Twierdzenie Pitagorasa - Matematyka z kluczem 7

1.Przyprostokątne i przeciwprostokątna

W trójkącie prostokątnym przyprostokątne to dwa boki, które tworzą kąt prosty. Przeciwprostokątna to bok leżący naprzeciw kąta prostego - jest najdłuższym bokiem tego trójkąta. Na rysunku przyprostokątne to $a$ i $b$, a przeciwprostokątna to $c$.

2.Co w matematyce oznacza słowo „twierdzenie”?

Twierdzenie to zdanie, które można uzasadnić. Np. zdanie „przekątne prostokąta mają równe długości” jest twierdzeniem.

3.Twierdzenie Pitagorasa

W trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej: $a^2 + b^2 = c^2$, gdzie $a$ i $b$ to przyprostokątne, a $c$ to przeciwprostokątna. Twierdzenie dotyczy tylko trójkątów prostokątnych.

4.Twierdzenie Pitagorasa zapisane za pomocą pól kwadratów

Kwadrat długości odcinka to pole kwadratu o boku tej długości. Dlatego suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych jest równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej: $P_1 + P_2 = P_3$. Np. dla przyprostokątnych 4 i 6 mamy $16 + 36 = 52$ (rysunek).

5.Jak obliczyć przeciwprostokątną?

Podstawiamy długości przyprostokątnych do wzoru $c^2 = a^2 + b^2$, dodajemy kwadraty i wyciągamy pierwiastek z wyniku. Np. dla przyprostokątnych 20 i 48: $c^2 = 400 + 2304 = 2704$, więc $c = \sqrt{2704} = 52$.

6.Dlaczego z równania $c^2 = 49$ wynika tylko $c = 7$?

Równanie $c^2 = 49$ ma dwa rozwiązania: $c = 7$ i $c = -7$. Długość boku trójkąta jest jednak liczbą dodatnią, więc bok ma długość 7.

7.Jak obliczyć przyprostokątną?

Od kwadratu przeciwprostokątnej odejmujemy kwadrat znanej przyprostokątnej i wyciągamy pierwiastek: $a^2 = c^2 - b^2$. Np. gdy przeciwprostokątna ma 6, a przyprostokątna 4: $x^2 = 36 - 16 = 20$, więc $x = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ (rysunek).

8.Kiedy w twierdzeniu Pitagorasa dodajemy kwadraty, a kiedy je odejmujemy?

Najpierw sprawdzamy, który bok obliczamy. Gdy szukamy przeciwprostokątnej, czyli najdłuższego boku, dodajemy kwadraty przyprostokątnych. Gdy szukamy jednej z przyprostokątnych, czyli krótszego boku, od kwadratu przeciwprostokątnej odejmujemy kwadrat drugiej przyprostokątnej.

9.Jak obliczyć obwód trójkąta prostokątnego o danych przyprostokątnych?

Najpierw z twierdzenia Pitagorasa obliczamy przeciwprostokątną, a potem dodajemy długości trzech boków. Np. dla przyprostokątnych 2 i 8: $c^2 = 4 + 64 = 68$, $c = \sqrt{4 \cdot 17} = 2\sqrt{17}$, a obwód to $2 + 8 + 2\sqrt{17} = 10 + 2\sqrt{17}$. Liczby 10 nie dodajemy do $2\sqrt{17}$.

10.Jak zapisać twierdzenie Pitagorasa, gdy boki mają inne oznaczenia?

Zawsze zapisujemy, że suma kwadratów przyprostokątnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej, a każde wyrażenie podnosimy do kwadratu w całości. Np. dla przyprostokątnych $p$ i $2r$ oraz przeciwprostokątnej $s$: $p^2 + (2r)^2 = s^2$, czyli $p^2 + 4r^2 = s^2$.

11.Jak podnieść do kwadratu bok zapisany z pierwiastkiem?

Korzystamy z równości $(\sqrt{a})^2 = a$ i podnosimy do kwadratu każdy czynnik: $(3\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$. Np. przyprostokątne $3\sqrt{2}$ i $\sqrt{7}$ dają $c^2 = 18 + 7 = 25$, więc przeciwprostokątna ma długość 5.

12.Odległość punktu od prostej

Odległość punktu $P$ od prostej $l$ to długość najkrótszego odcinka łączącego punkt $P$ z tą prostą. Jest to odcinek prostopadły do prostej $l$.

13.Jak obliczyć odległość punktu $P$ od punktu $A$ leżącego na prostej?

Prowadzimy odcinek $PC$ prostopadły do prostej. Odcinki $PC$ i $CA$ są przyprostokątnymi, a $PA$ - przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego. Np. gdy $PC = 5$ i $CA = 2$, to $PA^2 = 25 + 4 = 29$, czyli $PA = \sqrt{29}$ (rysunek).

14.Jak obliczyć długość odcinka narysowanego na kratce?

Dorysowujemy trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne biegną wzdłuż linii kratki, a przeciwprostokątną jest ten odcinek. Liczymy kratki i stosujemy twierdzenie Pitagorasa. Np. gdy od $A$ do $B$ jest 5 kratek w prawo i 3 w górę, to $AB^2 = 25 + 9 = 34$, $AB = \sqrt{34}$ (rysunek).

15.Jak obliczyć przekątną prostokąta?

Przekątna dzieli prostokąt na dwa trójkąty prostokątne. Boki prostokąta są w nich przyprostokątnymi, a przekątna - przeciwprostokątną: $d^2 = a^2 + b^2$. Np. dla prostokąta o bokach $91~\mathrm{cm}$ i $60~\mathrm{cm}$: $d^2 = 8281 + 3600 = 11881$, $d = 109~\mathrm{cm}$ (rysunek).

16.Rozmiar telewizora lub monitora

Rozmiar telewizora lub monitora to długość przekątnej jego ekranu, zwykle podana w calach ($1$ cal $= 2{,}54~\mathrm{cm}$). Szerokość, wysokość i przekątna ekranu tworzą trójkąt prostokątny, więc brakujący wymiar obliczamy z twierdzenia Pitagorasa.

17.Jak w zadaniu z drabiną zauważyć trójkąt prostokątny?

Ściana jest prostopadła do ziemi, więc drabina, ściana i ziemia tworzą trójkąt prostokątny, a drabina jest w nim przeciwprostokątną. Np. drabina o długości $3{,}4~\mathrm{m}$ odsunięta od ściany o $1{,}6~\mathrm{m}$ sięga na wysokość $h$: $h^2 = 11{,}56 - 2{,}56 = 9$, $h = 3~\mathrm{m}$.

18.Jak obliczyć wysokość trójkąta równoramiennego opuszczoną na podstawę?

Ta wysokość dzieli podstawę na połowy i tworzy dwa trójkąty prostokątne, w których ramię $b$ jest przeciwprostokątną: $h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = b^2$. Np. dla podstawy $12~\mathrm{cm}$ i ramienia $9~\mathrm{cm}$: $h^2 = 81 - 36 = 45$, $h = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}~\mathrm{cm}$, a pole to $\frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 3\sqrt{5} = 18\sqrt{5}~\mathrm{cm^2}$ (rysunek).

19.Gdzie szukać trójkąta prostokątnego w zadaniach?

Twierdzenie Pitagorasa stosujemy też wtedy, gdy w zadaniu nie ma mowy o trójkącie prostokątnym - trzeba go zauważyć. Tworzą go m.in.: wysokość trójkąta lub trapezu, przekątna prostokąta z jego bokami, połowy przekątnych rombu z jego bokiem, odcinek prostopadły do prostej.

20.Jak obliczyć bok rombu, gdy znamy jego przekątne?

Przekątne rombu są prostopadłe i dzielą się na połowy. Połowy przekątnych są przyprostokątnymi, a bok rombu - przeciwprostokątną. Np. dla przekątnych $56~\mathrm{cm}$ i $90~\mathrm{cm}$: $a^2 = 28^2 + 45^2 = 784 + 2025 = 2809$, $a = 53~\mathrm{cm}$ (rysunek).

21.Jak obliczyć wysokość rombu, gdy znamy jego przekątne?

Obliczamy bok rombu z twierdzenia Pitagorasa i pole ze wzoru $P = \frac{e \cdot f}{2}$. Wysokość wyznaczamy z drugiego wzoru na pole rombu: $P = a \cdot h$, czyli $h = P : a$. Np. dla przekątnych 22 cm i 120 cm: $a^2 = 11^2 + 60^2 = 3721$, $a = 61~\mathrm{cm}$, $P = 1320~\mathrm{cm^2}$, $h = 1320 : 61 \approx 21{,}6~\mathrm{cm}$.

22.Jak obliczyć wysokość trapezu równoramiennego?

Wysokości opuszczone z końców krótszej podstawy $b$ odcinają z dłuższej podstawy $a$ dwa równe odcinki $x = \frac{a - b}{2}$. Ramię jest przeciwprostokątną trójkąta o przyprostokątnych $x$ i $h$. Np. dla podstaw 22 i 6 oraz ramienia 10: $x = 8$, $h^2 = 100 - 64 = 36$, $h = 6$ (rysunek).

23.Jak obliczyć przekątną trapezu równoramiennego?

W trapezie $ABCD$ wysokość $DE$ opuszczamy na dłuższą podstawę $AB$. Przekątna $DB$ jest przeciwprostokątną trójkąta $DEB$, w którym $EB = DC + x$. Liczymy kolejno: $x$, $h$, $EB$ i przekątną. Np. dla podstaw 22 i 6 oraz ramienia 10: $x = 8$, $h = 6$, $EB = 14$, $d^2 = 196 + 36 = 232$, $d = 2\sqrt{58}$ (rysunek).

24.Jak obliczyć wysokość trapezu prostokątnego?

W trapezie prostokątnym krótsze ramię jest wysokością. Wysokość opuszczona z końca krótszej podstawy tworzy z dłuższym ramieniem trójkąt prostokątny, w którym druga przyprostokątna jest równa różnicy podstaw. Np. dla podstaw 12 i 7 oraz dłuższego ramienia 7: $h^2 = 7^2 - 5^2 = 24$, $h = 2\sqrt{6}$.

25.Jak podać przybliżony wynik w zadaniu praktycznym?

Dokładny wynik z pierwiastkiem zamieniamy na ułamek dziesiętny z kalkulatora i zaokrąglamy z rozsądną dokładnością, np. do 1 mm, bo dokładniej i tak nie zmierzymy. Np. przekątna obrazka o wymiarach 15 cm i 35 cm: $d = \sqrt{225 + 1225} = \sqrt{1450} = 5\sqrt{58} \approx 38{,}1~\mathrm{cm}$.

26.Kiedy kierunki ruchu tworzą trójkąt prostokątny?

Kierunki północ-południe i wschód-zachód są prostopadłe. Gdy ktoś idzie najpierw na wschód, a potem na północ, przebyte odcinki są przyprostokątnymi, a odległość od startu w linii prostej - przeciwprostokątną. Np. $2~\mathrm{km}$ na wschód i $1{,}5~\mathrm{km}$ na północ: $d^2 = 4 + 2{,}25 = 6{,}25$, $d = 2{,}5~\mathrm{km}$.