Liczby i działania - powtórka działu

Zbiory liczb mieszczą się jeden w drugim. Każda liczba naturalna jest całkowita, a każda całkowita jest wymierna.

• Liczby naturalne służą do liczenia przedmiotów: $0, 1, 2$ i kolejne.
• Liczby całkowite to liczby naturalne i liczby do nich przeciwne, np. $-8$ i $8$.
• Liczby wymierne można zapisać jako ułamek $\frac{a}{b}$, gdzie $a$ i $b$ są całkowite i $b \neq 0$.

Liczbą wymierną jest więc także liczba całkowita, np. $-8 = \frac{-8}{1}$. Wymierny jest też ułamek dziesiętny, np. $-1{,}4 = -\frac{7}{5}$.

Zero jest liczbą naturalną. Nie jest ani dodatnie, ani ujemne.

Na osi liczbowej liczba leżąca bardziej na prawo jest większa. Z tej zasady wynikają reguły dla liczb ujemnych:

• każda liczba dodatnia jest większa od każdej ujemnej;
• z dwóch liczb ujemnych większa jest ta bliżej zera, np. $-4{,}02 > -4{,}2$.

Ułamki zwykłe porównujemy na dwa sposoby. Możemy sprowadzić je do wspólnego mianownika i porównać liczniki. Możemy też zamienić je na ułamki dziesiętne.

Gdy obie liczby zamienimy na przeciwne, znak nierówności się odwraca. Skoro $\frac{5}{6} > \frac{7}{9}$, to $-\frac{5}{6} < -\frac{7}{9}$.

Ułamek zwykły zamieniamy na dziesiętny, dzieląc licznik przez mianownik. Czasem szybciej jest rozszerzyć ułamek do mianownika $10$, $100$ lub $1000$, np. $\frac{11}{125} = \frac{88}{1000} = 0{,}088$.

Rozwinięcie bywa dwojakie:

• skończone, gdy mianownik ułamka nieskracalnego ma w rozkładzie tylko dwójki i piątki, np. $\frac{7}{40} = 0{,}175$, bo $40 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5$;
• nieskończone okresowe, gdy w mianowniku jest inny czynnik pierwszy, np. $\frac{7}{11} = 0{,}(63)$ albo $\frac{4}{15} = 0{,}2(6)$.

Cyfrę na dalekim miejscu znajdziemy z długości okresu. W $0{,}(358)$ okres ma $3$ cyfry. Na $11$. miejscu stoi $5$, bo $11 = 3 \cdot 3 + 2$.

Przy zaokrąglaniu decyduje pierwsza odrzucana cyfra. Gdy to $0$-$4$, poprzednią cyfrę zostawiamy. Gdy to $5$-$9$, zwiększamy ją o $1$. Na przykład $7{,}8352 \approx 7{,}84$ z dokładnością do części setnych.

Ceny zaokrąglamy do groszy, czyli do części setnych:

• $23{,}084$ zł $\approx 23{,}08$ zł, bo odrzucamy $4$;
• $9{,}995$ zł $\approx 10{,}00$ zł, bo odrzucamy $5$, a po dodaniu $1$ grosza zmienia się kilka cyfr.

Szacowanie to obliczenie wyniku w przybliżeniu. Zaokrąglamy liczby do wygodnych wartości i liczymy w pamięci.

Przykład: $29{,}8 \cdot 6{,}1 \approx 30 \cdot 6 = 180$. Dokładny wynik to $181{,}78$, więc jest sensowny.

Szacowanie pomaga wychwycić błąd, np. przecinek postawiony w złym miejscu.

Odległość dwóch liczb na osi obliczamy, odejmując od większej liczby mniejszą. Na przykład odległość między $-5$ i $2{,}5$ wynosi $2{,}5 - (-5) = 7{,}5$. Odległość nie bywa ujemna.

Wartość bezwzględna to odległość liczby od zera, np. $|-3{,}7| = 3{,}7$.

Liczby całkowite leżące między dwiema liczbami wypisujemy po kolei. Między $-5$ a $3$ jest ich siedem: od $-4$ do $2$, razem z zerem.

Zbiór liczb zaznaczamy na osi tak:

• znaki $>$ i $\geq$ - zaznaczamy w prawo, a $<$ i $\leq$ - w lewo;
• przy $\geq$ i $\leq$ kółko jest zamalowane, bo liczba graniczna należy do zbioru;
• przy $>$ i $<$ kółko jest puste.

Na rysunku zaznaczono zbiór liczb $x \leq -2$, czyli nie większych niż $-2$.

Działania wykonujemy w ustalonej kolejności. Mnożenie i dzielenie są równorzędne, więc liczymy je od lewej do prawej. Tak samo dodawanie i odejmowanie.

Znak iloczynu i ilorazu zależy od znaków liczb:

• te same znaki - wynik dodatni;
• różne znaki - wynik ujemny.

Przy kilku czynnikach liczymy po kolei, np. $(-5) \cdot (-2) : (-4) = 10 : (-4) = -2{,}5$.

• Dodawanie i odejmowanie: sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika i działamy na licznikach, np. $\frac{3}{4} - \frac{1}{6} = \frac{9}{12} - \frac{2}{12} = \frac{7}{12}$. Mianowników nie dodajemy.
• Mnożenie: licznik przez licznik, mianownik przez mianownik. Liczbę mieszaną najpierw zamieniamy na ułamek niewłaściwy, np. $2\frac{1}{3} \cdot \frac{6}{7} = \frac{7}{3} \cdot \frac{6}{7} = \frac{42}{21} = 2$.
• Dzielenie: mnożymy przez odwrotność dzielnika, np. $\frac{5}{6} : \frac{2}{3} = \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{2} = \frac{15}{12} = 1\frac{1}{4}$.

Liczby przeciwne i odwrotne łatwo pomylić:

Zero nie ma liczby odwrotnej.