Nawiasy, porządkowanie wyrazów i procenty - Matematyka z kluczem 7

1.Dodawanie i odejmowanie wyrażeń algebraicznych

Sumę wyrażeń $3a + 2$ i $a - 5$ zapisujemy jako $(3a + 2) + (a - 5)$, a ich różnicę jako $(3a + 2) - (a - 5)$ - każde wyrażenie bierzemy w nawias. Aby uprościć wynik, opuszczamy nawiasy i redukujemy wyrazy podobne: suma to $4a - 3$, a różnica to $2a + 7$.

2.Jak opuścić nawias, przed którym stoi znak plus?

Nawias, przed którym stoi znak plus, możemy po prostu opuścić, nie zmieniając znaków wyrazów w nawiasie. Np. $5 + (8 - 3) = 5 + 8 - 3$ oraz $2x + (x - 4y + 1) = 2x + x - 4y + 1 = 3x - 4y + 1$.

3.Jak opuścić nawias, przed którym stoi znak minus?

Jeśli przed nawiasem jest znak minus, to opuszczając nawias, zmieniamy znak każdego wyrazu w nawiasie na przeciwny: $-(a - 2b + 3) = -a + 2b - 3$. Zmieniamy znaki wszystkich wyrazów, także pierwszego, przed którym nie widać znaku, bo stoi przed nim plus.

4.Dlaczego po minusie przed nawiasem zmieniamy znaki wyrazów?

Odjęcie różnicy to odjęcie pierwszej liczby i dodanie drugiej. Np. $20 - (8 - 3) = 20 - 5 = 15$ i $20 - 8 + 3 = 15$: odejmując całe 8, odjęliśmy o 3 za dużo, więc 3 trzeba dodać.

5.Jak opuścić nawias z minusem i zredukować wyrazy podobne?

Najpierw zmieniamy znak każdego wyrazu w nawiasie, a potem redukujemy wyrazy podobne. Np. $4x - (2x - 5y + 1) = 4x - 2x + 5y - 1 = 2x + 5y - 1$.

6.Jak pomnożyć sumę algebraiczną przez liczbę?

Każdy wyraz sumy mnożymy przez tę liczbę: $4(3x + 2) = 4 \cdot 3x + 4 \cdot 2 = 12x + 8$ oraz $(y - 6) \cdot 5 = 5y - 30$. Tak samo możemy liczyć w pamięci: $7 \cdot 23 = 7 \cdot (20 + 3) = 140 + 21 = 161$ (rysunek).

7.Jak pomnożyć sumę algebraiczną przez liczbę ujemną?

Każdy wyraz mnożymy przez tę liczbę i pilnujemy znaków: iloczyn dwóch liczb ujemnych jest dodatni. Np. $-3(2a - 5b) = -6a + 15b$, bo $(-3) \cdot (-5b) = 15b$. Mnożenie przez $-1$ zmienia znak każdego wyrazu: $(x - 4) \cdot (-1) = -x + 4$.

8.Jak podzielić sumę algebraiczną przez liczbę?

Każdy wyraz sumy dzielimy przez tę liczbę: $(10a - 15b) : 5 = 2a - 3b$. W wyniku może się pojawić ułamek: $(6x + 1) : 2 = 3x + \frac{1}{2}$.

9.Co zastępuje kreska ułamkowa w wyrażeniu algebraicznym?

Kreska ułamkowa zastępuje znak dzielenia: $\frac{8x - 4}{4} = (8x - 4) : 4 = 2x - 1$. Zastępuje też nawias, więc po minusie zmieniamy znaki: $5x - \frac{8x - 4}{4} = 5x - (2x - 1) = 5x - 2x + 1 = 3x + 1$.

10.Jak uprościć wyrażenie z kilkoma nawiasami?

Najpierw wykonujemy mnożenia i dzielenia sum przez liczby, potem opuszczamy nawiasy (po minusie zmieniamy znaki) i redukujemy wyrazy podobne. Np. $2(a - 3) - (5 - a) = 2a - 6 - 5 + a = 3a - 11$ (rysunek).

11.Jak uzasadnić sztuczkę „pomyśl liczbę”, w której jest mnożenie i dzielenie?

Pomyślaną liczbę oznaczamy literą $x$, zapisujemy polecenia z nawiasami i upraszczamy. Np. „pomnóż przez 3, dodaj 12, podziel przez 3, odejmij pomyślaną liczbę”: $(3x + 12) : 3 - x = x + 4 - x = 4$, więc wynik zawsze wynosi 4.

12.Mnożenie sumy algebraicznej przez wyrażenie

Mnożymy tak samo jak przez liczbę: każdy wyraz sumy mnożymy przez to wyrażenie. Np. $a(b + 4) = ab + 4a$ oraz $-3x(2y - 1) = -6xy + 3x$, bo $(-3x) \cdot (-1) = 3x$. Szczególnie pilnujemy znaków.

13.Jak mnożenie sumy przez wyrażenie widać na polu prostokąta?

Prostokąt o bokach $a$ i $x + y$ można podzielić na dwa prostokąty: o bokach $a$ i $x$ oraz $a$ i $y$. Pole całego prostokąta jest równe sumie pól tych części, więc $a(x + y) = ax + ay$.

14.Jak uporządkować wyraz?

Na początku piszemy liczbę (współczynnik liczbowy), potem zmienne w kolejności alfabetycznej, każdą tylko raz, w odpowiedniej potędze. Np. $3y \cdot (-2x) \cdot y = -6xy^2$, bo $3 \cdot (-2) = -6$, a $y \cdot y = y^2$ (rysunek).

15.Współczynnik liczbowy wyrazu

Współczynnik liczbowy to liczba, która stoi na początku uporządkowanego wyrazu. Np. w wyrazie $-5xy^2$ jest to $-5$, w wyrazie $x^2y$ jest to 1, a w wyrazie $-ab$ jest to $-1$.

16.Jak pomnożyć wyrazy, w których powtarza się ta sama zmienna?

Mnożymy liczby, a jednakowe zmienne zapisujemy raz, z potęgą równą liczbie ich wystąpień. Np. $2a \cdot 3a = 6a^2$, $-x \cdot (-xy) = x^2y$ oraz $ab \cdot a^2 = a^3b$.

17.Po co porządkować wyrazy sumy algebraicznej?

Uporządkowany wyraz ma krótszy zapis, a do tego łatwiej zauważyć, czy wyrazy są podobne. Np. $2y \cdot 3x$ i $-x \cdot y$ po uporządkowaniu to $6xy$ i $-xy$, więc są podobne, a $a \cdot b \cdot a = a^2b$ i $ab^2$ nie są podobne.

18.Jak uprościć wyrażenie, w którym mnożymy sumy przez wyrażenia?

Wykonujemy mnożenia, porządkujemy każdy wyraz, a potem redukujemy wyrazy podobne. Np. $x(x + 2y) - y(3x - 1) = x^2 + 2xy - 3xy + y = x^2 - xy + y$ (rysunek).

19.Jak wyodrębnić wyrazy sumy zapisanej za pomocą iloczynów?

Wyrazy sumy są rozdzielone znakami dodawania i odejmowania. Minus w iloczynie, np. w $3 \cdot (-x)$, jest znakiem liczby ujemnej, a nie odejmowaniem. Np. w sumie $4x \cdot 2y - 3 \cdot (-x) + 7$ wyrazami są $4x \cdot 2y$, $-3 \cdot (-x)$ i $7$, a po uporządkowaniu $8xy$, $3x$ i $7$ (rysunek).

20.Jak upraszczać sumę algebraiczną zapisaną za pomocą iloczynów?

Wykonujemy trzy kroki: wyodrębniamy wyrazy (w zeszycie możemy otoczyć je pętlami), porządkujemy każdy wyraz i redukujemy wyrazy podobne. Np. $2a \cdot 3b + ab - b \cdot (-a) = 6ab + ab + ab = 8ab$.

21.Jak najprościej obliczyć wartość wyrażenia z nawiasami?

Najpierw upraszczamy wyrażenie, a dopiero potem podstawiamy liczby - jest mniej obliczeń i mniejsze ryzyko pomyłki. Np. $3a^2 - 3a(a - 2) + b = 3a^2 - 3a^2 + 6a + b = 6a + b$, więc dla $a = 0{,}5$ i $b = -4$ wartość to $6 \cdot 0{,}5 - 4 = -1$.

22.Jak zapisać wyrażeniem procent liczby $x$?

p% liczby $x$ to $\frac{p}{100}$ tej liczby, czyli $\frac{p}{100}x$. Np. 8% liczby $x$ to $\frac{8}{100}x = 0{,}08x$, a 140% wartości wyrażenia $mn$ to $1{,}4mn$.

23.Jak zapisać procent wartości wyrażenia, np. 20% wartości $0{,}7y$?

Zamieniamy procent na ułamek dziesiętny i mnożymy go przez całe wyrażenie. Np. 20% wartości wyrażenia $0{,}7y$ to $0{,}2 \cdot 0{,}7y = 0{,}14y$.

24.Jak obliczyć procent procentu, gdy nie znamy całości?

Całość oznaczamy literą, np. $x$, i mnożymy przez nią kolejne procenty zapisane jako ułamki dziesiętne. Np. 30% uczniów dojeżdża do szkoły, a 40% z nich jeździ autobusem: dojeżdżających jest $0{,}3x$, a jadących autobusem $0{,}4 \cdot 0{,}3x = 0{,}12x$, czyli 12% wszystkich uczniów.

25.Jak obliczyć, jaki procent całości tworzą wybrane części dwóch grup?

Liczymy wybraną część każdej grupy osobno i dodajemy wyniki. Np. 55% uczniów to dziewczęta, a 45% chłopcy, a w zawodach startuje 20% dziewcząt i 40% chłopców: $0{,}2 \cdot 0{,}55x + 0{,}4 \cdot 0{,}45x = 0{,}11x + 0{,}18x = 0{,}29x$, czyli 29% uczniów (rysunek).

26.Jak obliczyć, o ile procent wzrośnie kwota na lokacie po odliczeniu podatku?

Wpłatę oznaczamy $x$. Odsetki to podany procent wpłaty, a podatek zabiera 19% odsetek, więc na rachunek trafia 81% odsetek. Np. przy oprocentowaniu 5% odsetki to $0{,}05x$, a dopisane zostaje $0{,}81 \cdot 0{,}05x = 0{,}0405x$, czyli kwota wzrośnie o 4,05%.

27.Jak zapisać liczbę o p% większą albo o p% mniejszą od $x$?

Liczba o p% większa od $x$ to $(100 + p)$% liczby $x$, a liczba o p% mniejsza od $x$ to $(100 - p)$% liczby $x$. Np. liczba o 25% większa od $x$ to $1{,}25x$, a liczba o 25% mniejsza od $x$ to $0{,}75x$.

28.Jak obliczyć zmianę ceny po podwyżce i obniżce?

Cenę początkową oznaczamy $x$ i mnożymy ją kolejno przez odpowiednie ułamki dziesiętne. Np. po podwyżce o 10% i obniżce o 20% cena wynosi $0{,}8 \cdot 1{,}1x = 0{,}88x$, czyli 88% ceny początkowej - jest niższa o 12% (rysunek).

29.Czy podwyżka o 20% i obniżka o 20% przywracają cenę początkową?

Nie, bo obniżkę liczymy od nowej, wyższej ceny: $0{,}8 \cdot 1{,}2x = 0{,}96x$, więc cena spada o 4%. Np. 100 zł po podwyżce o 20% to 120 zł, a po obniżce o 20% - 96 zł (rysunek).