Kwadrat i trójkąt równoboczny i ich połowy - Matematyka z kluczem 7

1.Na jakie trójkąty przekątna dzieli kwadrat?

Przekątna dzieli kwadrat na dwa jednakowe trójkąty prostokątne równoramienne. Boki kwadratu są ich przyprostokątnymi, a przekątna jest ich wspólną przeciwprostokątną.

2.Przekątna kwadratu

Przekątna kwadratu o boku $a$ ma długość $d = a\sqrt{2}$. Wynika to z twierdzenia Pitagorasa: $d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$, więc $d = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$. Np. kwadrat o boku 6 ma przekątną $6\sqrt{2}$ (rysunek).

3.Jak obliczyć bok kwadratu, gdy znamy jego przekątną?

Do wzoru $d = a\sqrt{2}$ podstawiamy przekątną i dzielimy obie strony przez $\sqrt{2}$: $a = \frac{d}{\sqrt{2}}$. Np. gdy $d = 11\sqrt{2}$, to $11\sqrt{2} = a\sqrt{2}$, więc $a = 11$.

4.Usuwanie niewymierności z mianownika

Gdy w mianowniku jest pierwiastek, rozszerzamy ułamek przez ten pierwiastek: $\frac{6}{\sqrt{2}} = \frac{6 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$. Np. kwadrat o przekątnej 6 ma bok $3\sqrt{2}$. Taki zapis pomaga zauważyć, że dwa różnie zapisane wyniki są równe.

5.Jak obliczyć przekątną kwadratu, gdy znamy jego obwód albo pole?

Najpierw obliczamy bok: z obwodu dzielimy go przez 4, a z pola wyciągamy pierwiastek: $a = \sqrt{P}$. Potem korzystamy ze wzoru $d = a\sqrt{2}$. Np. kwadrat o obwodzie 40 ma bok 10 i przekątną $10\sqrt{2}$, a kwadrat o polu 144 ma bok 12 i przekątną $12\sqrt{2}$.

6.Jak obliczyć pole kwadratu, gdy znamy jego przekątną?

Obliczamy bok $a = \frac{d}{\sqrt{2}}$, a potem pole $P = a^2 = \frac{d^2}{2}$. Kwadrat jest też rombem, więc to samo daje wzór na pole rombu: $P = \frac{d \cdot d}{2}$. Np. dla przekątnej 12: $P = \frac{144}{2} = 72$.

7.Trójkąt o kątach $90^\circ$, $45^\circ$, $45^\circ$

To połowa kwadratu, czyli trójkąt prostokątny równoramienny. Gdy jego przyprostokątne mają długość $a$, przeciwprostokątna ma długość $a\sqrt{2}$. Jego boki mają więc długości $a$, $a$, $a\sqrt{2}$ (rysunek).

8.Jak obliczyć obwód trójkąta prostokątnego równoramiennego?

Przyprostokątne mają długość $a$, a przeciwprostokątna $a\sqrt{2}$, więc obwód to $2a + a\sqrt{2}$. Np. dla przyprostokątnej 3 obwód wynosi $6 + 3\sqrt{2}$. Liczby 6 nie dodajemy do $3\sqrt{2}$.

9.Co, gdy dane są zapisane wyrażeniami algebraicznymi?

Wtedy odpowiedź też zapisujemy wyrażeniem z tą samą zmienną. Np. kwadrat o boku $2z$ ma przekątną $2z \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2}\,z$ - taki zapis jest gotową odpowiedzią.

10.Na jakie trójkąty wysokość dzieli trójkąt równoboczny?

Wysokość trójkąta równobocznego dzieli go na dwa identyczne trójkąty prostokątne o kątach $30^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$. Wysokość jest ich wspólną przyprostokątną i dzieli podstawę na dwie równe części.

11.Wysokość trójkąta równobocznego

Wysokość trójkąta równobocznego o boku $a$ jest równa $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Wynika to z twierdzenia Pitagorasa: $\left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2 = a^2$, więc $h^2 = \frac{3a^2}{4}$. Np. dla $a = 14$: $h = \frac{14\sqrt{3}}{2} = 7\sqrt{3}$ (rysunek).

12.Pole trójkąta równobocznego

Pole trójkąta równobocznego o boku $a$ jest równe $P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Wzór powstaje z $P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$ po podstawieniu $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Np. dla $a = 12$: $P = \frac{144\sqrt{3}}{4} = 36\sqrt{3}$.

13.Jak obliczyć bok trójkąta równobocznego, gdy znamy jego wysokość?

Podstawiamy wysokość do wzoru $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$, mnożymy obie strony przez 2 i dzielimy przez $\sqrt{3}$. Np. dla $h = 5\sqrt{3}$: $a\sqrt{3} = 10\sqrt{3}$, więc $a = 10$.

14.Trójkąt o kątach $30^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$

To połowa trójkąta równobocznego. Gdy przeciwprostokątna ma długość $a$, bok leżący naprzeciw kąta $30^\circ$ ma długość $\frac{1}{2}a$, a bok leżący naprzeciw kąta $60^\circ$ ma długość $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ (rysunek).

15.Jak obliczyć przyprostokątne trójkąta o kątach $30^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$, gdy znamy przeciwprostokątną?

Krótsza przyprostokątna, leżąca naprzeciw kąta $30^\circ$, jest połową przeciwprostokątnej. Dłuższa przyprostokątna jest $\sqrt{3}$ razy dłuższa od krótszej. Np. dla przeciwprostokątnej 10: krótsza przyprostokątna ma 5, a dłuższa $5\sqrt{3}$.

16.Jak obliczyć pozostałe boki trójkąta o kątach $30^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$, gdy znamy krótszą przyprostokątną?

Przeciwprostokątna jest dwa razy dłuższa od krótszej przyprostokątnej, a dłuższa przyprostokątna to krótsza pomnożona przez $\sqrt{3}$. Np. dla krótszej przyprostokątnej 11: przeciwprostokątna ma 22, a dłuższa przyprostokątna $11\sqrt{3}$.

17.Jak obliczyć pozostałe boki trójkąta o kątach $30^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$, gdy znamy dłuższą przyprostokątną?

Dłuższa przyprostokątna ma długość $\frac{a\sqrt{3}}{2}$, gdzie $a$ to przeciwprostokątna. Np. gdy ma ona $6\sqrt{3}$: $\frac{a\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$, więc $a\sqrt{3} = 12\sqrt{3}$ i $a = 12$, a krótsza przyprostokątna ma 6 (rysunek).

18.Który bok trójkąta leży naprzeciw którego kąta?

W dowolnym trójkącie najdłuższy bok leży naprzeciw największego kąta, a najkrótszy bok - naprzeciw najmniejszego kąta. W trójkącie o kątach $30^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$ najkrótszy bok leży naprzeciw kąta $30^\circ$, a najdłuższy - naprzeciw kąta prostego.

19.Jak obliczyć pole rombu o kącie ostrym $60^\circ$?

Wysokość rombu odcina trójkąt o kątach $30^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$, w którym bok rombu $a$ jest przeciwprostokątną. Wysokość leży naprzeciw kąta $60^\circ$, więc $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Np. dla $a = 8$: $h = 4\sqrt{3}$ i $P = a \cdot h = 32\sqrt{3}$ (rysunek).

20.Jak obliczyć wysokość trapezu równoramiennego o kącie ostrym $45^\circ$?

Wysokość odcina trójkąt o kątach $90^\circ$, $45^\circ$, $45^\circ$, więc jest równa odcinkowi $x = \frac{a - b}{2}$, gdzie $a$ to dłuższa, a $b$ - krótsza podstawa. Ramię ma długość $x\sqrt{2}$. Np. dla podstaw 11 i 5: $x = 3$, $h = 3$, ramię ma $3\sqrt{2}$, a pole $\frac{(11 + 5) \cdot 3}{2} = 24$ (rysunek).

21.Co zrobić, gdy zapomnisz wzorów na połowę kwadratu i połowę trójkąta równobocznego?

Wzory można wyprowadzić samodzielnie z twierdzenia Pitagorasa albo rozwiązać zadanie bez wzorów, stosując twierdzenie Pitagorasa bezpośrednio. Np. wysokość trójkąta równobocznego o boku 2: $h^2 = 2^2 - 1^2 = 3$, więc $h = \sqrt{3}$.