Zadania tekstowe i przekształcanie wzorów - Matematyka z kluczem 7

1.Schemat rozwiązywania zadań tekstowych

Zapisujemy, co jest niewiadomą, wyrażenia potrzebne do ułożenia równania i samo równanie. Potem rozwiązujemy równanie, sprawdzamy odpowiedź z treścią zadania i zapisujemy odpowiedź (rysunek).

2.Dlaczego odpowiedź sprawdzamy z treścią zadania, a nie z równaniem?

Bo równanie mogło zostać źle ułożone. Podstawienie wyniku do równania wykrywa tylko błędy w rachunkach, a sprawdzenie z treścią - także błędy w ułożeniu równania. Dobre rozwiązanie złego równania przejdzie sprawdzenie z równaniem, ale nie z treścią.

3.Jak wybrać niewiadomą w zadaniu tekstowym?

Często oznaczamy literą wielkość, o którą pyta zadanie. Gdy jednak pozostałe informacje odnoszą się do innej wielkości, wygodniej jest przyjąć za niewiadomą właśnie ją. Np. gdy brat jest o 3 lata starszy od Oli, a mama 4 razy starsza od Oli, za $x$ przyjmujemy wiek Oli, nawet gdy pytanie dotyczy brata.

4.Jak ułożyć równanie do zadania o sumie kilku wielkości?

Każdą wielkość zapisujemy za pomocą jednej niewiadomej i przyrównujemy sumę do podanej liczby. Np. bilet, napój i popcorn kosztowały 46 zł, bilet był 2 razy droższy od popcornu, a napój o 6 zł tańszy od popcornu: $x + 2x + (x - 6) = 46$, $4x = 52$, $x = 13$. Popcorn kosztował 13 zł, bilet 26 zł, a napój 7 zł.

5.Jak rozwiązywać zadania o wieku osób?

Wiek osób zapisujemy w tabeli: dawniej, dziś i w przyszłości. Za $n$ lat każda osoba będzie starsza o $n$ lat, a $n$ lat temu była młodsza o $n$ lat. Np. syn ma $x$ lat, a ojciec $3x$; za 12 lat będą mieli $x + 12$ i $3x + 12$. Gdy ojciec będzie wtedy 2 razy starszy: $3x + 12 = 2(x + 12)$, stąd $x = 12$.

6.Co wiemy o różnicy wieku dwóch osób?

Różnica wieku dwóch osób się nie zmienia, bo co roku obie są starsze o rok. Gdy mama jest dziś o 26 lat starsza od córki, to 5 lat temu też była o 26 lat starsza i za 10 lat też będzie. Zmienia się natomiast to, ile razy jedna osoba jest starsza od drugiej.

7.Jak ułożyć równanie w zadaniu o monetach dwóch rodzajów?

Liczbę monet jednego rodzaju oznaczamy $x$, a drugiego zapisujemy jako liczbę wszystkich monet minus $x$. Wartość monet to nominał razy liczba monet. Np. 14 monet po 1 zł i 2 zł ma wartość 20 zł: $x$ - liczba dwuzłotówek, $2x + 1 \cdot (14 - x) = 20$, stąd $x = 6$, a złotówek jest 8.

8.Liczba monet a wartość monet

Liczba monet i ich wartość to różne wielkości. Gdy $x$ to liczba monet 5 zł, to ich wartość wynosi $5x$ zł. Np. $x$ monet 5 zł i $10 - x$ monet 2 zł to razem 10 monet o wartości $5x + 2(10 - x)$ zł.

9.Jak ułożyć równanie do zadania o kątach trójkąta?

Robimy rysunek pomocniczy, oznaczamy kąty za pomocą niewiadomej i korzystamy z tego, że suma kątów trójkąta wynosi $180^\circ$. Np. gdy kąty mają miary $x$, $2x$ i $3x$: $6x = 180^\circ$, $x = 30^\circ$, czyli kąty mają $30^\circ$, $60^\circ$ i $90^\circ$ (rysunek).

10.Kąty trójkąta równoramiennego w zadaniach

W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są równe, więc oznaczamy je tą samą literą. Np. gdy kąt między ramionami jest 4 razy większy od kąta przy podstawie: $\alpha + \alpha + 4\alpha = 180^\circ$, $6\alpha = 180^\circ$, $\alpha = 30^\circ$, a kąt między ramionami ma $120^\circ$ (rysunek).

11.Kąty w czworokącie, równoległoboku i trapezie

Suma kątów dowolnego czworokąta wynosi $360^\circ$. W równoległoboku suma dwóch sąsiednich kątów to $180^\circ$. W trapezie suma kątów przy jednym ramieniu wynosi $180^\circ$, np. gdy kąt przy $A$ ma $70^\circ$, to kąt przy $D$ ma $110^\circ$ (rysunek).

12.Jak ułożyć równanie do zadania o obwodzie figury?

Długości boków zapisujemy za pomocą jednej niewiadomej, a ich sumę przyrównujemy do obwodu. Np. trójkąt ma boki $x$, $x + 3$ i $2x$, a jego obwód to 31 cm: $x + x + 3 + 2x = 31$, $4x = 28$, $x = 7$, więc boki mają 7 cm, 10 cm i 14 cm.

13.Jak zapisać liczbę dwucyfrową za pomocą jej cyfr?

Liczba o cyfrze dziesiątek $a$ i cyfrze jedności $b$ to $10a + b$, np. $47 = 10 \cdot 4 + 7$. Po zamianie cyfr miejscami otrzymujemy $10b + a$, czyli 74. Gdy suma cyfr wynosi 9, a cyfra dziesiątek to $x$, to cyfra jedności wynosi $9 - x$.

14.Jak zapisać cenę po podwyżce lub obniżce o $p\%$?

Po podwyżce o $p\%$ cena wynosi $(100 + p)\%$ ceny początkowej, a po obniżce o $p\%$ - $(100 - p)\%$. Np. cena $x$ po podwyżce o 30% to $1{,}3x$, a po obniżce o 25% to $0{,}75x$.

15.Jak obliczyć cenę początkową, gdy znamy cenę po zmianie?

Cenę początkową oznaczamy $x$ i układamy równanie. Np. po obniżce o 15% płaszcz kosztuje 170 zł: $0{,}85x = 170$, więc $x = 200$ zł. Nie liczymy 15% ze 170 zł, bo procent obniżki odnosi się do ceny początkowej.

16.Jak ułożyć równanie, gdy kilka wielkości porównujemy procentowo z jedną?

Za niewiadomą przyjmujemy wielkość, do której odnoszą się procenty. Np. Bartek ma o 20% więcej pieniędzy niż Ala, a Celina o 10% mniej niż Ala. Gdy Ala ma $x$ zł, Bartek ma $1{,}2x$, a Celina $0{,}9x$. Gdy razem mają 310 zł: $3{,}1x = 310$, więc $x = 100$ zł.

17.Jak pozbyć się ułamków dziesiętnych w równaniu z procentami?

Mnożymy obie strony równania przez 100 (lub przez 10). Np. $0{,}15x = 45 \quad | \cdot 100$ daje $15x = 4500$, czyli $x = 300$. Można też od razu podzielić obie strony przez $0{,}15$.

18.Dwie kolejne zmiany ceny

Drugą zmianę liczymy od ceny po pierwszej zmianie, więc mnożymy przez oba czynniki. Np. po podwyżce o 20% i obniżce o 20% cena wynosi $0{,}8 \cdot 1{,}2x = 0{,}96x$, czyli jest o 4% niższa niż na początku (rysunek). Procentów nie dodajemy ani nie odejmujemy.

19.Stężenie procentowe roztworu

Stężenie procentowe roztworu soli mówi, jaki procent masy roztworu stanowi masa soli. Np. 300 g roztworu o stężeniu 10% zawiera $0{,}1 \cdot 300 = 30$ g soli i $300 - 30 = 270$ g wody (rysunek).

20.Jak obliczyć stężenie roztworu?

Masę soli dzielimy przez masę całego roztworu (soli i wody) i zamieniamy wynik na procenty. Np. 12 g soli rozpuszczono w 188 g wody: roztwór ma $12 + 188 = 200$ g, a stężenie to $\frac{12}{200} = 0{,}06$, czyli 6%. Nie dzielimy przez masę samej wody.

21.Jak zmienia się stężenie po dosypaniu soli i po dolaniu wody?

Dosypanie soli zwiększa stężenie roztworu, a dolanie wody je zmniejsza. Po dolaniu wody masa soli się nie zmienia, a po dosypaniu soli nie zmienia się masa wody.

22.Jak ułożyć równanie w zadaniu o dosypaniu soli?

Po dosypaniu $x$ kg soli o $x$ rośnie i masa soli, i masa roztworu. Np. do 4 kg roztworu 10% (0,4 kg soli) dosypujemy sól, by otrzymać roztwór 20%: $0{,}4 + x = 0{,}2 \cdot (4 + x)$, stąd $0{,}8x = 0{,}4$ i $x = 0{,}5$ kg (rysunek).

23.Jak ułożyć równanie w zadaniu o dolaniu wody?

Po dolaniu $x$ kg wody masa soli się nie zmienia, a masa roztworu rośnie o $x$. Np. do 6 kg roztworu 8% (0,48 kg soli) dolewamy wodę, by otrzymać roztwór 6%: $0{,}06 \cdot (6 + x) = 0{,}48$, stąd $6 + x = 8$ i $x = 2$ kg (rysunek).

24.Do czego służy wzór?

Wzór opisuje zależność między wielkościami i pozwala obliczyć jedną z nich, gdy znamy pozostałe. Np. ze wzoru na pole trójkąta $P = \frac{1}{2}ah$ dla $a = 6$ cm i $h = 5$ cm otrzymujemy $P = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5 = 15~\mathrm{cm^2}$.

25.Przekształcanie wzoru

Przekształcić wzór, aby wyznaczyć z niego wielkość, to zapisać tę wielkość samą po jednej stronie, a resztę po drugiej. Wolno wykonywać takie same operacje jak przy rozwiązywaniu równań - różnica polega na tym, że także dane są oznaczone literami. Liczby podstawiamy na końcu.

26.Jak wyznaczyć $s$ i $t$ ze wzoru $v = \frac{s}{t}$?

Mnożymy obie strony przez $t$: $v \cdot t = s$ - to wzór na drogę. Potem dzielimy przez $v$: $t = \frac{s}{v}$. Np. 120 km przy prędkości 80 km/h to $t = \frac{120}{80} = 1{,}5$ h (rysunek).

27.Jak wyznaczyć $F$ i $S$ ze wzoru na ciśnienie $p = \frac{F}{S}$?

Mnożymy obie strony przez $S$: $p \cdot S = F$, a potem dzielimy przez $p$: $S = \frac{F}{p}$. Np. siła 600 N wywiera ciśnienie 2000 Pa na powierzchnię $\frac{600}{2000} = 0{,}3~\mathrm{m^2}$.

28.Jak wyznaczyć wysokość ze wzoru na pole trójkąta $P = \frac{1}{2}ah$?

Mnożymy obie strony przez 2: $2P = ah$, a potem dzielimy przez $a$: $h = \frac{2P}{a}$. Np. trójkąt o polu $24~\mathrm{cm^2}$ i boku 8 cm ma wysokość opuszczoną na ten bok $\frac{2 \cdot 24}{8} = 6$ cm.

29.Jak wyznaczyć podstawę ze wzoru na pole trapezu $P = \frac{1}{2}(a + b)h$?

Mnożymy obie strony przez 2: $2P = (a + b)h$, dzielimy przez $h$: $\frac{2P}{h} = a + b$, i odejmujemy $b$: $a = \frac{2P}{h} - b$ (rysunek). Np. dla $P = 40$, $h = 5$ i $b = 6$: $a = 16 - 6 = 10$. Wysokość wyznaczamy tak: $h = \frac{2P}{a + b}$.

30.Jak wyznaczyć wielkość, która we wzorze jest podniesiona do kwadratu?

Najpierw wyznaczamy jej kwadrat, a potem wyciągamy pierwiastek - długość czy prędkość nie są ujemne. Np. z $h = \frac{v^2}{2g}$ otrzymujemy $v^2 = 2gh$, więc $v = \sqrt{2gh}$. Z pola kwadratu $P = a^2$ wynika $a = \sqrt{P}$.

31.Jak zamienić stopnie Fahrenheita na stopnie Celsjusza?

Wzór $T = \frac{9}{5}t + 32$ zamienia temperaturę $t$ w stopniach Celsjusza na $T$ w stopniach Fahrenheita. Wyznaczamy z niego $t$: odejmujemy 32 i mnożymy przez $\frac{5}{9}$, czyli $t = (T - 32) \cdot \frac{5}{9}$. Np. $50^\circ\mathrm{F}$ to $(50 - 32) \cdot \frac{5}{9} = 10^\circ\mathrm{C}$.

32.Jak wyznaczyć wielkość z iloczynu kilku wielkości, np. $V = a \cdot b \cdot c$?

Dzielimy obie strony przez iloczyn pozostałych wielkości: $c = \frac{V}{a \cdot b}$. Np. prostopadłościan o objętości $60~\mathrm{cm^3}$ i krawędziach podstawy 3 cm i 4 cm ma wysokość $\frac{60}{12} = 5$ cm.