Logarytm i procenty - MATeMAtyka 1 (ZP)

1.Logarytm dziesiętny

Logarytmem dziesiętnym (logarytmem o podstawie 10) z dodatniej liczby $b$ nazywamy liczbę $x$ taką, że $10^x = b$. Piszemy wtedy $\log b = x$, bez zapisywania podstawy. Np. $\log 100 = 2$, bo $10^2 = 100$, a $\log 0{,}01 = -2$, bo $10^{-2} = 0{,}01$.

2.Logarytm o podstawie $a$ z liczby $b$

Niech $a$ i $b$ będą liczbami dodatnimi oraz $a \neq 1$. Logarytm o podstawie $a$ z liczby $b$ to wykładnik potęgi, do jakiej należy podnieść podstawę $a$, aby otrzymać liczbę $b$: $\log_a b = x$, gdy $a^x = b$. Np. $\log_2 32 = 5$, bo $2^5 = 32$.

3.Jak nazywamy liczby w zapisie $\log_a b = x$?

Liczba $a$ to podstawa logarytmu, $b$ to liczba logarytmowana, a $x$ to logarytm. Np. w równości $\log_3 81 = 4$ podstawą jest 3, liczbą logarytmowaną 81, a logarytmem 4, bo $3^4 = 81$.

4.Kiedy istnieje logarytm $\log_a b$?

Gdy podstawa jest dodatnia i różna od 1 ($a > 0$, $a \neq 1$), a liczba logarytmowana jest dodatnia ($b > 0$). Dlatego nie istnieją np. $\log_2 (-8)$ ani $\log_2 0$, bo każda potęga liczby 2 jest dodatnia, ani $\log_1 5$, bo każda potęga liczby 1 jest równa 1. Sam logarytm może być dowolną liczbą, także ujemną lub ułamkiem.

5.Jak obliczyć logarytm z ułamka albo z pierwiastka?

Pytamy, do jakiej potęgi trzeba podnieść podstawę, aby otrzymać daną liczbę. Liczbę logarytmowaną zapisujemy jako potęgę podstawy, korzystając ze wzorów $\frac{1}{a^n} = a^{-n}$ i $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$. Np. $\log_6 \frac{1}{36} = -2$, bo $\frac{1}{36} = 6^{-2}$, oraz $\log_5 \sqrt[3]{5} = \frac{1}{3}$, bo $\sqrt[3]{5} = 5^{\frac{1}{3}}$.

6.Logarytm o podstawie będącej ułamkiem

Podstawą logarytmu może być ułamek dodatni, np. $\frac{1}{2}$. Liczbę logarytmowaną zapisujemy wtedy jako potęgę tego ułamka, pamiętając, że $\left(\frac{1}{a}\right)^{-n} = a^n$. Np. $\log_{\frac{1}{2}} 8 = -3$, bo $\left(\frac{1}{2}\right)^{-3} = 2^3 = 8$, a $\log_{\frac{1}{5}} \frac{1}{125} = 3$, bo $\left(\frac{1}{5}\right)^3 = \frac{1}{125}$.

7.Ile wynosi $\log_a 1$, a ile $\log_a a$?

Dla każdej liczby dodatniej $a \neq 1$ jest $\log_a 1 = 0$, bo $a^0 = 1$, oraz $\log_a a = 1$, bo $a^1 = a$. Np. $\log_7 1 = 0$, $\log 10 = 1$ i $\log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{3} = 1$.

8.Logarytm iloczynu

Jeśli $a$, $b$, $c$ są liczbami dodatnimi i $a \neq 1$, to $\log_a (b \cdot c) = \log_a b + \log_a c$. Logarytm iloczynu jest sumą logarytmów. Np. $\log_3 (9 \cdot 27) = \log_3 9 + \log_3 27 = 2 + 3 = 5$.

9.Logarytm ilorazu

Jeśli $a$, $b$, $c$ są liczbami dodatnimi i $a \neq 1$, to $\log_a \frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c$. Logarytm ilorazu jest różnicą logarytmów. Np. $\log_7 \frac{49}{\sqrt{7}} = \log_7 49 - \log_7 \sqrt{7} = 2 - \frac{1}{2} = 1\frac{1}{2}$.

10.Logarytm potęgi

Jeśli $a$ i $b$ są liczbami dodatnimi, $a \neq 1$ i $p$ jest dowolną liczbą rzeczywistą, to $\log_a b^p = p \cdot \log_a b$. Wykładnik potęgi przechodzi przed logarytm. Np. $\log_2 16^3 = 3 \cdot \log_2 16 = 3 \cdot 4 = 12$.

11.Czy $\log_a (b + c) = \log_a b + \log_a c$?

Nie. Suma logarytmów jest logarytmem iloczynu: $\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$. Np. $\log_2 4 + \log_2 4 = 2 + 2 = 4 = \log_2 16$, a $\log_2 (4 + 4) = \log_2 8 = 3$. Podobnie logarytmu ilorazu nie wolno zastępować ilorazem logarytmów.

12.Jak obliczyć sumę lub różnicę logarytmów, których nie umiemy obliczyć osobno?

Korzystamy ze wzorów w drugą stronę: sumę logarytmów o tej samej podstawie zamieniamy na logarytm iloczynu, a różnicę na logarytm ilorazu. Np. $\log_{12} 3 + \log_{12} 48 = \log_{12} 144 = 2$ oraz $\log_2 24 - \log_2 3 = \log_2 8 = 3$.

13.Jak wyznaczyć liczbę logarytmowaną lub podstawę z równości $\log_a b = x$?

Zamieniamy logarytm na potęgę: $a^x = b$. Np. z $\log_9 b = \frac{3}{2}$ mamy $b = 9^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{9})^3 = 27$. Z $\log_a 49 = 2$ mamy $a^2 = 49$, więc $a = 7$. Liczbę $-7$ odrzucamy, bo podstawa logarytmu musi być dodatnia.

14.Jak obliczyć logarytm, gdy podstawa i liczba logarytmowana są potęgami tej samej liczby?

Oznaczamy logarytm przez $x$, zamieniamy go na równość potęg i obie strony zapisujemy jako potęgi tej samej liczby. Potem porównujemy wykładniki. Np. $\log_4 32 = x$, czyli $4^x = 32$, więc $2^{2x} = 2^5$, $2x = 5$ i $x = \frac{5}{2}$ (rysunek).

15.1 procent (1%)

1 procent danej wielkości to $0{,}01$ tej wielkości: $1\% = \frac{1}{100} = 0{,}01$. Procenty zawsze odnoszą się do jakiejś całości. Np. $7\%$ liczby $w$ to $0{,}07w$, a $250\%$ liczby $w$ to $2{,}5w$.

16.Jak obliczyć $p\%$ danej liczby?

Zamieniamy procent na ułamek i mnożymy przez daną liczbę: $p\%$ liczby $a$ to $\frac{p}{100} \cdot a$. Np. $12\%$ liczby 450 to $0{,}12 \cdot 450 = 54$. Procent większy od $100\%$ daje liczbę większą od danej: $130\%$ liczby 450 to $1{,}3 \cdot 450 = 585$.

17.Podwyżka o $p\%$

Po podwyżce o $p\%$ nowa cena stanowi $(100 + p)\%$ ceny początkowej, więc cenę mnożymy przez $1 + \frac{p}{100}$. Np. 40 zł po podwyżce o $15\%$ to $40 \cdot 1{,}15 = 46$ zł.

18.Obniżka o $p\%$

Po obniżce o $p\%$ nowa cena stanowi $(100 - p)\%$ ceny początkowej, więc cenę mnożymy przez $1 - \frac{p}{100}$. Np. 250 zł po obniżce o $30\%$ to $250 \cdot 0{,}7 = 175$ zł.

19.Czy dwie podwyżki o 10% to to samo co jedna podwyżka o 20%?

Nie. Wielokrotnej zmiany o pewien procent nie można zastąpić jednorazową zmianą o sumę procentów, bo druga zmiana liczy się od nowej ceny. Np. 500 zł po dwóch podwyżkach o $10\%$: $500 \cdot 1{,}1 \cdot 1{,}1 = 605$ zł, a po jednej podwyżce o $20\%$: 600 zł (rysunek).

20.Dwukrotna zmiana ceny o ten sam procent $p\%$

Po dwóch obniżkach o $p\%$ cena wynosi $k \cdot \left(1 - \frac{p}{100}\right)^2$, a po dwóch podwyżkach o $p\%$ wynosi $k \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^2$, gdzie $k$ to cena początkowa. Np. po dwóch obniżkach o $40\%$ cena to $0{,}6^2 = 0{,}36$ ceny początkowej, czyli spadła o $64\%$, a nie o $80\%$. Z tego wzoru obliczamy też $p$: gdy cena spadła o $91\%$, to $\left(1 - \frac{p}{100}\right)^2 = 0{,}09$, więc $1 - \frac{p}{100} = 0{,}3$ i $p = 70$.

21.O ile procent podnieść cenę po obniżce, aby wrócić do ceny początkowej?

Podwyżkę liczymy od niższej ceny, więc musi wynosić więcej procent niż obniżka. Np. po obniżce o $80\%$ cena wynosi $0{,}2k$. Z równania $(100\% + x\%) \cdot 0{,}2k = k$ mamy $100\% + x\% = \frac{100\%}{0{,}2} = 500\%$, więc cenę trzeba podnieść o $400\%$, a nie o $80\%$.

22.1 promil (1‰)

1 promil danej wielkości to $0{,}001$ tej wielkości, czyli dziesiąta część procentu (1% to 10‰). Np. 4‰ liczby 2500 to $0{,}004 \cdot 2500 = 10$.

23.Jak obliczyć, jakim procentem liczby $a$ jest liczba $b$?

Dzielimy $b$ przez $a$ i mnożymy przez $100\%$: $\frac{b}{a} \cdot 100\%$. Całością jest liczba $a$, z którą porównujemy, więc to ona stoi w mianowniku. Np. 18 to $\frac{18}{24} \cdot 100\% = 75\%$ liczby 24.

24.Jak obliczyć, o ile procent wzrosła lub zmalała wartość?

Różnicę między nową a początkową wartością dzielimy przez wartość początkową i mnożymy przez $100\%$. Np. bilet zdrożał z 40 zł do 46 zł, czyli o $\frac{6}{40} \cdot 100\% = 15\%$. Zawsze dzielimy przez wartość sprzed zmiany.

25.O ile procent liczba $x$ jest większa od liczby $y$, a o ile procent $y$ jest mniejsza od $x$?

Różnicę liczb dzielimy przez liczbę, z którą porównujemy (tę po słowie „od”), i mnożymy przez $100\%$. Np. 60 jest większe od 40 o $\frac{20}{40} \cdot 100\% = 50\%$, a 40 jest mniejsze od 60 o $\frac{20}{60} \cdot 100\% = 33\frac{1}{3}\%$. Te dwa procenty są różne.

26.Jak obliczyć liczbę, gdy znamy jej procent?

Oznaczamy szukaną liczbę przez $x$ i układamy równanie. Np. $30\%$ liczby to 21: $0{,}3x = 21$, więc $x = 21 : 0{,}3 = 70$. Cena po obniżce o $20\%$ to $80\%$ ceny początkowej, więc gdy wynosi 96 zł, to $0{,}8x = 96$ i $x = 120$ zł (a nie $96 \cdot 1{,}2$).

27.Punkt procentowy

Punkt procentowy to jednostka różnicy między dwiema wartościami podanymi w procentach. Np. gdy oprocentowanie lokaty wzrośnie z $2\%$ do $3\%$, to wzrośnie o 1 punkt procentowy, ale o $\frac{1}{2} \cdot 100\% = 50\%$ swojej poprzedniej wartości.

28.Cena netto, podatek VAT i cena brutto

Cena brutto to cena netto powiększona o podatek VAT, który jest procentem ceny netto. Przy stawce $23\%$ cena brutto stanowi $123\%$ ceny netto, więc cenę netto mnożymy przez $1{,}23$. Np. przy cenie netto 200 zł cena brutto to $200 \cdot 1{,}23 = 246$ zł, a VAT wynosi 46 zł.

29.Ile jest liczb całkowitych od $m$ do $n$ (włącznie)?

Dla liczb całkowitych $m \le n$ jest ich $n - m + 1$, bo liczymy oba końce. Np. od 15 do 40 jest $40 - 15 + 1 = 26$ liczb całkowitych, a liczb postaci $7k$ dla $3 \le k \le 20$ jest $20 - 3 + 1 = 18$.

30.Jak policzyć liczby z danego zakresu, które przy dzieleniu przez $d$ dają resztę $r$?

Zapisujemy je w postaci $d \cdot n + r$. Szukamy najmniejszej i największej takiej liczby w zakresie oraz odpowiadających im wartości $n$, a potem liczymy te wartości. Np. liczby dwucyfrowe z resztą 2 z dzielenia przez 9 to $9n + 2$ dla $1 \le n \le 10$ (od 11 do 92), czyli 10 liczb (rysunek).

31.Jak policzyć liczby z danego zakresu podzielne przez $k$?

Szukamy najmniejszej i największej wielokrotności $k$ w zakresie i zapisujemy je jako $k \cdot n$. Np. najmniejsza trzycyfrowa liczba podzielna przez 7 to $105 = 7 \cdot 15$, a największa to $994 = 7 \cdot 142$, więc takich liczb jest $142 - 15 + 1 = 128$.

32.Liczby podzielne przez $a$ i przez $b$

Liczba jest podzielna przez $a$ i przez $b$ wtedy, gdy jest podzielna przez $\mathrm{NWW}(a, b)$. Np. liczby podzielne przez 2 i przez 7 to liczby podzielne przez 14, a liczby podzielne przez 4 i przez 6 to liczby podzielne przez 12, a nie przez 24.

33.Jak policzyć liczby podzielne przez $a$ lub przez $b$?

Dodajemy liczbę wielokrotności $a$ i liczbę wielokrotności $b$, a potem odejmujemy liczbę tych, które dzielą się przez $a$ i przez $b$, bo policzyliśmy je dwa razy. Np. dwucyfrowych liczb podzielnych przez 3 jest 30, przez 5 jest 18, a przez 15 jest 6, więc podzielnych przez 3 lub przez 5 jest $30 + 18 - 6 = 42$.