Liczby naturalne, wymierne i niewymierne - MATeMAtyka 1 (ZP)

1.Cechy podzielności przez 2, 4 i 5

Liczba naturalna jest podzielna przez 2, gdy jej ostatnia cyfra to 0, 2, 4, 6 lub 8, a przez 5, gdy jej ostatnia cyfra to 0 lub 5. Jest podzielna przez 4, gdy jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4, np. $3\,716$ dzieli się przez 4, bo $16 = 4 \cdot 4$.

2.Cechy podzielności przez 3 i 9

Liczba naturalna jest podzielna przez 3, gdy suma jej cyfr jest podzielna przez 3, a przez 9 - gdy suma jej cyfr jest podzielna przez 9. Np. $5\,847$ ma sumę cyfr $5 + 8 + 4 + 7 = 24$, więc dzieli się przez 3, ale nie dzieli się przez 9.

3.Jak sprawdzić, czy liczba jest podzielna przez 6, 12 lub 15?

Zapisujemy dzielnik jako iloczyn dwóch liczb bez wspólnych dzielników poza 1 i sprawdzamy obie cechy: $6 = 2 \cdot 3$, $12 = 3 \cdot 4$, $15 = 3 \cdot 5$. Dla 12 nie wystarczy sprawdzić 2 i 6, bo mają wspólny dzielnik 2. Np. $4\,314$ jest parzysta i ma sumę cyfr 12, więc dzieli się przez 6, ale nie przez 12, bo 14 nie dzieli się przez 4.

4.Liczby naturalne

Liczby naturalne to liczby 0, 1, 2, 3, ...; ich zbiór oznaczamy literą $\mathbb{N}$. Jest ich nieskończenie wiele, bo po każdej liczbie naturalnej $n$ następuje liczba naturalna $n + 1$.

5.Dzielnik liczby naturalnej

Liczba naturalna $m \neq 0$ jest dzielnikiem liczby naturalnej $n$, gdy istnieje taka liczba naturalna $k$, że $n = m \cdot k$. Mówimy wtedy, że $n$ jest podzielna przez $m$, czyli jest wielokrotnością liczby $m$. Np. 6 jest dzielnikiem 42, bo $42 = 6 \cdot 7$.

6.Czy 0 i 1 mogą być dzielnikami?

Liczba 1 jest dzielnikiem każdej liczby naturalnej, bo $n = 1 \cdot n$. Liczba 0 nie jest dzielnikiem żadnej liczby. Natomiast każda dodatnia liczba naturalna jest dzielnikiem liczby 0, np. $0 = 9 \cdot 0$.

7.Co oznaczają zapisy $3 \mid n$ i $7 \nmid n$?

Zapis $3 \mid n$ czytamy: 3 dzieli $n$, czyli liczba $n$ jest podzielna przez 3. Zapis $7 \nmid n$ czytamy: 7 nie dzieli $n$, czyli liczba $n$ nie jest podzielna przez 7. Np. $4 \mid 28$, ale $5 \nmid 28$.

8.Liczba parzysta i liczba nieparzysta

Liczba naturalna $n$ jest parzysta, gdy $2 \mid n$, a nieparzysta, gdy $2 \nmid n$. Liczbę parzystą zapisujemy w postaci $2k$, a nieparzystą w postaci $2k + 1$, gdzie $k$ jest liczbą naturalną, np. $38 = 2 \cdot 19$ i $39 = 2 \cdot 19 + 1$.

9.Dzielenie z resztą

Gdy dzielimy liczbę naturalną $n$ przez $m$ i otrzymujemy wynik $k$ oraz resztę $r$, to $n = m \cdot k + r$, a reszta jest mniejsza od dzielnika. Np. $59 : 4 = 14$ reszta 3, więc $59 = 4 \cdot 14 + 3$, czyli 59 ma postać $4k + 3$. Przy dzieleniu przez 3 każda liczba naturalna ma postać $3k$, $3k + 1$ albo $3k + 2$.

10.Liczba pierwsza i liczba złożona

Liczba pierwsza to liczba naturalna, która ma dokładnie dwa dzielniki: 1 i samą siebie, np. 2, 13, 41. Liczba złożona to liczba naturalna większa od 1, która nie jest pierwsza, np. 15. Liczby 0 i 1 nie są ani pierwsze, ani złożone. Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele.

11.Rozkład liczby na czynniki pierwsze

To przedstawienie liczby w postaci iloczynu liczb pierwszych, np. $60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5$. Każdą liczbę złożoną można rozłożyć na czynniki pierwsze i istnieje dokładnie jeden taki rozkład (z dokładnością do kolejności czynników).

12.Jak rozłożyć liczbę na czynniki pierwsze?

Dzielimy liczbę przez liczbę pierwszą, przez którą się dzieli, a wynik zapisujemy pod spodem (zapis pod kreską). Powtarzamy to, aż otrzymamy 1. Dzielniki zapisane po prawej stronie kreski to czynniki pierwsze, np. $84 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7$.

13.Jak wyznaczyć NWD dwóch liczb z ich rozkładów na czynniki pierwsze?

Największy wspólny dzielnik (NWD) to iloczyn czynników pierwszych wspólnych dla obu rozkładów. Każdy wspólny czynnik bierzemy tyle razy, ile razy występuje w tym rozkładzie, w którym jest go mniej. Np. $60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5$ i $84 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7$, więc $\mathrm{NWD}(60, 84) = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 12$.

14.Jak wyznaczyć NWW dwóch liczb z ich rozkładów na czynniki pierwsze?

Najmniejsza wspólna wielokrotność (NWW) to iloczyn wszystkich czynników rozkładu jednej liczby i tych czynników drugiej, których brakuje w pierwszym rozkładzie. Np. $\mathrm{NWW}(60, 84) = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 420$. Gdy rozkłady $x$ i $y$ nie mają wspólnych czynników, $\mathrm{NWD}(x, y) = 1$ i $\mathrm{NWW}(x, y) = x \cdot y$.

15.Zamiana liczby mieszanej na ułamek niewłaściwy i odwrotnie

Aby zamienić liczbę mieszaną na ułamek, mnożymy całości przez mianownik i dodajemy licznik: $3\frac{2}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{17}{5}$. Odwrotnie dzielimy licznik przez mianownik z resztą: $\frac{23}{6} = 3\frac{5}{6}$, bo $23 = 6 \cdot 3 + 5$.

16.Liczby całkowite

Liczby całkowite to liczby naturalne dodatnie 1, 2, 3, ..., liczby do nich przeciwne $-1, -2, -3, \ldots$ oraz 0; ich zbiór oznaczamy literą $\mathbb{Z}$. Suma, różnica i iloczyn liczb całkowitych są zawsze liczbami całkowitymi, a iloraz - nie zawsze, np. $7 : (-2) = -\frac{7}{2}$.

17.Liczby wymierne

Liczby wymierne to liczby, które można zapisać jako iloraz $\frac{m}{n}$, gdzie $m$ i $n$ są liczbami całkowitymi i $n \neq 0$; ich zbiór oznaczamy literą $\mathbb{Q}$. Każda liczba całkowita jest wymierna, np. $-5 = \frac{-5}{1}$. Wymierne są też ułamki dziesiętne, np. $0{,}7 = \frac{7}{10}$.

18.Ułamek nieskracalny i liczby względnie pierwsze

Ułamek jest nieskracalny, gdy jego licznik i mianownik są liczbami względnie pierwszymi, czyli nie mają wspólnych dzielników całkowitych poza 1 i $-1$. Aby od razu otrzymać ułamek nieskracalny, dzielimy licznik i mianownik przez ich NWD, np. $\frac{84}{126} = \frac{84 : 42}{126 : 42} = \frac{2}{3}$.

19.Dzielniki liczby całkowitej

Pojęcia dzielnika używamy też dla liczb całkowitych - wtedy dzielnikami są liczby dodatnie i ujemne. Np. liczba $-10$ ma osiem dzielników: $1, -1, 2, -2, 5, -5, 10, -10$.

20.Jak dodać lub odjąć ułamki o różnych mianownikach?

Rozszerzamy ułamki do wspólnego mianownika. Może nim być iloczyn mianowników, ale najmniejszy wspólny mianownik to NWW mianowników - wtedy rachunki są najprostsze. Np. $\mathrm{NWW}(6, 8) = 24$, więc $\frac{5}{6} - \frac{3}{8} = \frac{20}{24} - \frac{9}{24} = \frac{11}{24}$.

21.Działania na liczbach wymiernych (wzory)

Dla $b \neq 0$ i $d \neq 0$: $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}$, $\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad - bc}{bd}$, $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$, a dla $c \neq 0$ także $\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}$. Np. $2\frac{1}{4} : 1\frac{1}{2} = \frac{9}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{3}{2}$.

22.Ile wynosi $(-3)^2$, a ile $-3^2$?

$(-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = 9$, bo do kwadratu podnosimy całą liczbę z nawiasu. W zapisie $-3^2$ potęgowanie wykonujemy przed zmianą znaku, więc $-3^2 = -(3 \cdot 3) = -9$.

23.Twierdzenie Pitagorasa

W trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej: $a^2 + b^2 = c^2$. Np. gdy przyprostokątne mają długości 2 i 3, to $c^2 = 4 + 9 = 13$, więc $c = \sqrt{13}$.

24.Liczba niewymierna

Liczba niewymierna to liczba, która nie jest wymierna, czyli nie da się jej zapisać w postaci ułamka $\frac{m}{k}$, gdzie $m$ i $k$ są liczbami całkowitymi i $k \neq 0$. Przykładem jest $\sqrt{2}$ - długość przekątnej kwadratu o boku 1.

25.Kiedy pierwiastek z liczby naturalnej jest liczbą niewymierną?

Dla liczby naturalnej $n$ liczba $\sqrt{n}$ jest albo liczbą naturalną, albo liczbą niewymierną - niewymierną wtedy, gdy $n$ nie jest kwadratem liczby naturalnej. Np. $\sqrt{49} = 7$, a $\sqrt{50}$ jest liczbą niewymierną. Tak samo jest z pierwiastkiem sześciennym: $\sqrt[3]{27} = 3$, a $\sqrt[3]{30}$ jest liczbą niewymierną, bo 30 nie jest sześcianem liczby naturalnej.

26.Suma i iloczyn liczby wymiernej i liczby niewymiernej

Suma liczby wymiernej i liczby niewymiernej jest liczbą niewymierną. Iloczyn liczby wymiernej różnej od zera i liczby niewymiernej też jest liczbą niewymierną. Np. liczby $4 - \sqrt{3}$ i $\frac{2}{3}\sqrt{5}$ są niewymierne.

27.Czy suma lub iloczyn dwóch liczb niewymiernych jest liczbą niewymierną?

Nie zawsze. Np. suma liczb niewymiernych $2 + \sqrt{3}$ i $2 - \sqrt{3}$ jest równa 4, a iloczyn liczb niewymiernych $3\sqrt{2}$ i $\sqrt{2}$ jest równy $3 \cdot 2 = 6$. Wynik trzeba za każdym razem sprawdzić.

28.Liczby rzeczywiste

Zbiór wszystkich liczb wymiernych i niewymiernych to zbiór liczb rzeczywistych $\mathbb{R}$. Każda liczba naturalna jest całkowita, każda całkowita - wymierna, a każda wymierna - rzeczywista. Liczbami niewymiernymi są nie tylko niektóre pierwiastki, np. $\sqrt{3}$, ale też np. liczba $\pi$. Zbiór liczb niewymiernych bywa oznaczany $\mathbb{IQ}$.

29.Jak zaznaczyć na osi liczbowej punkt $\sqrt{2}$?

Na odcinku od 0 do 1 budujemy kwadrat o boku 1. Jego przekątna ma długość $\sqrt{2}$. Cyrklem o środku w punkcie 0 i promieniu równym tej przekątnej zataczamy łuk - przecina on oś w punkcie $\sqrt{2}$.

30.Jak oszacować pierwiastek kwadratowy między dwiema kolejnymi liczbami naturalnymi?

Szukamy kwadratów kolejnych liczb naturalnych, między którymi leży liczba pod pierwiastkiem. Np. $6^2 = 36 < 40 < 49 = 7^2$, więc $6 < \sqrt{40} < 7$.

31.Przekątna prostokąta i przekątna prostopadłościanu

Z twierdzenia Pitagorasa przekątna prostokąta o bokach $a$ i $b$ ma długość $d = \sqrt{a^2 + b^2}$, a przekątna prostopadłościanu o krawędziach $a$, $b$, $c$ ma długość $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$. Np. dla krawędzi 2, 3 i 6: $d = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$.

32.Ułamek dziesiętny i rozwinięcie dziesiętne

Ułamki o mianownikach 10, 100, 1000, ... nazywamy ułamkami dziesiętnymi, np. $\frac{23}{100} = 0{,}23$. Zapis z przecinkiem to rozwinięcie dziesiętne (postać dziesiętna) liczby. Otrzymujemy je, dzieląc licznik przez mianownik albo rozszerzając ułamek do mianownika 10, 100, ..., np. $\frac{3}{8} = \frac{375}{1000} = 0{,}375$.

33.Rozwinięcie dziesiętne okresowe, okres i długość okresu

W rozwinięciu okresowym grupa cyfr powtarza się nieskończenie wiele razy. Najkrótszą powtarzającą się grupę cyfr nazywamy okresem i zapisujemy w nawiasie, a liczbę jej cyfr - długością okresu. Np. $\frac{2}{11} = 0{,}181818\ldots = 0{,}(18)$ ma okres długości 2, a $\frac{5}{6} = 0{,}8333\ldots = 0{,}8(3)$ - okres długości 1.

34.Jak ustalić cyfrę na danym miejscu po przecinku w rozwinięciu okresowym?

Gdy okres zaczyna się zaraz po przecinku, dzielimy numer miejsca z resztą przez długość okresu. Reszta wskazuje, która cyfra okresu stoi na tym miejscu (reszta 0 - ostatnia cyfra okresu). Np. w $\frac{2}{7} = 0{,}(285714)$ na 20. miejscu: $20 = 6 \cdot 3 + 2$, więc stoi tam druga cyfra okresu, czyli 8.

35.Jakie rozwinięcia dziesiętne mają liczby wymierne, a jakie niewymierne?

Każdą liczbę wymierną można zapisać w postaci dziesiętnej skończonej albo nieskończonej okresowej, a każde rozwinięcie okresowe przedstawia liczbę wymierną. Rozwinięcie nieskończone nieokresowe przedstawia liczbę niewymierną, np. $\sqrt{2} = 1{,}4142135\ldots$ albo $\pi = 3{,}14159\ldots$

36.Kiedy ułamek ma rozwinięcie dziesiętne skończone?

Ułamek nieskracalny $\frac{m}{n}$ ma rozwinięcie dziesiętne skończone wtedy i tylko wtedy, gdy mianownik $n$ jest iloczynem samych czynników równych 2 lub 5. Np. $\frac{7}{40} = 0{,}175$, bo $40 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5$, a $\frac{7}{30} = 0{,}2(3)$, bo w rozkładzie 30 jest czynnik 3. Ułamek trzeba najpierw skrócić.

37.Jak zamienić ułamek okresowy na ułamek zwykły?

Gdy okres zaczyna się zaraz po przecinku, oznaczamy liczbę przez $x$ i mnożymy obie strony tej równości przez 10, 100, 1000, ... tak, aby przecinek znalazł się za pierwszym wystąpieniem okresu. Część po przecinku to znowu $x$, więc otrzymujemy równanie i je rozwiązujemy. Np. $x = 0{,}(27)$, $100x = 27{,}(27) = 27 + x$, $99x = 27$, $x = \frac{27}{99} = \frac{3}{11}$.

38.Przybliżenie liczby z dokładnością do $d$; niedomiar i nadmiar

Liczba $x$ jest przybliżeniem liczby $a$ z dokładnością do $d$, gdy $a$ i $x$ różnią się o nie więcej niż $d$. Przybliżenie mniejsze od liczby to przybliżenie z niedomiarem, a większe - z nadmiarem. Np. $\sqrt{3} = 1{,}7320\ldots$, więc $1{,}73$ i $1{,}74$ to przybliżenia $\sqrt{3}$ z dokładnością do $0{,}01$: z niedomiarem i z nadmiarem.

39.Reguła zaokrąglania

Zaokrąglenie to przybliżenie zgodne z regułą zaokrąglania: odrzucamy końcowe cyfry liczby. Jeśli pierwsza odrzucona cyfra to 0, 1, 2, 3 lub 4, ostatnią zachowaną cyfrę zostawiamy bez zmian, a jeśli 5, 6, 7, 8 lub 9 - zwiększamy ją o 1. Np. $4{,}2735 \approx 4{,}27$ (do dwóch miejsc po przecinku) i $4{,}2735 \approx 4{,}274$ (do trzech).