Pierwiastki i potęgi - MATeMAtyka 1 (ZP)

1.Pierwiastek kwadratowy

Pierwiastkiem kwadratowym (pierwiastkiem drugiego stopnia) z liczby nieujemnej $a$ nazywamy liczbę nieujemną $b$, której kwadrat jest równy $a$: $\sqrt{a} = b$, gdy $b^2 = a$ i $b \ge 0$. Np. $\sqrt{0{,}49} = 0{,}7$, bo $0{,}7^2 = 0{,}49$. Bok kwadratu o polu $P$ ma długość $\sqrt{P}$.

2.Czy pierwiastek kwadratowy może być liczbą ujemną?

Nie. Umówiliśmy się, że pierwiastek kwadratowy jest liczbą nieujemną, żeby zapis oznaczał jedną liczbę: choć $(-8)^2 = 64$, to $\sqrt{64} = 8$, a nie $-8$. Pierwiastka kwadratowego z liczby ujemnej nie określamy, bo kwadrat żadnej liczby nie jest ujemny.

3.Ile wynosi $\sqrt{a^2}$?

Dla dowolnej liczby rzeczywistej $a$: $\sqrt{a^2} = a$, gdy $a \ge 0$, oraz $\sqrt{a^2} = -a$, gdy $a < 0$. Wynik zawsze jest nieujemny, np. $\sqrt{7^2} = 7$ i $\sqrt{(-7)^2} = -(-7) = 7$.

4.Pierwiastek iloczynu i pierwiastek ilorazu

Dla $a \ge 0$ i $b \ge 0$: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$, a dla $a \ge 0$ i $b > 0$: $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$. Wzory stosujemy w obie strony, np. $\sqrt{25 \cdot 81} = 5 \cdot 9 = 45$ i $\sqrt{3} \cdot \sqrt{12} = \sqrt{36} = 6$.

5.Czy pierwiastek z sumy jest równy sumie pierwiastków?

Nie. Wzory na pierwiastek iloczynu i ilorazu nie mają odpowiednika dla sumy ani różnicy. Np. $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$, a $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$.

6.Jak wyłączyć czynnik przed pierwiastek?

Liczbę pod pierwiastkiem zapisujemy jako iloczyn, w którym jeden czynnik jest kwadratem liczby naturalnej (najlepiej jak największym), i korzystamy ze wzoru na pierwiastek iloczynu. Np. $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2} = 6\sqrt{2}$.

7.Jak włączyć czynnik pod pierwiastek?

Dodatni czynnik przed pierwiastkiem podnosimy do kwadratu i mnożymy przez liczbę pod pierwiastkiem: $4\sqrt{3} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{48}$. W ten sposób łatwo porównujemy liczby, np. $4\sqrt{3} = \sqrt{48} < \sqrt{49} = 7$.

8.Jak dodawać i odejmować pierwiastki?

Dodawać i odejmować możemy tylko wyrażenia z tym samym pierwiastkiem - tak jak wyrazy podobne: $3\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = 5\sqrt{5}$. Często trzeba najpierw wyłączyć czynnik przed pierwiastek, np. $\sqrt{12} + \sqrt{75} = 2\sqrt{3} + 5\sqrt{3} = 7\sqrt{3}$.

9.Jak pomnożyć pierwiastek przez sumę?

Mnożymy pierwiastek przez każdy składnik sumy i korzystamy z tego, że $\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a$ dla $a \ge 0$. Np. $\sqrt{3}(2 + \sqrt{3}) = 2\sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3} + 3$.

10.Jak usunąć niewymierność z mianownika ułamka?

Mnożymy licznik i mianownik przez pierwiastek z mianownika, bo $\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a$. Wartość ułamka się nie zmienia, a w mianowniku nie ma już pierwiastka. Np. $\frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$.

11.Pierwiastek sześcienny z liczby nieujemnej

Pierwiastkiem sześciennym (pierwiastkiem trzeciego stopnia) z liczby nieujemnej $a$ nazywamy liczbę $b$, która podniesiona do trzeciej potęgi jest równa $a$: $\sqrt[3]{a} = b$, gdy $b^3 = a$. Krawędź sześcianu o objętości $V$ ma długość $\sqrt[3]{V}$, np. dla $V = 64~\mathrm{cm^3}$ jest to $4~\mathrm{cm}$.

12.Ile wynosi $\sqrt[3]{a^3}$ i $(\sqrt[3]{a})^3$?

Obliczanie pierwiastka trzeciego stopnia jest działaniem odwrotnym do podnoszenia do trzeciej potęgi, dlatego $\sqrt[3]{a^3} = a$ i $(\sqrt[3]{a})^3 = a$. Np. $\sqrt[3]{13^3} = 13$ i $(\sqrt[3]{20})^3 = 20$.

13.Pierwiastek sześcienny iloczynu i ilorazu

Dla $a \ge 0$ i $b \ge 0$: $\sqrt[3]{a \cdot b} = \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b}$, a dla $a \ge 0$ i $b > 0$: $\sqrt[3]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}$. Po rozszerzeniu definicji pierwiastka sześciennego na liczby ujemne te wzory są prawdziwe dla dowolnych liczb $a$ i $b$ (w ilorazie $b \neq 0$). Np. $\sqrt[3]{8 \cdot 27} = 2 \cdot 3 = 6$, $\sqrt[3]{(-8) \cdot 27} = -2 \cdot 3 = -6$ i $\frac{\sqrt[3]{54}}{\sqrt[3]{2}} = \sqrt[3]{27} = 3$.

14.Jak usunąć pierwiastek sześcienny z mianownika?

Mnożymy licznik i mianownik przez taki pierwiastek sześcienny, żeby pod pierwiastkiem w mianowniku powstał sześcian liczby naturalnej. Np. $\frac{5}{\sqrt[3]{3}} = \frac{5}{\sqrt[3]{3}} \cdot \frac{\sqrt[3]{9}}{\sqrt[3]{9}} = \frac{5\sqrt[3]{9}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{5\sqrt[3]{9}}{3}$.

15.Pierwiastek sześcienny z liczby ujemnej

Pierwiastek trzeciego stopnia określamy dla każdej liczby rzeczywistej $a$: $\sqrt[3]{a} = b$, gdy $b^3 = a$. Pierwiastek sześcienny z liczby ujemnej jest liczbą ujemną, np. $\sqrt[3]{-27} = -3$, bo $(-3)^3 = -27$, oraz $\sqrt[3]{-\frac{1}{8}} = -\frac{1}{2}$. Pierwiastka kwadratowego z liczby ujemnej nie ma.

16.Pierwiastek n-tego stopnia

Jeśli $n$ jest parzyste, to dla $a \ge 0$: $\sqrt[n]{a} = b$, gdy $b \ge 0$ i $b^n = a$. Jeśli $n$ jest nieparzyste, to dla dowolnej liczby rzeczywistej $a$: $\sqrt[n]{a} = b$, gdy $b^n = a$. Dla $n = 2$ zamiast $\sqrt[2]{a}$ piszemy $\sqrt{a}$. Np. $\sqrt[4]{81} = 3$, bo $3^4 = 81$.

17.Z jakich liczb istnieje pierwiastek stopnia parzystego, a z jakich - stopnia nieparzystego?

Pierwiastek stopnia parzystego istnieje tylko z liczby nieujemnej i sam jest nieujemny, np. $\sqrt[6]{64} = 2$, a $\sqrt[4]{-16}$ nie istnieje. Pierwiastek stopnia nieparzystego istnieje z każdej liczby rzeczywistej i ma jej znak, np. $\sqrt[5]{-32} = -2$, bo $(-2)^5 = -32$.

18.Jak wyłączyć czynnik przed pierwiastek sześcienny lub pierwiastek n-tego stopnia?

Liczbę pod pierwiastkiem stopnia $n$ zapisujemy jako iloczyn, w którym jeden czynnik jest $n$-tą potęgą liczby naturalnej. Np. $\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27 \cdot 2} = 3\sqrt[3]{2}$ i $\sqrt[4]{32} = \sqrt[4]{16 \cdot 2} = 2\sqrt[4]{2}$.

19.Jak włączyć czynnik pod pierwiastek stopnia $n$?

Dodatni czynnik przed pierwiastkiem stopnia $n$ podnosimy do potęgi $n$ i mnożymy przez liczbę pod pierwiastkiem, np. $2\sqrt[3]{7} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 7} = \sqrt[3]{56}$. Tak porównujemy pierwiastki: $2\sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{24}$, więc $2\sqrt[3]{3} < \sqrt[3]{25}$.

20.Potęga o wykładniku naturalnym

Dla liczby naturalnej $n > 1$ potęga $a^n$ to iloczyn $n$ czynników równych $a$; $a$ to podstawa potęgi, a $n$ - wykładnik potęgi. Przyjmujemy też, że $a^1 = a$ oraz $a^0 = 1$ dla $a \neq 0$. Wartości $0^0$ nie określamy. Np. $\left(\frac{3}{5}\right)^3 = \frac{27}{125}$, $(-4)^1 = -4$, $9^0 = 1$.

21.Potęga liczby ujemnej

Potęga liczby ujemnej o wykładniku parzystym jest dodatnia, a o wykładniku nieparzystym - ujemna. Np. $(-2)^4 = 16$, $(-2)^5 = -32$, $\left(-\frac{1}{3}\right)^3 = -\frac{1}{27}$. Uwaga: $-2^4 = -16$, bo bez nawiasu do potęgi podnosimy tylko 2.

22.Potęgi liczb 2, 3 i 5, które warto znać

$2^5 = 32$, $2^6 = 64$, $2^7 = 128$, $2^8 = 256$, $2^9 = 512$, $2^{10} = 1024$, $3^4 = 81$, $3^5 = 243$, $3^6 = 729$, $5^3 = 125$, $5^4 = 625$. Pomagają szybko obliczać pierwiastki i zapisywać liczby jako potęgi, np. $\sqrt[5]{243} = 3$.

23.Iloczyn i iloraz potęg o tej samej podstawie

Dla $a \neq 0$ i liczb naturalnych $m$, $n$: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ oraz $a^m : a^n = a^{m-n}$ (dla $m > n$) - wykładniki dodajemy albo odejmujemy, a podstawa się nie zmienia. Np. $3^4 \cdot 3^2 = 3^6$ i $5^7 : 5^5 = 5^2 = 25$.

24.Iloczyn i iloraz potęg o tym samym wykładniku

Dla $a \neq 0$, $b \neq 0$ i liczby naturalnej $n$: $a^n \cdot b^n = (ab)^n$ oraz $\frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n$. Np. $2^5 \cdot 5^5 = 10^5 = 100\,000$ i $\frac{15^3}{5^3} = 3^3 = 27$.

25.Potęga potęgi

Dla $a \neq 0$ i liczb naturalnych $m$, $n$: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ - wykładniki mnożymy. Np. $(2^3)^4 = 2^{12}$. Nie myl tego z iloczynem potęg: $2^3 \cdot 2^4 = 2^7$.

26.Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym

Dla $a \neq 0$ i liczby naturalnej $n \ge 1$: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. Np. $2^{-3} = \frac{1}{8}$, a $\left(\frac{3}{4}\right)^{-2} = \frac{1}{\frac{9}{16}} = \frac{16}{9} = \left(\frac{4}{3}\right)^2$ - potęga ułamka o wykładniku ujemnym jest równa potędze jego odwrotności o wykładniku przeciwnym. Wykładnik ujemny nie oznacza, że wynik jest ujemny.

27.Prawa działań na potęgach o wykładnikach całkowitych

Dla liczb całkowitych $m$, $n$ oraz $a \neq 0$, $b \neq 0$ prawa są takie same jak dla wykładników naturalnych: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, $a^m : a^n = a^{m-n}$ (już bez warunku $m > n$), $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, $a^n \cdot b^n = (ab)^n$, $\frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n$. Np. $3^{-4} \cdot 3^6 = 3^2 = 9$ i $2^3 : 2^5 = 2^{-2} = \frac{1}{4}$.

28.Notacja wykładnicza

Notacja wykładnicza (inaczej notacja naukowa) to zapis liczby dodatniej $a$ w postaci $a = x \cdot 10^n$, gdzie $1 \le x < 10$, a $n$ jest liczbą całkowitą. Używamy jej do zapisu bardzo dużych i bardzo małych liczb, np. $7\,200\,000 = 7{,}2 \cdot 10^6$.

29.Jak zapisać liczbę w notacji wykładniczej?

Przesuwamy przecinek tak, aby przed nim stała jedna cyfra różna od zera, i liczymy, o ile miejsc go przesunęliśmy. Przesunięcie w lewo daje wykładnik dodatni, a w prawo - ujemny. Np. $52\,000\,000 = 5{,}2 \cdot 10^7$, a $0{,}00041 = 4{,}1 \cdot 10^{-4}$.

30.Jak mnożyć i dzielić liczby zapisane w notacji wykładniczej?

Osobno mnożymy (dzielimy) liczby przed potęgami i osobno potęgi liczby 10, korzystając z praw działań na potęgach. Na koniec poprawiamy zapis, gdy liczba przed potęgą nie spełnia warunku $1 \le x < 10$. Np. $(3 \cdot 10^4) \cdot (4 \cdot 10^{-9}) = 12 \cdot 10^{-5} = 1{,}2 \cdot 10^{-4}$.

31.Potęga o wykładniku $\frac{1}{n}$

Dla $a \ge 0$ i liczby naturalnej $n > 1$: $a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$. Np. $81^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{81} = 3$ i $36^{\frac{1}{2}} = \sqrt{36} = 6$.

32.Potęga o wykładniku $\frac{m}{n}$

Dla $a > 0$, liczby naturalnej $n > 1$ i liczby całkowitej $m$: $a^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{a})^m$, przy czym $(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}$. Np. $27^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{27})^2 = 9$ i $64^{-\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{64})^{-2} = 4^{-2} = \frac{1}{16}$. Wykładnik dziesiętny zamieniamy na ułamek: $100^{1{,}5} = 100^{\frac{3}{2}} = 10^3 = 1000$.

33.Prawa działań na potęgach o wykładnikach wymiernych

Dla liczb wymiernych $x$, $y$ i liczb dodatnich $a$, $b$: $a^x \cdot a^y = a^{x+y}$, $a^x : a^y = a^{x-y}$, $a^x \cdot b^x = (ab)^x$, $\frac{a^x}{b^x} = \left(\frac{a}{b}\right)^x$, $(a^x)^y = a^{x \cdot y}$. Np. $5^{\frac{1}{3}} \cdot 5^{\frac{5}{3}} = 5^2 = 25$ i $12^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{2}} = 36^{\frac{1}{2}} = 6$.

34.Jak zapisać pierwiastki jako potęgę o danej podstawie?

Każdy pierwiastek zamieniamy na potęgę o wykładniku wymiernym i stosujemy prawa działań na potęgach. Np. $\sqrt[3]{25} = (5^2)^{\frac{1}{3}} = 5^{\frac{2}{3}}$, a $\frac{\sqrt{5}}{5} = 5^{\frac{1}{2}} \cdot 5^{-1} = 5^{-\frac{1}{2}}$.