Układ współrzędnych - Matematyka z kluczem 7

1.Punkt kratowy

Punkt kratowy to punkt leżący na skrzyżowaniu linii kratki. Wielokąt o wierzchołkach w punktach kratowych łatwo dokładnie przerysować na papier w kratkę - wystarczy liczyć kratki.

2.Jak przerysować wielokąt narysowany na kratce?

Zaczynamy od jednego wierzchołka i liczymy, o ile kratek w prawo lub w lewo oraz w górę lub w dół trzeba się przesunąć do następnego wierzchołka. Na swojej kartce powtarzamy te same przesunięcia, wierzchołek po wierzchołku, np. z A do B: 4 kratki w prawo i 1 w górę.

3.Odcinki równoległe i prostopadłe wzdłuż linii kratki

Kratka zastępuje ekierkę: odcinki poziome są do siebie równoległe, pionowe też, a każdy poziomy jest prostopadły do każdego pionowego. Tak samo rysujemy wzdłuż przekątnych kratek: przekątne biegnące w prawo w górę są prostopadłe do przekątnych biegnących w prawo w dół.

4.Jak narysować na kratce odcinek CD równy odcinkowi AB i równoległy do niego?

Odczytujemy, jak przesunąć się z A do B, np. o 4 kratki w prawo i 1 w górę. Z punktu C przesuwamy się tak samo i otrzymujemy D (rysunek). Drugie rozwiązanie dają przesunięcia w przeciwne strony: z C o 4 kratki w lewo i 1 w dół.

5.Co się dzieje z bokami trójkąta prostokątnego obróconego o 90°?

Po obrocie o 90° każdy bok trójkąta jest prostopadły do swojego obrazu: krótsza przyprostokątna do krótszej, dłuższa do dłuższej, a przeciwprostokątna do przeciwprostokątnej. Długości boków się nie zmieniają. Z tego korzystamy, rysując na kratce odcinki prostopadłe.

6.Jak narysować na kratce odcinek CD równy odcinkowi AB i prostopadły do niego?

Traktujemy AB jak przeciwprostokątną trójkąta o bokach na liniach kratki, obracamy go o 90° i przesuwamy do C. W praktyce zamieniamy liczby kratek miejscami i odwracamy jeden kierunek: gdy z A do B jest 3 w prawo i 1 w górę, to z C do D jest 1 w lewo i 3 w górę (rysunek) albo 1 w prawo i 3 w dół.

7.Jak narysować na kratce kwadrat ABCD, gdy znamy jego bok AB?

Boki kwadratu są równe i prostopadłe. Z punktu B rysujemy odcinek BC równy AB i prostopadły do niego, a z A - odcinek AD przesunięty tak samo jak BC. Np. gdy z A do B jest 3 kratki w prawo i 1 w górę, to z B do C i z A do D jest 1 kratka w lewo i 3 w górę. Drugi kwadrat leży po drugiej stronie AB.

8.Jak znaleźć na kratce czwarty wierzchołek równoległoboku ABCD, gdy znamy A, B i D?

Przeciwległe boki równoległoboku są równe i równoległe, więc DC jest równy AB i do niego równoległy. Z punktu D przesuwamy się tak samo jak z A do B i otrzymujemy C. Np. z A do B jest 5 kratek w prawo i 1 w górę, więc z D do C też (rysunek).

9.Ile równoległoboków wyznaczają trzy punkty, gdy nie wiemy, które z nich są sąsiednimi wierzchołkami?

Trzy punkty, które nie leżą na jednej prostej, są wierzchołkami trzech różnych równoległoboków. Każdy z trzech odcinków łączących te punkty może być przekątną, a dwa pozostałe - bokami. W każdym przypadku czwarty wierzchołek znajdujemy przesunięciem, jak przy odcinkach równych i równoległych.

10.Układ współrzędnych

Układ współrzędnych tworzą dwie prostopadłe osie liczbowe: pozioma oś $x$ i pionowa oś $y$. Ich wspólny punkt $O$ to początek układu współrzędnych. Na każdej osi wybieramy jednostkę. Taki układ nazywamy prostokątnym albo kartezjańskim.

11.Współrzędne punktu

Każdemu punktowi płaszczyzny odpowiada para liczb - jego współrzędne. Pierwszą odczytujemy z osi $x$, drugą z osi $y$. Zapis $A = (4, 1)$ czytamy: punkt A o współrzędnych cztery, jeden.

12.Jak odczytać współrzędne punktu zaznaczonego w układzie?

Przez punkt prowadzimy (albo wyobrażamy sobie) prostą prostopadłą do osi $x$ - jej punkt przecięcia z osią $x$ to pierwsza współrzędna. Potem prostą prostopadłą do osi $y$ - jej punkt przecięcia z osią $y$ to druga współrzędna. Np. punkt 4 jednostki na lewo od osi $y$ i 1 nad osią $x$ to $(-4, 1)$.

13.Jak zaznaczyć w układzie punkt o danych współrzędnych?

Na osi $x$ znajdujemy pierwszą współrzędną i prowadzimy przez nią prostą prostopadłą do osi $x$. Na osi $y$ znajdujemy drugą współrzędną i prowadzimy prostą prostopadłą do osi $y$. Szukany punkt to punkt przecięcia tych prostych. Np. $(3, -2)$ leży 3 jednostki w prawo od osi $y$ i 2 pod osią $x$.

14.Czy kolejność współrzędnych punktu ma znaczenie?

Tak. Najpierw piszemy współrzędną $x$ (poziom), potem współrzędną $y$ (pion). Punkty $A = (2, 5)$ i $B = (5, 2)$ to dwa różne punkty (rysunek).

15.Punkty leżące na osiach układu współrzędnych

Każdy punkt leżący na osi $x$ ma drugą współrzędną równą 0, np. $(-4, 0)$. Każdy punkt leżący na osi $y$ ma pierwszą współrzędną równą 0, np. $(0, 3)$. Początek układu $O$ ma współrzędne $(0, 0)$.

16.Gdzie leżą punkty o tej samej pierwszej albo tej samej drugiej współrzędnej?

Punkty o tej samej pierwszej współrzędnej, np. $(-2, 5)$, $(-2, 0)$, $(-2, -3)$, leżą na jednej prostej prostopadłej do osi $x$ (pionowej). Punkty o tej samej drugiej współrzędnej leżą na jednej prostej prostopadłej do osi $y$ (poziomej).

17.Znaki współrzędnych a położenie punktu

Osie dzielą płaszczyznę na cztery części (ćwiartki). Punkt na prawo od osi $y$ ma pierwszą współrzędną dodatnią, a na lewo - ujemną. Punkt nad osią $x$ ma drugą współrzędną dodatnią, a pod nią - ujemną. Np. $(-3, -1)$ leży na lewo od osi $y$ i pod osią $x$.

18.Jak zaznaczyć punkt o współrzędnych ułamkowych?

Dobieramy jednostkę na osiach tak, aby łatwo odmierzyć ułamki: liczba kratek w jednostce ma się dzielić przez mianowniki. Np. dla punktu $(\frac{3}{4}, -1\frac{1}{3})$ wygodna jest jednostka 12 kratek: $\frac{3}{4}$ to 9 kratek w prawo, a $-1\frac{1}{3}$ to 16 kratek w dół.

19.Jak zmieniają się współrzędne punktu przy przesunięciu?

Przesunięcie o $a$ jednostek w prawo dodaje $a$ do pierwszej współrzędnej, a w lewo - odejmuje. Przesunięcie w górę dodaje do drugiej współrzędnej, a w dół - odejmuje. Np. z $(2, -1)$ po przesunięciu o 5 w lewo i 3 w górę dochodzimy do $(-3, 2)$.

20.Jak znaleźć czwarty wierzchołek prostokąta o bokach równoległych do osi?

Boki takiego prostokąta są poziome i pionowe. Gdy $A = (-2, -1)$, $B = (4, -1)$ i $C = (4, 3)$, to $D$ leży nad $A$ (ma tę samą pierwszą współrzędną co $A$) i na wysokości $C$ (ma tę samą drugą współrzędną co $C$): $D = (-2, 3)$.

21.W jakich jednostkach podajemy długość odcinka w układzie współrzędnych?

Długość odcinka w układzie współrzędnych podajemy w jednostkach zaznaczonych na osiach, a nie w centymetrach ani w kratkach. Odcinek od $(-1, 0)$ do $(3, 0)$ ma długość 4 bez względu na to, czy jednostka to 1 kratka, czy 2 kratki.

22.Jak obliczyć długość odcinka równoległego do osi układu?

Dla odcinka poziomego odejmujemy pierwsze współrzędne końców, a dla pionowego - drugie. Od większej współrzędnej odejmujemy mniejszą. Np. dla $A = (-4, 1)$, $B = (3, 1)$ jest $AB = 3 - (-4) = 7$, a dla $C = (5, -3)$, $D = (5, 3)$ jest $CD = 3 - (-3) = 6$ (rysunek).

23.Jak obliczyć długość odcinka, który nie jest równoległy do osi?

Dorysowujemy punkt $C$ tak, aby $AC$ i $BC$ były równoległe do osi. Trójkąt $ACB$ jest wtedy prostokątny, a $AB$ to jego przeciwprostokątna, więc stosujemy twierdzenie Pitagorasa. Np. $A = (1, 1)$, $B = (4, 3)$, $C = (4, 1)$: $AC = 3$, $BC = 2$, $AB = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{13}$ (rysunek).

24.Jak obliczyć odległość między punktami o dużych współrzędnych?

Nie trzeba dokładnego rysunku - wystarczy szkic położenia punktów. Przyprostokątne to różnice współrzędnych (od większej odejmujemy mniejszą). Np. $A = (-20, 15)$, $B = (40, -65)$: $40 - (-20) = 60$ i $15 - (-65) = 80$, więc $AB = \sqrt{60^2 + 80^2} = \sqrt{10000} = 100$.

25.Jednostka pola w układzie współrzędnych

Jednostką pola jest pole kwadratu o boku długości 1 jednostki osi, np. kwadratu o wierzchołkach $(0, 0)$, $(1, 0)$, $(1, 1)$, $(0, 1)$. Pole figury w układzie podajemy w takich jednostkach.

26.Jak obliczyć pole trójkąta, którego bok leży na linii kratki?

Długość tego boku obliczamy z różnicy współrzędnych, a wysokość opuszczona na ten bok też biegnie po linii kratki. Pole to $\frac{1}{2} \cdot a \cdot h$. Np. $A = (1, 1)$, $B = (7, 1)$, $C = (3, 5)$: $AB = 6$, $h = 5 - 1 = 4$, więc $P = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12$.

27.Jak obliczyć pole trójkąta metodą uzupełniania do prostokąta?

Rysujemy prostokąt o bokach na liniach kratki, w którym leży trójkąt. Od pola prostokąta odejmujemy pola trójkątów prostokątnych wokół trójkąta. Np. $A = (1, 1)$, $B = (6, 2)$, $C = (3, 5)$: prostokąt ma pole $5 \cdot 4 = 20$, trójkąty $2{,}5$, $4{,}5$ i $4$, więc $P = 20 - 2{,}5 - 4{,}5 - 4 = 9$ (rysunek).

28.Jak obliczyć pole wielokąta przez podział na części?

Dzielimy wielokąt na części, których pola łatwo obliczyć (prostokąty, trójkąty), tak aby ich wierzchołki leżały w punktach kratowych, i dodajemy ich pola. Np. trapez $(0, 0)$, $(6, 0)$, $(4, 3)$, $(1, 3)$ dzielimy na trójkąt, prostokąt i trójkąt: $\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 3 + 3 \cdot 3 + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 = 1{,}5 + 9 + 3 = 13{,}5$.

29.Jak obliczyć obwód wielokąta w układzie współrzędnych?

Obliczamy długość każdego boku - poziome i pionowe z różnicy współrzędnych, ukośne z twierdzenia Pitagorasa - i dodajemy. Np. trójkąt $(0, 0)$, $(4, 0)$, $(4, 3)$ ma boki 4, 3 i $\sqrt{4^2 + 3^2} = 5$, więc jego obwód to $4 + 3 + 5 = 12$.

30.Jak znaleźć inne punkty kratowe leżące na prostej AB?

Odczytujemy przesunięcie z A do B i powtarzamy je od B, być może kilka razy, a przesunięcie w przeciwne strony - od A. Np. $A = (-1, 4)$, $B = (2, 2)$: z A do B jest 3 w prawo i 2 w dół, więc na prostej leżą też $D = (5, 0)$, $E = (8, -2)$ i $F = (-4, 6)$ (rysunek).

31.Jak znaleźć w układzie współrzędnych koniec D odcinka CD równego i równoległego do AB?

Do współrzędnych C dodajemy takie same zmiany jak przy przejściu z A do B albo zmiany przeciwne - są dwa rozwiązania. Np. $A = (-2, 1)$, $B = (1, 3)$: 3 w prawo i 2 w górę. Dla $C = (2, -1)$ jest $D_1 = (5, 1)$ albo $D_2 = (-1, -3)$. Polecenie „znajdź punkt” oznacza „podaj współrzędne punktu”.

32.Jak znaleźć w układzie współrzędnych koniec D odcinka CD równego i prostopadłego do AB?

Z przesunięcia z A do B robimy przesunięcie prostopadłe: zamieniamy liczby jednostek miejscami i odwracamy jeden kierunek. Np. $A = (1, 1)$, $B = (5, 2)$: 4 w prawo i 1 w górę, więc z C idziemy 1 w prawo i 4 w dół albo 1 w lewo i 4 w górę. Dla $C = (-1, 2)$ jest $D_1 = (0, -2)$ albo $D_2 = (-2, 6)$.

33.Środek odcinka w układzie współrzędnych

Współrzędne środka odcinka to średnie arytmetyczne odpowiednich współrzędnych jego końców. Np. dla $A = (-3, 2)$ i $B = (5, 6)$: $S = (\frac{-3 + 5}{2}, \frac{2 + 6}{2}) = (1, 4)$. Do środka dojdziemy też, idąc z A połowę drogi do B: 4 w prawo i 2 w górę (rysunek).

34.Czy środek odcinka o końcach w punktach kratowych zawsze jest punktem kratowym?

Nie. Średnia arytmetyczna dwóch liczb całkowitych nie zawsze jest liczbą całkowitą, więc środek może mieć współrzędne ułamkowe. Np. środek odcinka o końcach $(1, 2)$ i $(4, 7)$ to $(\frac{1 + 4}{2}, \frac{2 + 7}{2}) = (2{,}5; 4{,}5)$.

35.Jak znaleźć drugi koniec odcinka, gdy znamy jeden koniec i środek?

Od środka przesuwamy się jeszcze raz tak samo jak z danego końca do środka. Np. $A = (1, -2)$, $S = (3, 1)$: z A do S jest 2 w prawo i 3 w górę, więc $B = (3 + 2, 1 + 3) = (5, 4)$. Sprawdzenie: $\frac{1 + 5}{2} = 3$ i $\frac{-2 + 4}{2} = 1$ (rysunek).

36.Jak znaleźć współrzędne czwartego wierzchołka równoległoboku ABCD?

Bok AD jest równy i równoległy do BC, więc z A przesuwamy się tak samo jak z B do C. Np. $A = (-2, -1)$, $B = (3, 0)$, $C = (4, 3)$: z B do C jest 1 w prawo i 3 w górę, więc $D = (-1, 2)$. Sprawdzenie: przekątne równoległoboku dzielą się na połowy, a środki AC i BD to ten sam punkt $(1, 1)$.