zaznaczamy oba przedziały na jednej osi. Suma $A \cup B$ to część osi zaznaczona co najmniej dla jednego przedziału, a iloczyn $A \cap B$ to część zaznaczona dla obu. Np. dla $A = [-3; 2)$ i $B = [0; 4]$ jest $A \cup B = [-3; 4]$ i $A \cap B = [0; 2)$.

25.Jak wyznaczyć różnicę przedziałów?

Różnica $A \setminus B$ to część osi zaznaczona tylko dla przedziału $A$. Koniec należący do $B$ nie należy do różnicy, a koniec przedziału $B$, który do $B$ nie należy, może do niej należeć. Np. $[-3; 2) \setminus [0; 4] = [-3; 0)$, a $[0; 4] \setminus [-3; 2) = [2; 4]$.

26.Kiedy różnica przedziałów jest sumą dwóch przedziałów?

Gdy przedział $B$ leży wewnątrz przedziału $A$, różnica $A \setminus B$ składa się z dwóch części: na lewo i na prawo od $B$. Np. $[-4; 5] \setminus (0; 2] = [-4; 0] \cup (2; 5]$ - liczba 0 nie należy do $(0; 2]$, więc należy do różnicy. Rysunek pokazuje wynik różnicy - obie zaznaczone części tworzą jeden zbiór.

27.Jak zapisać zbiór $\mathbb{R} \setminus [a; b]$?

Jako sumę dwóch przedziałów nieograniczonych: $\mathbb{R} \setminus [a; b] = (-\infty; a) \cup (b; \infty)$. Końce, które należały do usuwanego przedziału, nie należą do wyniku, i odwrotnie. Np. $\mathbb{R} \setminus (-1; 3] = (-\infty; -1] \cup (3; \infty)$. Rysunek pokazuje ten wynik - obie półproste tworzą jeden zbiór.

28.Jak ustalić, czy koniec przedziału należy do wyniku działania?

Dla każdego końca sprawdzamy, czy należy do $A$ i czy należy do $B$. Do sumy należy, gdy jest w co najmniej jednym przedziale, do iloczynu - gdy jest w obu, a do $A \setminus B$ - gdy jest w $A$, ale nie w $B$. Np. $(1; 5] \cap [5; 8) = \{5\}$, a $(1; 5] \cup [5; 8) = (1; 8)$.

29.Nierówność; liczba spełniająca nierówność

Warunek $ax + b > c$, gdzie $x$ jest niewiadomą, nazywamy nierównością. Liczba spełnia nierówność, jeśli po podstawieniu jej za niewiadomą otrzymujemy nierówność prawdziwą, np. 4 spełnia $2x - 1 > 5$, bo $2 \cdot 4 - 1 = 7 > 5$. Rozwiązać nierówność to wyznaczyć zbiór wszystkich liczb, które ją spełniają.

30.Nierówności ostre i nieostre

Nierówności ze znakiem $>$ lub $<$ nazywamy ostrymi, a ze znakiem $\ge$ lub $\le$ nazywamy nieostrymi. Zbiór rozwiązań nierówności ostrej $x > 3$ to $(3; \infty)$, bez liczby 3, a nierówności nieostrej $x \ge 3$ to $[3; \infty)$, z liczbą 3.

31.Nierówności równoważne

Dwie nierówności nazywamy równoważnymi, jeśli mają ten sam zbiór rozwiązań. Np. $x + 5 > 7$ i $3x > 6$ są równoważne, bo obie spełniają dokładnie liczby $x > 2$.

32.Dodawanie i odejmowanie liczby po obu stronach nierówności

Dodanie tej samej liczby do obu stron nierówności lub odjęcie jej od obu stron daje nierówność równoważną. Odpowiada to przeniesieniu liczby na drugą stronę z przeciwnym znakiem. Np. z $x - 6 \le 2$ mamy $x \le 2 + 6$, czyli $x \in (-\infty; 8]$.

33.Mnożenie lub dzielenie nierówności przez liczbę dodatnią

Jeżeli obie strony nierówności pomnożymy lub podzielimy przez tę samą liczbę dodatnią, to otrzymamy nierówność równoważną, a zwrot nierówności się nie zmienia. Np. z $4x + 3 < 15$ mamy $4x < 12$, a po podzieleniu przez 4: $x < 3$.

34.Mnożenie lub dzielenie nierówności przez liczbę ujemną

Jeżeli obie strony nierówności pomnożymy lub podzielimy przez tę samą liczbę ujemną, to po zmianie zwrotu nierówności otrzymamy nierówność równoważną: $<$ zmieniamy na $>$, a $\le$ na $\ge$ (i odwrotnie). Np. z $-2x \ge 8$ po podzieleniu przez $-2$ mamy $x \le -4$.

35.Jak rozwiązać nierówność liniową?

Przenosimy wyrazy z niewiadomą na jedną stronę, a liczby na drugą. Potem dzielimy obie strony przez współczynnik przy $x$ - gdy jest ujemny, zmieniamy zwrot nierówności. Zbiór rozwiązań zapisujemy jako przedział. Np. z $3 - 2x > 9$ mamy $-2x > 6$, więc $x < -3$, czyli $x \in (-\infty; -3)$ (rysunek).

36.Jak rozwiązać nierówność z ułamkami?

Mnożymy obie strony przez wspólny mianownik. Jest to liczba dodatnia, więc zwrot się nie zmienia. Mnożymy każdy wyraz, a licznik z kilkoma wyrazami bierzemy w nawias. Np. $\frac{x + 1}{3} < \frac{x}{2}$ mnożymy przez 6: $2(x + 1) < 3x$, $2x + 2 < 3x$, $x > 2$, czyli $x \in (2; \infty)$.

37.Nierówność sprzeczna i nierówność tożsamościowa

Nierówność sprzeczna nie jest spełniona przez żadną liczbę rzeczywistą, a tożsamościowa jest spełniona przez każdą. Rozpoznajemy je, gdy niewiadoma się redukuje: $2x + 1 < 2x - 3$ daje $1 < -3$ (sprzeczność), a $3(x - 1) \le 3x$ daje $-3 \le 0$ (tożsamość). Tak samo mówimy o równaniach: sprzecznego nie spełnia żadna liczba, a tożsamościowe spełnia każda.

38.Jak wyznaczyć liczby spełniające jednocześnie dwie nierówności?

Rozwiązujemy każdą nierówność osobno, zaznaczamy oba zbiory rozwiązań na osi i bierzemy ich część wspólną (iloczyn). Np. warunki $x + 1 > 0$ i $2x \le 6$ dają $x > -1$ i $x \le 3$, więc $x \in (-1; 3]$ (rysunek).