Wyrażenia algebraiczne i sumy algebraiczne - Matematyka z kluczem 7

1.Wyrażenie arytmetyczne

Wyrażenie arytmetyczne to zapis jednego lub kilku działań na liczbach, np. $4 \cdot 7 - 3$ albo $(12 + 8) : 5$. Jego wartością jest jedna konkretna liczba.

2.Wyrażenie algebraiczne

Wyrażenie algebraiczne to zapis działań, w którym oprócz liczb (lub zamiast nich) występują litery zastępujące liczby, np. $2a + 5$, $a - b$, $x \cdot y - 1$. Jest to pojęcie szersze niż wyrażenie arytmetyczne (rysunek).

3.Zmienna

Zmienną nazywamy literę w wyrażeniu algebraicznym. Zmienna może oznaczać różne liczby, np. raz 2, a raz 100, więc jednym wyrażeniem opisujemy sytuację dla różnych danych. Np. we wzorze $P = ab$ zmienne $a$ i $b$ to boki dowolnego prostokąta.

4.Jak zapisać zależność z treści zadania za pomocą wyrażenia algebraicznego?

Oznaczamy nieznaną wielkość literą i zamieniamy słowa na działania: „o 3 więcej” to $x + 3$, „3 razy więcej” to $3x$, „o 3 mniej” to $x - 3$, „3 razy mniej” to $x : 3$ (rysunek). Np. gdy długopis kosztuje $d$ zł, a zeszyt jest o 2 zł droższy, zeszyt kosztuje $d + 2$ zł.

5.Jak opisać wyrażeniem liczbę elementów w powtarzającym się układzie?

Sprawdzamy, ile elementów dochodzi w każdym kolejnym kroku i ile trzeba dodać na początku. Np. trójkąty z zapałek ułożone w rzędzie ze wspólnymi bokami: 1 trójkąt to 3 zapałki, 2 trójkąty - 5, 3 trójkąty - 7. Każdy trójkąt dokłada 2 zapałki, a 1 zapałka zaczyna rząd, więc $n$ trójkątów to $2n + 1$ zapałek.

6.Kiedy w wyrażeniu algebraicznym można pominąć znak mnożenia?

Znak mnożenia można pominąć przed zmienną ($3 \cdot y = 3y$, $a \cdot b = ab$) i przed nawiasem ($5 \cdot (a + 1) = 5(a + 1)$, $(x + 1) \cdot (y - 2) = (x + 1)(y - 2)$). Przed liczbą go nie pomijamy: w zapisach $a \cdot 4$ i $(a + b) \cdot 4$ znak mnożenia zostaje.

7.Wartość liczbowa wyrażenia algebraicznego

Wyrażenie algebraiczne nie oznacza konkretnej liczby. Gdy ustalimy, jakie liczby oznaczają zmienne, i wykonamy działania, otrzymamy wartość liczbową wyrażenia. Np. wartość $4a - 1$ dla $a = 5$ to $4 \cdot 5 - 1 = 19$, a dla $a = 10$ to $4 \cdot 10 - 1 = 39$.

8.Jak obliczyć wartość wyrażenia algebraicznego dla danej wartości zmiennej?

Przepisujemy wyrażenie, w miejsce zmiennej wpisujemy liczbę (z dopisanym znakiem mnożenia, a liczbę ujemną w nawiasie) i wykonujemy działania w zwykłej kolejności. Np. $2x^2 - x$ dla $x = -3$: $2 \cdot (-3)^2 - (-3) = 2 \cdot 9 + 3 = 21$ (rysunek).

9.Dlaczego liczbę ujemną wstawiamy do wyrażenia w nawiasie?

Bo działanie dotyczy całej liczby razem z jej znakiem. Np. dla $x = -4$ jest $x^2 = (-4)^2 = 16$, a zapis $-4^2$ oznacza $-(4^2) = -16$. Tak samo $3x = 3 \cdot (-4) = -12$ - bez nawiasu dwa znaki działań stałyby obok siebie.

10.Jak obliczyć wartość wyrażenia z dwiema zmiennymi?

W miejsce każdej zmiennej wstawiamy jej liczbę i dopisujemy znaki mnożenia. Np. $(a - 2)b$ dla $a = 7$ i $b = -2$: $(7 - 2) \cdot (-2) = 5 \cdot (-2) = -10$. Wyrażenie $ab$ dla $a = 3$ i $b = 4$ ma wartość $3 \cdot 4 = 12$, a nie 34.

11.Co oznacza zapis $-x$?

Zapis $-x$ oznacza liczbę przeciwną do $x$. Nie zawsze jest to liczba ujemna: dla $x = 6$ jest $-x = -6$, dla $x = -5$ jest $-x = -(-5) = 5$ (rysunek), a dla $x = 0$ jest $-x = 0$. Liczby $x$ i $-x$ leżą na osi liczbowej po przeciwnych stronach zera, tak samo daleko od niego.

12.Kiedy dwa wyrażenia algebraiczne są równe?

Dwa wyrażenia są równe, gdy dla każdej liczby wstawionej w miejsce zmiennej mają tę samą wartość. Np. $2a + a$ i $3a$ są równe, bo dwa razy $a$ i jeszcze raz $a$ to trzy razy $a$. Zapisujemy to: $2a + a = 3a$.

13.Jak wykazać, że dwa wyrażenia nie są równe?

Wystarczy znaleźć jedną wartość zmiennej, dla której wartości wyrażeń są różne. Np. $2x$ i $x^2$ dla $x = 2$ mają wartość 4, ale dla $x = 3$ mają wartości 6 i 9, więc nie są równe. Zgodność wyników dla kilku liczb nie dowodzi, że wyrażenia są równe.

14.Wzory na pola figur jako wyrażenia algebraiczne

Wzory na pola to wyrażenia algebraiczne, np. pole trójkąta $\frac{1}{2}ah$, a pole trapezu $\frac{1}{2}(a + b)h$. Obliczając pole ze wzoru, obliczamy wartość wyrażenia dla długości odcinków. Np. trójkąt o podstawie 6 cm i wysokości 5 cm ma pole $\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5 = 15~\mathrm{cm^2}$ (rysunek).

15.Czy jeden wzór można zapisać na kilka sposobów?

Tak, bo różne zapisy mogą być równymi wyrażeniami. Pole trójkąta to $\frac{1}{2}ah = \frac{ah}{2} = \frac{a}{2} \cdot h$, a pole trapezu to $\frac{1}{2}(a + b)h = \frac{a + b}{2} \cdot h$. Dla tych samych długości odcinków każdy z tych zapisów daje to samo pole.

16.Jak zapisać wyrażeniem koszt zakupów?

Liczbę sztuk albo kilogramów mnożymy przez cenę jednej sztuki lub kilograma, a kwoty za różne towary dodajemy. Np. $x$ biletów po 25 zł i $y$ biletów po 15 zł kosztuje $25x + 15y$ zł, a dla $x = 2$ i $y = 3$: $25 \cdot 2 + 15 \cdot 3 = 50 + 45 = 95$ zł. To, o ile jedna kwota jest większa od drugiej, zapisujemy różnicą, np. $25x - 15y$.

17.Suma algebraiczna i jej wyrazy

Odejmowanie liczby to dodawanie liczby przeciwnej, więc np. $40 - 15 + 6 = 40 + (-15) + 6$ możemy traktować jak sumę. Sumę, w której występują liczby i zmienne, nazywamy sumą algebraiczną, a jej składniki - wyrazami.

18.Jak wypisać wyrazy sumy algebraicznej?

Odejmowanie zapisujemy jako dodawanie liczby przeciwnej i wypisujemy składniki razem ze znakami, bo znak przed wyrazem należy do tego wyrazu. Np. $5x^2 - x + 2y - 8 = 5x^2 + (-x) + 2y + (-8)$, więc wyrazami są $5x^2$, $-x$, $2y$ i $-8$.

19.Wyrazy podobne

Wyrazy podobne to wyrazy, w których występują te same zmienne w tych samych potęgach. Liczby przed zmiennymi mogą być różne, a kolejność liter nie ma znaczenia. Np. podobne są $4a$ i $-a$, $3x^2y$ i $-yx^2$, a także liczby $5$ i $-2{,}5$.

20.Kiedy wyrazy nie są podobne?

Wyrazy nie są podobne, gdy występują w nich inne zmienne (np. $2a$ i $2b$), gdy w jednym z nich brakuje zmiennej (np. $3x$ i $3xy$) albo gdy nie zgadzają się potęgi zmiennych (np. $x^2y$ i $xy^2$). Takie same liczby przed zmiennymi nie czynią wyrazów podobnymi (rysunek).

21.Redukcja wyrazów podobnych

Dodawanie wyrazów podobnych nazywamy ich redukcją. Dodajemy liczby stojące przed zmiennymi, a zmienne przepisujemy bez zmian: $4a + 3a = 7a$, bo $4 + 3 = 7$, oraz $2xy - 5xy = -3xy$, bo $2 - 5 = -3$. Wyrazów, które nie są podobne, nie dodajemy: suma $3x + 2x^2$ zostaje bez zmian.

22.Jaka liczba stoi przed zmienną w wyrazach $x$ i $-x$?

Wyraz $x$ to inaczej $1 \cdot x$, a wyraz $-x$ to inaczej $-1 \cdot x$. Dlatego np. $6y - y = 5y$, bo $6 - 1 = 5$, oraz $-y + 3y = 2y$, bo $-1 + 3 = 2$.

23.Jak zredukować wyrazy podobne w dłuższej sumie?

Wyrazy podobne podkreślamy w jednakowy sposób razem ze znakiem, redukujemy każdą grupę i zapisujemy wynik. Np. $3a + 4 - a + 2b - 7 + b = 2a + 3b - 3$, bo $3a - a = 2a$, $2b + b = 3b$ i $4 - 7 = -3$ (rysunek).

24.Co zrobić z wyrazami, które różnią się tylko znakiem?

Suma takich wyrazów jest równa 0, więc możemy je skreślić. Np. $5y - 5y = 0$, dlatego $4x + 5y - 9 - 5y = 4x - 9$.

25.Jak uzasadnić sztuczkę „pomyśl liczbę” za pomocą wyrażeń algebraicznych?

Pomyślaną liczbę oznaczamy literą $x$, zapisujemy kolejne polecenia jako jedno wyrażenie i redukujemy wyrazy podobne. Np. „pomyśl liczbę, dodaj 12, odejmij 5, odejmij pomyślaną liczbę”: $x + 12 - 5 - x = 7$, więc wynik zawsze wynosi 7 (rysunek).

26.Czy sprawdzenie kilku przykładów wystarczy, aby mieć pewność, że zdanie jest prawdziwe?

Nie. Jeden przykład wystarczy, aby pokazać, że zdanie nie jest prawdziwe dla wszystkich liczb. Aby mieć pewność, że zdanie jest prawdziwe dla wszystkich liczb, nie wystarczy nawet milion przykładów - trzeba rozumowania obejmującego wszystkie liczby, np. z użyciem wyrażeń algebraicznych.

27.Jak nazwać wyrażenie algebraiczne?

Wyrażenie bierze nazwę od ostatniego działania, które wykonujemy przy obliczaniu jego wartości zgodnie z kolejnością działań. Np. $3a + b^2$ to suma, $x - \frac{y}{2}$ to różnica, $4(m - 1)$ to iloczyn, a $\frac{k + 2}{5}$ to iloraz (rysunek).

28.Jak jeszcze można nazwać wyrażenie typu $5 - 3x$?

Wyrażenie $5 - 3x$ możemy nazwać różnicą wyrażeń $5$ i $3x$ albo sumą wyrażeń $5$ i $-3x$, bo odejmowanie to dodawanie liczby przeciwnej: $5 - 3x = 5 + (-3x)$.