Równania i ich rozwiązywanie - Matematyka z kluczem 7

1.Z czego składa się równanie?

Równanie ma lewą stronę, znak równości i prawą stronę. Obie strony mogą być dowolnymi wyrażeniami algebraicznymi, ale przynajmniej po jednej stronie musi wystąpić zmienna. Np. w równaniu $6 - x = 2x + 3$ lewa strona to $6 - x$, a prawa to $2x + 3$.

2.Niewiadoma

W szkole podstawowej rozwiązujemy równania z jedną zmienną. Tę zmienną nazywamy niewiadomą, bo na początku nie wiemy, jaką liczbę trzeba wstawić w jej miejsce. Zwykle oznaczamy ją literą $x$, ale może to być inna litera, np. $y$ w równaniu $7y - 1 = 13$.

3.Rozwiązanie (pierwiastek) równania

Rozwiązaniem, czyli pierwiastkiem równania, nazywamy liczbę, która wstawiona w miejsce niewiadomej sprawia, że lewa strona jest równa prawej. Np. 4 jest rozwiązaniem równania $3x - 2 = x + 6$, bo $3 \cdot 4 - 2 = 10$ i $4 + 6 = 10$.

4.Co znaczą zwroty „jest rozwiązaniem”, „spełnia równanie” i „jest pierwiastkiem równania”?

Wszystkie trzy znaczą to samo. Zdania „7 jest rozwiązaniem równania $2x = x + 7$”, „7 spełnia równanie $2x = x + 7$” i „7 jest pierwiastkiem równania $2x = x + 7$” mówią, że dla $x = 7$ obie strony są równe: $14 = 14$. Pierwiastek równania nie ma związku z pierwiastkiem kwadratowym.

5.Jak sprawdzić, czy liczba jest rozwiązaniem równania?

Podstawiamy liczbę w miejsce niewiadomej i osobno obliczamy lewą stronę $L$ i prawą stronę $P$. Gdy $L = P$, liczba jest rozwiązaniem, a gdy $L \neq P$ - nie jest. Np. dla $x = -2$ w równaniu $5 - x = 3x + 13$: $L = 5 - (-2) = 7$, $P = 3 \cdot (-2) + 13 = 7$ (rysunek). Tak samo sprawdzamy wynik po rozwiązaniu równania - wykrywamy wtedy błędy.

6.Ile rozwiązań może mieć równanie?

Równanie może nie mieć rozwiązań, mieć jedno rozwiązanie, kilka rozwiązań albo nieskończenie wiele rozwiązań. Np. $x - 4 = x$ nie ma rozwiązań, $2x = 10$ ma jedno, $x^2 = 49$ ma dwa, a $0 \cdot x = 0$ - nieskończenie wiele (rysunek). Dlatego polecenie „rozwiąż równanie” oznacza „znajdź wszystkie jego rozwiązania”.

7.Dlaczego równanie $x^2 = 49$ ma dwa rozwiązania?

Bo kwadrat liczby i kwadrat liczby do niej przeciwnej są równe: $7^2 = 49$ i $(-7)^2 = 49$. Rozwiązaniami są więc liczby 7 i $-7$. Kto poda tylko 7, nie rozwiąże równania do końca.

8.Kiedy równanie nie ma rozwiązań?

Gdy żadna liczba nie daje równości lewej i prawej strony. Np. równanie $x - 4 = x$ nie ma rozwiązań, bo po odjęciu 4 od liczby nie otrzymamy tej samej liczby. Także $x^2 = -9$ nie ma rozwiązań, bo kwadrat żadnej liczby nie jest ujemny.

9.Kiedy równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań?

Gdy spełnia je każda liczba. Np. równanie $0 \cdot x = 0$ spełnia każda liczba, bo dowolna liczba pomnożona przez 0 daje 0. Podobnie jest z równaniem $x + x = 2x$ - dla każdej liczby obie strony są równe.

10.Jak ułożyć równanie do zadania tekstowego?

Wybieramy niewiadomą - często podpowiada ją pytanie. Inne wielkości zapisujemy za pomocą niewiadomej, a potem zapisujemy równość z treści. Np. „Trzy zeszyty i blok za 4 zł kosztują razem 19 zł”: $x$ - cena zeszytu, $3x$ - koszt trzech zeszytów, $3x + 4 = 19$, stąd $x = 5$, czyli zeszyt kosztuje 5 zł (rysunek).

11.Jak zapisać za pomocą $x$ zwroty „o 5 więcej”, „o 5 mniej”, „3 razy więcej” i „3 razy mniej”?

Gdy pewna wielkość to $x$, to wielkość o 5 większa to $x + 5$, o 5 mniejsza to $x - 5$, 3 razy większa to $3x$, a 3 razy mniejsza to $\frac{x}{3}$. „O ile” zapisujemy dodawaniem lub odejmowaniem, a „ile razy” - mnożeniem lub dzieleniem.

12.Równania równoważne

Równania równoważne to równania, które mają takie same rozwiązania. Np. równania $3x - 5 = 7$ i $3x = 12$ są równoważne, bo oba spełnia tylko liczba 4.

13.Jakie przekształcenia dają równanie równoważne?

Do obu stron równania można dodać tę samą liczbę lub to samo wyrażenie algebraiczne albo odjąć je od obu stron. Obie strony można też pomnożyć lub podzielić przez tę samą liczbę różną od zera (rysunek). Warto wykonywać tylko te przekształcenia, które upraszczają równanie.

14.Dlaczego nie mnożymy obu stron równania przez 0?

Po pomnożeniu obu stron przez 0 każde równanie zmienia się w $0 = 0$, a tę równość spełnia każda liczba - rozwiązania się zmieniają. Np. równanie $x + 2 = 5$ ma jedno rozwiązanie 3, a po pomnożeniu przez 0 spełnia je każdy $x$. Przez 0 nie wolno też dzielić.

15.Jak rozwiązać równanie typu $4x + 7 = 31$?

Najpierw pozbywamy się liczby dodanej do wyrazu z niewiadomą: odejmujemy 7 od obu stron i otrzymujemy $4x = 24$. Potem dzielimy obie strony przez 4: $x = 6$. Sprawdzamy w równaniu początkowym: $L = 4 \cdot 6 + 7 = 31$, $P = 31$, $L = P$ (rysunek).

16.Jak rozwiązać równanie z ułamkiem przy niewiadomej, np. $\frac{1}{4}x - 3 = 2$?

Najpierw dodajemy 3 do obu stron: $\frac{1}{4}x = 5$. Potem mnożymy obie strony przez 4, bo $\frac{1}{4} \cdot 4 = 1$: $x = 20$. Sprawdzenie: $L = \frac{1}{4} \cdot 20 - 3 = 5 - 3 = 2$, $P = 2$, $L = P$.

17.Jak zapisujemy przekształcenia równania po pionowej kresce?

Za równaniem stawiamy pionową kreskę i piszemy działanie, które wykonujemy na obu stronach: $| - 11$ (odejmujemy 11), $| + 6$ (dodajemy 6), $| \cdot 3$ (mnożymy przez 3), $| : 7$ (dzielimy przez 7). Np. $\frac{1}{3}x = 4 \quad | \cdot 3$, więc $x = 12$.

18.Przenoszenie na drugą stronę równania

Liczbę lub wyraz z niewiadomą możemy przenieść na drugą stronę równania ze zmienionym znakiem. To inny zapis dodawania do obu stron lub odejmowania od obu stron. Np. $x + 6 = 2$, więc $x = 2 - 6 = -4$, a $x - 8 = 1$, więc $x = 1 + 8 = 9$.

19.Redukcja wyrazów podobnych w równaniu

Gdy niewiadoma występuje w równaniu kilka razy, redukujemy wyrazy podobne. Np. $6x - 2x + 9 = 29 \quad | - 9$, potem $6x - 2x = 20$, czyli $4x = 20 \quad | : 4$ i $x = 5$. Sprawdzenie: $L = 30 - 10 + 9 = 29$, $P = 29$.

20.Jak rozwiązać równanie, w którym niewiadoma jest po obu stronach?

Wyrazy z niewiadomą przenosimy na jedną stronę, a liczby na drugą, zawsze ze zmienionym znakiem. Potem redukujemy wyrazy podobne i dzielimy przez liczbę przy $x$. Np. $5x - 4 = 2x + 11$, $5x - 2x = 11 + 4$, $3x = 15$, $x = 5$. Sprawdzenie: $L = 21$, $P = 21$ (rysunek).

21.Czym różni się znak $=$ przy upraszczaniu wyrażenia i w równaniu?

Przy upraszczaniu wyrażenia $x$ jest zmienną, a znak $=$ łączy coraz prostsze postacie, równe dla każdego $x$, np. $3x - (x + 4) = 2x - 4$. W równaniu $x$ jest niewiadomą, a znak $=$ zadaje pytanie, dla jakiego $x$ strony są równe. Np. $2x - 4 = 6$ spełnia tylko $x = 5$.

22.Jak opuścić nawias poprzedzony minusem lub liczbą?

Gdy przed nawiasem stoi minus, opuszczamy nawias i zmieniamy znak każdego wyrazu w nawiasie: $-(3x - 5) = -3x + 5$. Gdy przed nawiasem stoi liczba, mnożymy przez nią każdy wyraz w nawiasie: $4(2 - x) = 8 - 4x$, a $-2(x - 3) = -2x + 6$.

23.Jak rozwiązać równanie z nawiasami?

Najpierw opuszczamy nawiasy, potem redukujemy wyrazy podobne, przenosimy wyrazy i obliczamy $x$. Np. $2(x - 3) - (x + 1) = 4$, czyli $2x - 6 - x - 1 = 4$, $x - 7 = 4$, $x = 11$. Sprawdzenie: $L = 2 \cdot 8 - 12 = 4$, $P = 4$ (rysunek).

24.Co zrobić, gdy otrzymamy np. $-3x = 12$?

Dzielimy obie strony przez liczbę przy niewiadomej razem z jej znakiem, czyli przez $-3$: $x = 12 : (-3) = -4$. Iloraz liczb o różnych znakach jest ujemny. Sprawdzenie: $-3 \cdot (-4) = 12$.

25.Równanie sprzeczne

Równanie sprzeczne to równanie, które nie ma rozwiązania. Po przekształceniach otrzymujemy wtedy np. $0 \cdot x = 5$, a żadna liczba pomnożona przez 0 nie daje 5. Np. $3x - (x - 2) = 2x + 7$, czyli $3x - x + 2 = 2x + 7$, stąd $0 \cdot x = 5$.

26.Równanie tożsamościowe

Równanie tożsamościowe to równanie, którego rozwiązaniem jest każda liczba. Po przekształceniach otrzymujemy wtedy $0 \cdot x = 0$. Np. $5(x - 1) + 2 = 5x - 3$, czyli $5x - 5 + 2 = 5x - 3$, $5x - 5x = -3 + 3$, stąd $0 \cdot x = 0$.

27.Jak po przekształceniach rozpoznać, ile rozwiązań ma równanie?

Doprowadzamy równanie do postaci $a \cdot x = b$. Gdy $a \neq 0$, równanie ma jedno rozwiązanie $x = b : a$ (także gdy $b = 0$, np. $5x = 0$ daje $x = 0$). Gdy $a = 0$ i $b \neq 0$, równanie jest sprzeczne. Gdy $a = 0$ i $b = 0$, równanie jest tożsamościowe (rysunek).

28.Jak rozwiązać równanie z ułamkami, np. $\frac{x + 1}{3} = \frac{x - 1}{2}$?

Mnożymy obie strony przez wspólny mianownik, tu 6, żeby pozbyć się ułamków: $2(x + 1) = 3(x - 1)$. Potem opuszczamy nawiasy: $2x + 2 = 3x - 3$, przenosimy: $2 + 3 = 3x - 2x$, czyli $x = 5$. Sprawdzenie: $L = \frac{6}{3} = 2$, $P = \frac{4}{2} = 2$ (rysunek).

29.Jak rozwiązać równanie z ułamkami dziesiętnymi, np. $0{,}3x + 1{,}2 = 0{,}5x$?

Można pomnożyć obie strony przez 10, żeby otrzymać liczby całkowite: $3x + 12 = 5x$, więc $12 = 2x$ i $x = 6$. Przez 10 mnożymy każdy wyraz, także liczbę bez $x$. Sprawdzenie: $L = 1{,}8 + 1{,}2 = 3$, $P = 0{,}5 \cdot 6 = 3$.