Pierwiastek sześcienny, działania na pierwiastkach - Matematyka z kluczem 7

1.Pierwiastek sześcienny z liczby

Pierwiastkiem sześciennym z liczby $a$ nazywamy taką liczbę $b$, dla której $b^3 = a$. Piszemy wtedy $b = \sqrt[3]{a}$. Pierwiastek sześcienny nazywa się również pierwiastkiem trzeciego stopnia. Np. $\sqrt[3]{216} = 6$, bo $6^3 = 216$.

2.Jak czytamy zapis $\sqrt[3]{a}$ i jak nazywamy jego części?

W zapisie $\sqrt[3]{a}$ mała trójka to stopień pierwiastka, a $a$ to liczba podpierwiastkowa. Cały znak to symbol pierwiastka sześciennego, czyli trzeciego stopnia. Zapis $\sqrt[3]{27}$ czytamy: pierwiastek sześcienny z 27 albo pierwiastek trzeciego stopnia z 27.

3.Jak obliczyć krawędź sześcianu, gdy znamy jego objętość?

Objętość sześcianu o krawędzi $a$ to $a^3$, więc krawędź sześcianu o objętości $V$ to $\sqrt[3]{V}$. Np. sześcian o objętości $343~\mathrm{cm^3}$ ma krawędź $\sqrt[3]{343} = 7~\mathrm{cm}$ (rysunek), bo $7^3 = 343$.

4.Jak obliczyć pierwiastek sześcienny z liczby ujemnej?

Sześcian liczby ujemnej jest ujemny, więc pierwiastek sześcienny z liczby ujemnej istnieje i jest ujemny: $\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}$. Np. $\sqrt[3]{-27} = -3$, bo $(-3)^3 = -27$. Także $\sqrt[3]{0} = 0$, $\sqrt[3]{1} = 1$ i $\sqrt[3]{-1} = -1$.

5.Z jakich liczb można wyciągać pierwiastek kwadratowy, a z jakich sześcienny?

Kwadrat każdej liczby jest nieujemny, więc pierwiastek kwadratowy wyciągamy tylko z liczb nieujemnych. Sześcian liczby może być ujemny, więc pierwiastek sześcienny wyciągamy z dowolnej liczby. Np. $\sqrt{-4}$ nie istnieje, a $\sqrt[3]{-8} = -2$ (rysunek).

6.Sześciany liczb od 2 do 10

$2^3 = 8$, $3^3 = 27$, $4^3 = 64$, $5^3 = 125$, $6^3 = 216$, $7^3 = 343$, $8^3 = 512$, $9^3 = 729$, $10^3 = 1000$. Warto je pamiętać, bo pomagają wyciągać pierwiastki sześcienne, np. $\sqrt[3]{512} = 8$.

7.Jak obliczyć pierwiastek sześcienny z ułamka zwykłego i z liczby mieszanej?

Wyciągamy pierwiastek osobno z licznika i z mianownika, a liczbę mieszaną najpierw zamieniamy na ułamek niewłaściwy. Np. $\sqrt[3]{\frac{8}{125}} = \frac{2}{5}$, bo $\left(\frac{2}{5}\right)^3 = \frac{8}{125}$, oraz $\sqrt[3]{15\frac{5}{8}} = \sqrt[3]{\frac{125}{8}} = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2}$.

8.Jak obliczyć pierwiastek sześcienny z ułamka dziesiętnego?

Szukamy ułamka dziesiętnego, który podniesiony do sześcianu daje liczbę pod pierwiastkiem. Wynik ma trzy razy mniej cyfr po przecinku. Np. $\sqrt[3]{0{,}343} = 0{,}7$, bo $0{,}7^3 = 0{,}343$, albo inaczej: $\sqrt[3]{\frac{343}{1000}} = \frac{7}{10}$.

9.Ile wynosi $(\sqrt[3]{a})^3$ i $\sqrt[3]{a^3}$?

Dla dowolnej liczby $a$, także ujemnej, jest $(\sqrt[3]{a})^3 = \sqrt[3]{a^3} = a$, bo pierwiastek sześcienny i trzecia potęga znoszą się. Np. $(\sqrt[3]{50})^3 = 50$ i $\sqrt[3]{(-23)^3} = -23$.

10.Kiedy pierwiastek sześcienny z liczby całkowitej jest liczbą całkowitą?

Pierwiastek sześcienny z liczby całkowitej albo jest liczbą całkowitą, albo jest liczbą niewymierną. Jest całkowity tylko wtedy, gdy liczba pod pierwiastkiem jest sześcianem liczby całkowitej, np. $\sqrt[3]{125} = 5$, $\sqrt[3]{-1000} = -10$. Liczby $\sqrt[3]{2}$, $\sqrt[3]{-9}$ i $\sqrt[3]{100}$ są niewymierne.

11.Jak oszacować pierwiastek sześcienny?

Szukamy dwóch sąsiednich sześcianów liczb naturalnych: mniejszego i większego od liczby pod pierwiastkiem. Np. $3^3 = 27 < 50 < 64 = 4^3$, więc $3 < \sqrt[3]{50} < 4$ (rysunek). Kalkulator podaje przybliżenie $\sqrt[3]{50} \approx 3{,}68$.

12.Pierwiastek sześcienny z iloczynu

Dla dowolnych liczb $a$ i $b$, także ujemnych, pierwiastek sześcienny z iloczynu jest równy iloczynowi pierwiastków: $\sqrt[3]{a \cdot b} = \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b}$. Np. $\sqrt[3]{8 \cdot 27} = 2 \cdot 3 = 6$, a $\sqrt[3]{-8 \cdot 27} = -2 \cdot 3 = -6$.

13.Pierwiastek sześcienny z ilorazu

Dla dowolnej liczby $a$ i liczby $b \neq 0$ pierwiastek sześcienny z ilorazu jest równy ilorazowi pierwiastków: $\sqrt[3]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}$. Np. $\sqrt[3]{\frac{1000}{-27}} = \frac{10}{-3} = -3\frac{1}{3}$.

14.Czy pierwiastek sześcienny z sumy jest równy sumie pierwiastków?

Nie. Tak jak dla pierwiastka kwadratowego, wzory działają tylko dla iloczynu i ilorazu, a dla sumy i różnicy nie. Np. $\sqrt[3]{8} + \sqrt[3]{8} = 2 + 2 = 4$, ale $\sqrt[3]{8 + 8} = \sqrt[3]{16}$, a to nie jest 4, bo $4^3 = 64$.

15.Jak upraszczać iloczyny i ilorazy pierwiastków sześciennych?

Łączymy pierwiastki w jeden tak, aby pod pierwiastkiem powstał sześcian liczby całkowitej. Np. $\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{64} = 4$, $\frac{\sqrt[3]{250}}{\sqrt[3]{2}} = \sqrt[3]{125} = 5$, $\sqrt[3]{-3} \cdot \sqrt[3]{9} = \sqrt[3]{-27} = -3$.

16.Jak włączyć liczbę pod pierwiastek sześcienny?

Liczbę stojącą przed pierwiastkiem podnosimy do sześcianu i mnożymy przez liczbę pod pierwiastkiem: $a\sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{a^3 \cdot b}$. Np. $2\sqrt[3]{9} = \sqrt[3]{8 \cdot 9} = \sqrt[3]{72}$, a $-2\sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{(-8) \cdot 3} = \sqrt[3]{-24}$.

17.Jak wyłączyć liczbę przed pierwiastek sześcienny?

Liczbę pod pierwiastkiem rozkładamy na czynniki tak, aby jeden z nich był sześcianem liczby całkowitej: $\sqrt[3]{a^3 \cdot b} = a\sqrt[3]{b}$ dla dowolnych liczb $a$ i $b$. Np. $\sqrt[3]{32} = \sqrt[3]{8 \cdot 4} = 2\sqrt[3]{4}$, a $\sqrt[3]{-189} = \sqrt[3]{-27 \cdot 7} = -3\sqrt[3]{7}$.

18.Jak wyłączyć liczbę przed pierwiastek sześcienny z dużej liczby?

Rozkładamy liczbę na czynniki pierwsze i przed pierwiastek wyłączamy te czynniki, które występują w trzeciej potędze. Np. $\sqrt[3]{1080} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 3^3 \cdot 5} = 2 \cdot 3 \cdot \sqrt[3]{5} = 6\sqrt[3]{5}$ (rysunek).

19.Jak dodawać i odejmować pierwiastki sześcienne?

Dodawać i odejmować możemy pierwiastki z tej samej liczby: dodajemy albo odejmujemy liczby stojące przed nimi. Pierwiastki z różnych liczb najpierw upraszczamy, wyłączając liczby przed pierwiastek. Np. $\sqrt[3]{250} + \sqrt[3]{16} = 5\sqrt[3]{2} + 2\sqrt[3]{2} = 7\sqrt[3]{2}$ (rysunek).

20.Jak mnożyć wyrażenia typu $a\sqrt[3]{b}$?

Mnożymy osobno liczby stojące przed pierwiastkami i osobno pierwiastki, a potem upraszczamy wynik. Np. $3\sqrt[3]{2} \cdot 2\sqrt[3]{4} = 6\sqrt[3]{8} = 6 \cdot 2 = 12$.

21.Jak podnieść pierwiastek kwadratowy do potęgi?

Zapisujemy potęgę jako iloczyn i łączymy pary czynników, bo $\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a$ dla $a \geq 0$. Np. $(\sqrt{3})^3 = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$, a $(\sqrt{3})^4 = 3 \cdot 3 = 9$.

22.Jak podnieść do potęgi iloczyn liczby i pierwiastka?

Potęgujemy osobno liczbę i pierwiastek: $(a\sqrt{b})^n = a^n \cdot (\sqrt{b})^n$. Np. $(3\sqrt{5})^2 = 9 \cdot 5 = 45$, a $(2\sqrt{5})^3 = 2^3 \cdot (\sqrt{5})^3 = 8 \cdot 5\sqrt{5} = 40\sqrt{5}$ (rysunek).

23.Ile wynosi pierwiastek kwadratowy z kwadratu liczby ujemnej?

Kwadrat liczby ujemnej jest dodatni, a pierwiastek kwadratowy jest nieujemny, więc wynikiem jest liczba przeciwna do tej liczby ujemnej. Np. $\sqrt{(-8)^2} = \sqrt{64} = 8$, a nie $-8$. Równość $\sqrt{a^2} = a$ zachodzi tylko dla $a \geq 0$.

24.Czym różni się $\sqrt{a}$ od $\sqrt[3]{a}$ dla tej samej liczby $a$?

To dwa różne działania: szukamy liczby, której kwadrat albo sześcian jest równy $a$. Np. $\sqrt{729} = 27$, bo $27^2 = 729$, a $\sqrt[3]{729} = 9$, bo $9^3 = 729$. Każdy pierwiastek obliczamy osobno.

25.Jak obliczyć pierwiastek z wyrażenia, w którym jest inny pierwiastek?

Obliczamy od środka: najpierw wewnętrzny pierwiastek i działania pod zewnętrznym pierwiastkiem, a na końcu zewnętrzny pierwiastek. Np. $\sqrt{\sqrt[3]{-8} + 11} = \sqrt{-2 + 11} = \sqrt{9} = 3$.

26.Jak usunąć niewymierność z mianownika?

Ułamek z pierwiastkiem kwadratowym w mianowniku rozszerzamy przez ten pierwiastek, bo $\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a$. Wtedy w mianowniku nie ma pierwiastka. Np. $\frac{10}{\sqrt{5}} = \frac{10 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{5}}{5} = 2\sqrt{5}$.