Pierwiastki, potęgi i notacja wykładnicza - MATeMAtyka 1 (ZR)

1.Pierwiastek kwadratowy

Pierwiastkiem kwadratowym (pierwiastkiem drugiego stopnia) z liczby nieujemnej $a$ nazywamy liczbę nieujemną $b$, której kwadrat jest równy $a$: $\sqrt{a} = b$, gdy $b^2 = a$ i $b \ge 0$. Np. $\sqrt{0{,}09} = 0{,}3$, bo $0{,}3^2 = 0{,}09$. Choć $(-5)^2 = 25$, to $\sqrt{25} = 5$, a nie $-5$ - pierwiastek ma oznaczać jedną liczbę. Bok kwadratu o polu $P$ ma długość $\sqrt{P}$.

2.Ile wynosi $\sqrt{a^2}$ dla dowolnej liczby rzeczywistej $a$?

$\sqrt{a^2} = a$ dla $a \ge 0$ oraz $\sqrt{a^2} = -a$ dla $a < 0$ - wynik zawsze jest liczbą nieujemną. Np. $\sqrt{(-7)^2} = -(-7) = 7$, a ponieważ $1 - \sqrt{2} < 0$, to $\sqrt{(1 - \sqrt{2})^2} = -(1 - \sqrt{2}) = \sqrt{2} - 1$ (rysunek).

3.Pierwiastek iloczynu i pierwiastek ilorazu

Dla $a \ge 0$ i $b \ge 0$: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$, a dla $a \ge 0$ i $b > 0$: $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$. Wzory stosujemy w obie strony, np. $\sqrt{36 \cdot 81} = 6 \cdot 9 = 54$, $\sqrt{5} \cdot \sqrt{45} = \sqrt{225} = 15$, $\frac{\sqrt{98}}{\sqrt{2}} = \sqrt{49} = 7$.

4.Czy pierwiastek z sumy jest równy sumie pierwiastków?

Nie. Wzory działają dla iloczynu i ilorazu, ale nie dla sumy i różnicy: $\sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$, a $\sqrt{36} + \sqrt{64} = 6 + 8 = 14$. Podobnie $\sqrt{25 - 16} = 3$, a $\sqrt{25} - \sqrt{16} = 1$. Pierwiastek z sumy obliczamy, najpierw wykonując działanie pod pierwiastkiem.

5.Jak wyłączyć czynnik przed znak pierwiastka kwadratowego?

Liczbę pod pierwiastkiem zapisujemy jako iloczyn największego możliwego kwadratu liczby naturalnej i drugiej liczby, a potem korzystamy ze wzoru na pierwiastek iloczynu: $\sqrt{a^2 \cdot b} = a\sqrt{b}$ dla $a \ge 0$, $b \ge 0$. Np. $\sqrt{192} = \sqrt{64 \cdot 3} = \sqrt{64} \cdot \sqrt{3} = 8\sqrt{3}$ (rysunek). Pod pierwiastkiem ma zostać najmniejsza możliwa liczba naturalna.

6.Jak włączyć czynnik pod znak pierwiastka kwadratowego?

Liczbę nieujemną stojącą przed pierwiastkiem podnosimy do kwadratu i mnożymy przez liczbę pod pierwiastkiem: $a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 \cdot b}$ dla $a \ge 0$, $b \ge 0$. Tak można porównywać liczby: $4\sqrt{2} = \sqrt{32}$ i $3\sqrt{3} = \sqrt{27}$, a $\sqrt{32} > \sqrt{27}$, więc $4\sqrt{2} > 3\sqrt{3}$.

7.Jak dodawać i odejmować pierwiastki kwadratowe?

Dodajemy i odejmujemy tylko pierwiastki z tej samej liczby - jak wyrazy podobne: $5\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$. Gdy pod pierwiastkami są różne liczby, najpierw wyłączamy czynniki przed pierwiastki, np. $\sqrt{48} + \sqrt{12} = 4\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$. Sumy $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ nie da się zapisać prościej.

8.Jak pomnożyć sumę pierwiastków przez pierwiastek?

Mnożymy pierwiastek przez każdy składnik sumy (rozdzielność mnożenia względem dodawania) i upraszczamy wyniki: $\sqrt{5}(\sqrt{20} - 1) = \sqrt{100} - \sqrt{5} = 10 - \sqrt{5}$. Podobnie $\sqrt{3}(\sqrt{3} + \sqrt{12}) = 3 + \sqrt{36} = 3 + 6 = 9$.

9.Jak usunąć niewymierność z mianownika ułamka $\frac{a}{\sqrt{b}}$?

Mnożymy licznik i mianownik przez $\sqrt{b}$ (rozszerzamy ułamek), bo $\sqrt{b} \cdot \sqrt{b} = b$: $\frac{a}{\sqrt{b}} = \frac{a\sqrt{b}}{b}$. Np. $\frac{6}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$ (rysunek), $\frac{5}{3\sqrt{5}} = \frac{5\sqrt{5}}{15} = \frac{\sqrt{5}}{3}$. Taką postać łatwiej przybliżyć: dla $\sqrt{2} \approx 1{,}41$ mamy $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}705$.

10.Pierwiastek sześcienny z liczby nieujemnej

Pierwiastkiem sześciennym (pierwiastkiem trzeciego stopnia) z liczby nieujemnej $a$ nazywamy liczbę $b$, która podniesiona do trzeciej potęgi jest równa $a$: $\sqrt[3]{a} = b$, gdy $b^3 = a$. Krawędź sześcianu o objętości $V$ ma długość $\sqrt[3]{V}$, np. dla $V = 64~\mathrm{cm^3}$ jest to $4~\mathrm{cm}$ (rysunek). Inne przykłady: $\sqrt[3]{\frac{8}{27}} = \frac{2}{3}$, $\sqrt[3]{0{,}001} = 0{,}1$.

11.Sześciany liczb od 1 do 10

Warto je znać, bo ułatwiają obliczanie pierwiastków sześciennych: $1^3 = 1$, $2^3 = 8$, $3^3 = 27$, $4^3 = 64$, $5^3 = 125$, $6^3 = 216$, $7^3 = 343$, $8^3 = 512$, $9^3 = 729$, $10^3 = 1000$. Np. $9^3 = 729$, więc $\sqrt[3]{729} = 9$, a $\sqrt[3]{0{,}512} = 0{,}8$.

12.Pierwiastek sześcienny z liczby ujemnej

W przeciwieństwie do pierwiastka kwadratowego pierwiastek trzeciego stopnia jest określony dla każdej liczby rzeczywistej $a$: $\sqrt[3]{a} = b$, gdy $b^3 = a$. Pierwiastek sześcienny z liczby ujemnej jest liczbą ujemną, np. $\sqrt[3]{-27} = -3$, bo $(-3)^3 = -27$, oraz $\sqrt[3]{-\frac{1}{8}} = -\frac{1}{2}$.

13.Ile wynosi $\sqrt[3]{a^3}$ i $(\sqrt[3]{a})^3$?

Obliczanie pierwiastka trzeciego stopnia jest działaniem odwrotnym do podnoszenia do trzeciej potęgi, więc $\sqrt[3]{a^3} = a$ i $(\sqrt[3]{a})^3 = a$ dla każdej liczby rzeczywistej $a$. Np. $\sqrt[3]{(-4)^3} = -4$ i $(\sqrt[3]{12})^3 = 12$. Inaczej jest z pierwiastkiem kwadratowym: $\sqrt{(-4)^2} = 4$.

14.Pierwiastek sześcienny iloczynu i ilorazu

Dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ i $b$: $\sqrt[3]{a \cdot b} = \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b}$, a dla $b \neq 0$: $\sqrt[3]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}$. Np. $\sqrt[3]{0{,}008 \cdot 1000} = 0{,}2 \cdot 10 = 2$ oraz $\frac{\sqrt[3]{375}}{\sqrt[3]{3}} = \sqrt[3]{125} = 5$.

15.Jak usunąć niewymierność z mianownika, gdy jest w nim pierwiastek sześcienny?

Mnożymy licznik i mianownik przez taki pierwiastek sześcienny, aby pod pierwiastkiem w mianowniku powstał sześcian liczby. Np. $\frac{10}{\sqrt[3]{5}} = \frac{10 \cdot \sqrt[3]{25}}{\sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{25}} = \frac{10\sqrt[3]{25}}{\sqrt[3]{125}} = \frac{10\sqrt[3]{25}}{5} = 2\sqrt[3]{25}$. Mnożenie przez $\sqrt[3]{5}$ nie wystarczy, bo $\sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{25}$.

16.Pierwiastek $n$-tego stopnia

Jeśli $n$ jest liczbą parzystą, to dla $a \ge 0$: $\sqrt[n]{a} = b$, gdy $b \ge 0$ i $b^n = a$. Jeśli $n$ jest liczbą nieparzystą, to dla każdej liczby rzeczywistej $a$: $\sqrt[n]{a} = b$, gdy $b^n = a$. Np. $\sqrt[4]{81} = 3$, $\sqrt[5]{-32} = -2$, a $\sqrt[6]{-64}$ nie istnieje (rysunek). Zamiast $\sqrt[2]{a}$ piszemy $\sqrt{a}$.

17.Jak wyłączyć czynnik przed pierwiastek $n$-tego stopnia i jak włączyć go pod pierwiastek?

Wyłączając, zapisujemy liczbę pod pierwiastkiem jako iloczyn $n$-tej potęgi liczby i drugiej liczby: $\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27 \cdot 2} = 3\sqrt[3]{2}$, $\sqrt[4]{48} = \sqrt[4]{16 \cdot 3} = 2\sqrt[4]{3}$. Włączając liczbę nieujemną, podnosimy ją do $n$-tej potęgi: $a\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a^n \cdot b}$, np. $2\sqrt[3]{7} = \sqrt[3]{8 \cdot 7} = \sqrt[3]{56}$. Włączanie pomaga porównywać liczby z pierwiastkami.

18.Potęga o wykładniku naturalnym

Dla liczby naturalnej $n > 1$ potęga $a^n$ to iloczyn $n$ czynników równych $a$: $a^n = a \cdot a \cdot \ldots \cdot a$; $a$ to podstawa potęgi, a $n$ - wykładnik potęgi. Przyjmujemy też, że $a^1 = a$ oraz $a^0 = 1$ dla $a \neq 0$; wartości $0^0$ nie definiujemy. Np. $\left(\frac{1}{3}\right)^4 = \frac{1}{81}$, $(-7)^1 = -7$, $25^0 = 1$.

19.Jaki znak ma potęga liczby ujemnej?

Potęga liczby ujemnej o wykładniku parzystym jest dodatnia, a o wykładniku nieparzystym - ujemna, np. $(-3)^4 = 81$, $(-3)^3 = -27$, $\left(-\frac{1}{2}\right)^3 = -\frac{1}{8}$. Uwaga na nawias: $-3^4 = -(3^4) = -81$, bo do potęgi podnosimy tylko liczbę 3.

20.Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym

Dla liczby naturalnej $n \ge 1$ i liczby $a \neq 0$ przyjmujemy: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. Np. $2^{-5} = \frac{1}{32}$, $\left(\frac{3}{4}\right)^{-2} = \frac{1}{\frac{9}{16}} = \frac{16}{9}$, $\left(-\frac{1}{5}\right)^{-3} = (-5)^3 = -125$. Ułamek do potęgi ujemnej to jego odwrotność do potęgi przeciwnej: $\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n$.

21.Prawa działań na potęgach o tej samej podstawie

Dla liczb całkowitych $m$, $n$ i liczby $a \neq 0$: $a^m \cdot a^n = a^{m + n}$, $\frac{a^m}{a^n} = a^{m - n}$, $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Np. $3^{-4} \cdot 3^6 = 3^2 = 9$, $\frac{2^3}{2^{-2}} = 2^{3 - (-2)} = 2^5 = 32$, $(5^{-1})^{-2} = 5^2 = 25$. Przy mnożeniu potęg dodajemy wykładniki, a nie mnożymy ich.

22.Prawa działań na potęgach o tym samym wykładniku

Dla liczby całkowitej $n$ i liczb $a \neq 0$, $b \neq 0$: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$ oraz $\frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n$. Np. $2{,}5^4 \cdot 4^4 = 10^4 = 10\,000$ oraz $\frac{18^{-2}}{6^{-2}} = 3^{-2} = \frac{1}{9}$.

23.Jak upraszczać wyrażenia z potęgami zmiennych?

Najpierw podajemy założenia: zmienna w potędze o wykładniku ujemnym lub zerowym albo w mianowniku musi być różna od zera. Potem stosujemy prawa działań na potęgach. Np. dla $x \neq 0$ i $y \neq 0$: $\frac{x^3 \cdot y^{-2}}{x^{-1} \cdot y} = x^{3 - (-1)} \cdot y^{-2 - 1} = x^4 \cdot y^{-3} = \frac{x^4}{y^3}$.

24.Notacja wykładnicza

Notacja wykładnicza (naukowa) to zapis liczby dodatniej $a$ w postaci iloczynu $a = x \cdot 10^n$, gdzie $1 \le x < 10$, a $n$ jest liczbą całkowitą. Stosujemy ją do zapisywania bardzo dużych i bardzo małych liczb, np. $6{,}4 \cdot 10^{9}$ albo $2{,}5 \cdot 10^{-6}$. Zapis $25 \cdot 10^{-7}$ nie jest notacją wykładniczą, bo $25 \ge 10$.

25.Jak zapisać liczbę w notacji wykładniczej?

Przesuwamy przecinek tak, aby przed nim stała jedna cyfra różna od zera, i liczymy, o ile miejsc go przesunęliśmy. Przesunięcie w lewo o $n$ miejsc daje czynnik $10^n$, a w prawo - czynnik $10^{-n}$. Np. $47\,000\,000 = 4{,}7 \cdot 10^7$ (przecinek o 7 miejsc w lewo), $0{,}000052 = 5{,}2 \cdot 10^{-5}$ (o 5 miejsc w prawo).

26.Jak mnożyć i dzielić liczby w notacji wykładniczej?

Osobno mnożymy (dzielimy) liczby stojące przed potęgami i osobno potęgi liczby 10, korzystając z praw działań na potęgach. Na koniec poprawiamy wynik tak, aby liczba przed potęgą spełniała warunek $1 \le x < 10$. Np. $(4 \cdot 10^5) \cdot (6 \cdot 10^{-8}) = 24 \cdot 10^{-3} = 2{,}4 \cdot 10^{-2}$ (rysunek).

27.Miliard, bilion, biliard i trylion jako potęgi liczby 10

W nazewnictwie europejskim, używanym w Polsce, miliard to $10^9$, bilion to $10^{12}$, biliard to $10^{15}$, a trylion to $10^{18}$. W nazewnictwie amerykańskim bilion oznacza $10^9$, a trylion - $10^{12}$. Np. 3 biliony to $3 \cdot 10^{12}$.

28.Potęga o wykładniku $\frac{1}{n}$

Dla dowolnej liczby $a \ge 0$ i liczby naturalnej $n > 1$ przyjmujemy: $a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$. Np. $36^{\frac{1}{2}} = \sqrt{36} = 6$, $1000^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{1000} = 10$, $625^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{625} = 5$. Dla liczb ujemnych tej potęgi nie definiujemy, choć np. $\sqrt[3]{-8} = -2$.

29.Potęga o wykładniku wymiernym $\frac{m}{n}$

Dla liczby $a > 0$, liczby naturalnej $n > 1$ i liczby całkowitej $m$ przyjmujemy: $a^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{a})^m$. Mianownik wykładnika to stopień pierwiastka, a licznik - wykładnik potęgi. Np. $27^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{27})^2 = 3^2 = 9$, $16^{\frac{5}{4}} = (\sqrt[4]{16})^5 = 2^5 = 32$.

30.Jak obliczyć potęgę o ujemnym wykładniku wymiernym?

Korzystamy z tej samej definicji z ujemnym licznikiem $m$ albo z równości $a^{-\frac{m}{n}} = \frac{1}{a^{\frac{m}{n}}}$. Np. $16^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{(\sqrt[4]{16})^3} = \frac{1}{8}$, $49^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{49}} = \frac{1}{7}$. Ujemny wykładnik nie daje ujemnego wyniku.

31.Dlaczego $(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}$ dla $a > 0$?

Liczba $b = (\sqrt[n]{a})^m$ jest dodatnia, a $b^n = \left((\sqrt[n]{a})^m\right)^n = \left((\sqrt[n]{a})^n\right)^m = a^m$. Zatem $b$ jest dodatnią liczbą, której $n$-ta potęga to $a^m$, czyli $b = \sqrt[n]{a^m}$. Potęgę $a^{\frac{m}{n}}$ można więc liczyć na dwa sposoby, ale zwykle łatwiej zacząć od pierwiastka: $8^{\frac{4}{3}} = (\sqrt[3]{8})^4 = 16$, a $\sqrt[3]{8^4} = \sqrt[3]{4096} = 16$.

32.Prawa działań na potęgach o wykładnikach wymiernych

Dla liczb wymiernych $x$, $y$ i dodatnich liczb $a$, $b$: $a^x \cdot a^y = a^{x + y}$, $\frac{a^x}{a^y} = a^{x - y}$, $a^x \cdot b^x = (a \cdot b)^x$, $\frac{a^x}{b^x} = \left(\frac{a}{b}\right)^x$, $(a^x)^y = a^{x \cdot y}$. Np. $5^{\frac{1}{4}} \cdot 5^{\frac{7}{4}} = 5^2 = 25$ oraz $2^{\frac{5}{3}} \cdot 4^{\frac{5}{3}} = 8^{\frac{5}{3}} = 32$.

33.Jak zapisać iloczyn pierwiastków w postaci potęgi?

Zamieniamy pierwiastki na potęgi o wykładnikach wymiernych, a liczby - na potęgi tej samej podstawy, i dodajemy wykładniki. Np. $\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{3} = 3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{5}{6}}$, a $9\sqrt{3} = 3^2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{5}{2}}$.

34.Jak obliczyć przybliżenie potęgi liczby 10 o wykładniku dziesiętnym?

Rozkładamy wykładnik na część całkowitą i ułamkową, korzystamy z prawa $a^{x + y} = a^x \cdot a^y$ i z przybliżenia odczytanego z kalkulatora. Np. dla $10^{0{,}7} \approx 5{,}0119$ jest $10^{2{,}7} = 10^2 \cdot 10^{0{,}7} \approx 100 \cdot 5{,}0119 = 501{,}19$.