Liczby naturalne, wymierne i niewymierne - MATeMAtyka 1 (ZR)

1.Cechy podzielności przez 2, 3, 4, 5 i 9

Liczba naturalna jest podzielna przez: 2, gdy jej ostatnią cyfrą jest 0, 2, 4, 6 lub 8; 3, gdy suma jej cyfr dzieli się przez 3; 4, gdy jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4; 5, gdy jej ostatnią cyfrą jest 0 lub 5; 9, gdy suma jej cyfr dzieli się przez 9. Np. 5832 ma sumę cyfr 18 i końcówkę 32, więc dzieli się przez 3, przez 9 i przez 4.

2.Jak sprawdzić podzielność przez 6, 12 lub 15?

Łączymy cechy podzielności przez dwie liczby, które nie mają wspólnych dzielników poza 1: liczba dzieli się przez 6, gdy dzieli się przez 2 i przez 3; przez 12 - gdy przez 3 i przez 4; przez 15 - gdy przez 3 i przez 5. Np. 4380 dzieli się przez 12 i przez 15. Nie wystarczy podzielność przez 2 i przez 6: liczba 18 dzieli się przez obie, ale nie dzieli się przez 12.

3.Zbiór liczb naturalnych $\mathbb{N}$

Liczby naturalne to 0, 1, 2, 3, …, a ich zbiór oznaczamy literą $\mathbb{N}$. Liczb naturalnych jest nieskończenie wiele, bo dla każdej liczby naturalnej $n$ istnieje następna liczba naturalna $n + 1$.

4.Dzielnik liczby naturalnej

Niech $m$ i $n$ będą liczbami naturalnymi, $m \neq 0$. Liczba $m$ jest dzielnikiem liczby $n$, gdy istnieje taka liczba naturalna $k$, że $n = m \cdot k$. Mówimy wtedy, że $n$ jest podzielna przez $m$ albo że $n$ jest wielokrotnością $m$, np. 7 jest dzielnikiem 91, bo $91 = 7 \cdot 13$. Liczba 1 jest dzielnikiem każdej liczby naturalnej, 0 nie jest dzielnikiem żadnej liczby, a każda dodatnia liczba naturalna jest dzielnikiem 0.

5.Zapis $a \mid b$ i $a \nmid b$

Zapis $3 \mid n$ czytamy: 3 dzieli $n$, czyli liczba $n$ jest podzielna przez 3. Zapis $7 \nmid n$ czytamy: 7 nie dzieli $n$, czyli liczba $n$ nie jest podzielna przez 7. Np. $6 \mid 84$, bo $84 = 6 \cdot 14$, a $8 \nmid 84$, bo $84 = 8 \cdot 10 + 4$.

6.Liczba parzysta i liczba nieparzysta

Liczba naturalna $n$ jest parzysta, gdy $2 \mid n$, a nieparzysta, gdy $2 \nmid n$. Liczbę parzystą zapisujemy w postaci $2k$, a nieparzystą w postaci $2k + 1$, gdzie $k$ jest liczbą naturalną, np. $38 = 2 \cdot 19$ i $51 = 2 \cdot 25 + 1$.

7.Dzielenie z resztą

Dzieląc liczbę naturalną $n$ przez liczbę naturalną $m \neq 0$, otrzymujemy iloraz $k$ i resztę $r$, przy czym $n = m \cdot k + r$ oraz $0 \le r < m$. Np. $59 : 4 = 14$ reszta 3, więc $59 = 4 \cdot 14 + 3$. Dlatego każdą liczbę naturalną można zapisać w jednej z postaci $3k$, $3k + 1$, $3k + 2$ (zależnie od reszty z dzielenia przez 3), a także w jednej z postaci $4k$, $4k + 1$, $4k + 2$, $4k + 3$.

8.Jak uzasadnić podzielność za pomocą wyrażenia algebraicznego?

Zapisujemy liczby za pomocą zmiennej i przekształcamy wyrażenie do postaci iloczynu, w którym jednym z czynników jest szukany dzielnik. Np. kolejne liczby naturalne to $n$, $n + 1$, $n + 2$, $n + 3$, $n + 4$, a ich suma to $5n + 10 = 5(n + 2)$, więc suma pięciu kolejnych liczb naturalnych zawsze dzieli się przez 5.

9.Liczba pierwsza

Liczba pierwsza to liczba naturalna, która ma dokładnie dwa dzielniki: 1 i samą siebie, np. 2, 3, 5, 7, 37. Liczba 2 jest jedyną parzystą liczbą pierwszą. Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele.

10.Liczba złożona

Liczba złożona to każda liczba naturalna większa od 1, która nie jest liczbą pierwszą, czyli ma więcej niż dwa dzielniki, np. 4, 9, $51 = 3 \cdot 17$. Liczby 0 i 1 nie są ani pierwsze, ani złożone: 1 ma tylko jeden dzielnik, a 0 ma nieskończenie wiele dzielników.

11.Rozkład liczby na czynniki pierwsze

To zapis liczby w postaci iloczynu liczb pierwszych. Każdą liczbę złożoną można rozłożyć na czynniki pierwsze i jest dokładnie jeden taki rozkład (z dokładnością do kolejności czynników). Rozkład w słupku: dzielimy liczbę przez jej najmniejszy dzielnik pierwszy i powtarzamy to z ilorazem, aż otrzymamy 1, np. $180 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5$ (rysunek).

12.Jak wyznaczyć NWD i NWW z rozkładów na czynniki pierwsze?

NWD (największy wspólny dzielnik) to iloczyn czynników wspólnych obu rozkładów. NWW (najmniejsza wspólna wielokrotność) to iloczyn czynników jednej liczby i tych czynników drugiej, których brakuje w pierwszym rozkładzie. Np. $72 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3$ i $60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5$, więc $\mathrm{NWD}(72, 60) = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 12$, a $\mathrm{NWW}(72, 60) = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 360$. Gdy rozkłady nie mają wspólnych czynników, NWD jest równy 1, a NWW jest równa iloczynowi liczb.

13.Algorytm Euklidesa

To sposób obliczania NWD dwóch liczb naturalnych: od większej liczby odejmujemy mniejszą i powtarzamy to z otrzymaną parą, aż liczby będą równe - ta liczba to NWD. Metoda działa, bo dzielnik liczb $m$ i $n$ jest też dzielnikiem ich różnicy. Np. $(84, 36) \to (48, 36) \to (12, 36) \to (12, 24) \to (12, 12)$, więc $\mathrm{NWD}(84, 36) = 12$.

14.Zbiór liczb całkowitych $\mathbb{Z}$

Liczby całkowite to liczby naturalne dodatnie 1, 2, 3, …, liczby do nich przeciwne $-1, -2, -3, \ldots$ oraz liczba 0; ich zbiór oznaczamy literą $\mathbb{Z}$. Dodawanie, odejmowanie i mnożenie liczb całkowitych zawsze daje liczbę całkowitą, a dzielenie - nie zawsze, np. $(-5) : 2 = -\frac{5}{2}$.

15.Liczba wymierna

Liczba wymierna to liczba, którą można zapisać jako iloraz $\frac{m}{n}$, gdzie $m$ i $n$ są liczbami całkowitymi i $n \neq 0$. Zbiór liczb wymiernych oznaczamy literą $\mathbb{Q}$. Każda liczba całkowita jest wymierna, bo $m = \frac{m}{1}$, np. $-4 = \frac{-4}{1}$. Wymierne są też np. $0{,}7 = \frac{7}{10}$ i $-2\frac{1}{3} = -\frac{7}{3}$.

16.Liczby względnie pierwsze a ułamek nieskracalny

Liczby całkowite są względnie pierwsze, gdy nie mają wspólnych dzielników całkowitych poza 1 i $-1$ (dzielnikami liczby całkowitej są też liczby ujemne, np. dzielniki $-10$ to $1, -1, 2, -2, 5, -5, 10, -10$). Ułamek jest nieskracalny, gdy jego licznik i mianownik są względnie pierwsze. Postać nieskracalną otrzymujemy, dzieląc licznik i mianownik przez ich NWD, np. $\frac{126}{210} = \frac{3}{5}$, bo $\mathrm{NWD}(126, 210) = 42$.

17.Jak dodać lub odjąć ułamki o różnych mianownikach?

Rozszerzamy ułamki, czyli mnożymy licznik i mianownik każdego z nich przez tę samą liczbę różną od zera, tak aby miały wspólny mianownik; najmniejszym wspólnym mianownikiem jest NWW mianowników. Potem dodajemy lub odejmujemy liczniki. Np. $\frac{5}{6} - \frac{3}{8} = \frac{20}{24} - \frac{9}{24} = \frac{11}{24}$, bo $\mathrm{NWW}(6, 8) = 24$.

18.Wzory na działania na liczbach wymiernych

Dla $b \neq 0$ i $d \neq 0$: $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d + b \cdot c}{b \cdot d}$, $\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d - b \cdot c}{b \cdot d}$, $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$. Gdy dodatkowo $c \neq 0$: $\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}$, czyli dzielenie przez ułamek zastępujemy mnożeniem przez jego odwrotność.

19.Twierdzenie Pitagorasa a liczba $\sqrt{2}$

W trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej: $a^2 + b^2 = c^2$. Dla przyprostokątnych długości 1 mamy $c^2 = 1^2 + 1^2 = 2$, czyli $c = \sqrt{2}$ - tyle wynosi długość przekątnej kwadratu o boku 1 (rysunek). Nie istnieje liczba wymierna, której kwadrat jest równy 2. Punkt $\sqrt{2}$ na osi liczbowej wyznaczamy cyrklem: na odcinku od 0 do 1 budujemy kwadrat i zataczamy łuk o środku 0 i promieniu równym jego przekątnej - łuk przecina oś w punkcie $\sqrt{2}$.

20.Liczba niewymierna

Liczby, które nie są wymierne, nazywamy liczbami niewymiernymi. Liczba niewymierna nie jest równa żadnemu ułamkowi $\frac{m}{k}$, gdzie $m$ i $k$ są liczbami całkowitymi, $k \neq 0$. Niewymierne są np. $\sqrt{2}$, $\sqrt[3]{9}$, $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ i $\pi$.

21.Kiedy $\sqrt{n}$ jest liczbą niewymierną?

Dla liczby naturalnej $n$ liczba $\sqrt{n}$ jest albo liczbą naturalną (gdy $n$ jest kwadratem liczby naturalnej), albo liczbą niewymierną. Np. $\sqrt{144} = 12$, a liczba $\sqrt{150}$ jest niewymierna, bo $12 = \sqrt{144} < \sqrt{150} < \sqrt{169} = 13$. Podobnie jest z pierwiastkiem sześciennym: $\sqrt[3]{27} = 3$, a $\sqrt[3]{30}$ jest liczbą niewymierną.

22.Dowód niewymierności liczby $\sqrt{2}$

Przypuśćmy, że $\sqrt{2} = \frac{m}{k}$, gdzie $m$ i $k$ są liczbami całkowitymi, $k \neq 0$. Wtedy $2 = \frac{m^2}{k^2}$, czyli $2k^2 = m^2$. W rozkładzie kwadratu liczby na czynniki pierwsze każdy czynnik występuje parzystą liczbę razy, więc czynnik 2 występuje parzystą liczbę razy w $m^2$, a nieparzystą w $2k^2$. To sprzeczność, zatem $\sqrt{2}$ jest liczbą niewymierną.

23.Dowód przez sprowadzenie do sprzeczności

To sposób rozumowania, w którym wykazujemy, że przyjęcie prawdziwości jakiegoś zdania prowadzi do sprzeczności - zatem prawdziwe musi być zdanie przeciwne (z prawdy nie może wynikać fałsz). Np. aby udowodnić, że liczba jest niewymierna, zakładamy, że jest wymierna, i dochodzimy do sprzeczności.

24.Suma i iloczyn liczby wymiernej i liczby niewymiernej

Suma (a także różnica) liczby wymiernej i liczby niewymiernej jest liczbą niewymierną. Iloczyn liczby wymiernej różnej od zera i liczby niewymiernej jest liczbą niewymierną. Dlatego niewymierne są np. $4 - \sqrt{3}$ i $\frac{2}{3}\sqrt{5}$. Warunek „różnej od zera” jest konieczny, bo $0 \cdot \sqrt{2} = 0$.

25.Czy suma lub iloczyn dwóch liczb niewymiernych jest liczbą niewymierną?

Nie zawsze - wynik może być wymierny albo niewymierny. Np. $(3 + \sqrt{2}) + (3 - \sqrt{2}) = 6$ i $\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4$ to liczby wymierne, a $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ i $\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{6}$ są liczbami niewymiernymi.

26.Zbiór liczb rzeczywistych $\mathbb{R}$

Zbiór wszystkich liczb wymiernych i niewymiernych nazywamy zbiorem liczb rzeczywistych i oznaczamy literą $\mathbb{R}$; zbiór liczb niewymiernych bywa oznaczany $\mathbb{IQ}$. Każda liczba naturalna jest całkowita, każda całkowita jest wymierna, a każda liczba rzeczywista jest albo wymierna, albo niewymierna (rysunek).

27.Czy między dwiema liczbami zawsze leży liczba niewymierna?

Tak. Między dwiema różnymi liczbami rzeczywistymi na osi liczbowej znajdują się liczby niewymierne. Gdy mniejsza z liczb jest wymierna, taką liczbę otrzymamy, dodając do niej odpowiednio małą liczbę niewymierną (suma liczby wymiernej i niewymiernej jest niewymierna), np. między 3 a $3{,}1$ leży $3 + \frac{\sqrt{2}}{100} \approx 3{,}014$.

28.Ułamek dziesiętny i rozwinięcie dziesiętne

Ułamki o mianownikach 10, 100, 1000, … nazywamy ułamkami dziesiętnymi, np. $\frac{43}{1000} = 0{,}043$; zapis z przecinkiem to rozwinięcie dziesiętne (postać dziesiętna) liczby. Aby otrzymać postać dziesiętną liczby wymiernej, dzielimy licznik przez mianownik, np. $\frac{7}{8} = 7 : 8 = 0{,}875$, albo rozszerzamy ułamek do mianownika 10, 100, 1000, …, np. $\frac{9}{125} = \frac{72}{1000} = 0{,}072$.

29.Rozwinięcie dziesiętne okresowe

To nieskończone rozwinięcie dziesiętne, w którym pewna grupa cyfr powtarza się nieskończenie wiele razy. Najkrótszą powtarzającą się grupę cyfr nazywamy okresem i zapisujemy w nawiasie, a liczbę jej cyfr - długością okresu. Np. $\frac{5}{6} = 0{,}8333\ldots = 0{,}8(3)$ ma okres o długości 1, a $\frac{3}{11} = 0{,}2727\ldots = 0{,}(27)$ - okres o długości 2.

30.Jak znaleźć cyfrę na danym miejscu po przecinku w rozwinięciu okresowym?

Dzielimy numer miejsca (liczony od początku okresu) przez długość okresu: reszta $r$ wskazuje $r$-tą cyfrę okresu, a reszta 0 - ostatnią cyfrę okresu. Gdy okres nie zaczyna się zaraz po przecinku, najpierw odejmujemy liczbę cyfr przed okresem. Np. $\frac{5}{13} = 0{,}(384615)$ i $15 = 6 \cdot 2 + 3$, więc na 15. miejscu po przecinku stoi trzecia cyfra okresu, czyli 4.

31.Dlaczego długość okresu rozwinięcia ułamka $\frac{m}{n}$ jest mniejsza od $n$?

Przy dzieleniu pisemnym $m$ przez $n$ każda reszta jest jedną z liczb $0, 1, \ldots, n - 1$, a w rozwinięciu okresowym żadna reszta nie jest zerem. Różnych reszt jest więc najwyżej $n - 1$, a gdy reszta się powtórzy, powtarzają się kolejne cyfry - dlatego okres ma mniej niż $n$ cyfr. Np. dla mianownika 7 długość okresu wynosi 6, dla 11 - 2, a dla 37 - 3.

32.Rozwinięcie dziesiętne liczby wymiernej i liczby niewymiernej

Każdą liczbę wymierną można zapisać w postaci dziesiętnej skończonej lub nieskończonej okresowej, a każde rozwinięcie dziesiętne okresowe przedstawia liczbę wymierną. Rozwinięcia nieskończone nieokresowe przedstawiają liczby niewymierne, np. $0{,}2020020002\ldots$ (po każdej dwójce o jedno zero więcej) albo $\sqrt{3} = 1{,}7320\ldots$ (rysunek).

33.Kiedy ułamek ma skończone rozwinięcie dziesiętne?

Ułamek nieskracalny $\frac{m}{n}$ ma rozwinięcie dziesiętne skończone wtedy i tylko wtedy, gdy mianownik $n$ jest iloczynem pewnej liczby czynników równych 2 lub 5. Np. $\frac{7}{40} = 0{,}175$, bo $40 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5$, a $\frac{7}{30} = 0{,}2(3)$, bo w rozkładzie liczby 30 jest czynnik 3. Ułamek trzeba najpierw skrócić: $\frac{6}{15} = \frac{2}{5} = 0{,}4$.

34.Jak zamienić ułamek okresowy na ułamek zwykły?

Oznaczamy liczbę przez $x$ i mnożymy obie strony przez 10, 100, 1000, … tak, aby przecinek znalazł się za pierwszym wystąpieniem okresu. Część po przecinku jest wtedy taka sama jak w $x$, więc zapisujemy równanie i je rozwiązujemy. Np. dla $x = 0{,}(36)$: $100x = 36{,}(36) = 36 + x$, więc $99x = 36$ i $x = \frac{36}{99} = \frac{4}{11}$ (rysunek).

35.Jak zamienić na ułamek zwykły liczbę, której okres nie zaczyna się zaraz po przecinku?

Mnożymy $x$ przez dwie potęgi liczby 10: raz tak, aby przecinek stanął tuż przed okresem, i raz tak, aby stanął za pierwszym wystąpieniem okresu. Potem odejmujemy te równości stronami. Np. dla $x = 0{,}4(5)$: $10x = 4{,}(5)$ i $100x = 45{,}(5)$, więc $90x = 41$ i $x = \frac{41}{90}$.

36.Rozwinięcie dziesiętne z okresem 9

Rozwinięcie dziesiętne z okresem 9 przedstawia liczbę o skończonym rozwinięciu dziesiętnym. Np. dla $x = 2{,}6(9)$ mamy $100x = 269{,}(9)$ i $10x = 26{,}(9)$, więc $90x = 243$ i $x = 2{,}7$. Podobnie $5{,}(9) = 6$.

37.Przybliżenie liczby z dokładnością do $d$

Liczba $x$ jest przybliżeniem liczby $a$ z dokładnością do $d$, jeśli liczby $a$ i $x$ różnią się o nie więcej niż $d$. Np. $\sqrt{3} = 1{,}7320\ldots$, więc $1{,}7$ jest przybliżeniem $\sqrt{3}$ z dokładnością do $0{,}1$, a $1{,}73$ - z dokładnością do $0{,}01$.

38.Reguła zaokrąglania

Odrzucamy końcowe cyfry liczby (przed przecinkiem zastępujemy je zerami). Jeśli pierwszą odrzuconą cyfrą jest 0, 1, 2, 3 lub 4, ostatnią zachowaną cyfrę zostawiamy bez zmian, a jeśli 5, 6, 7, 8 lub 9 - zwiększamy ją o 1. Zaokrągleniem nazywamy przybliżenie zgodne z tą regułą. Np. $8{,}3762 \approx 8{,}38$ (do części setnych) i $8{,}3762 \approx 8{,}4$ (do części dziesiątych).

39.Przybliżenie z niedomiarem i przybliżenie z nadmiarem

Przybliżenie mniejsze od danej liczby to przybliżenie z niedomiarem, a większe od niej - przybliżenie z nadmiarem. Np. $\sqrt{2} = 1{,}4142\ldots$, więc $1{,}41$ jest przybliżeniem z niedomiarem, a $1{,}42$ - z nadmiarem (rysunek). Zaokrąglenie może być każdym z nich: $\frac{2}{3} \approx 0{,}67$ to przybliżenie z nadmiarem.