Pierwiastek kwadratowy i jego własności - Matematyka z kluczem 7

1.Pierwiastek kwadratowy z liczby

Pierwiastkiem kwadratowym z liczby nieujemnej $a$ nazywamy taką liczbę nieujemną $b$, dla której $b^2 = a$. Piszemy wtedy $b = \sqrt{a}$. Np. $\sqrt{64} = 8$, bo $8^2 = 64$, oraz $\sqrt{0} = 0$, bo $0^2 = 0$. Obliczanie pierwiastka nazywamy też wyciąganiem pierwiastka.

2.Jak czytamy zapis $\sqrt{a}$ i jak nazywamy jego części?

Znak pierwiastka to symbol pierwiastka kwadratowego, czyli pierwiastka drugiego stopnia, a liczba $a$ pod nim to liczba podpierwiastkowa. Zapis $\sqrt{81}$ czytamy: pierwiastek z 81, pierwiastek kwadratowy z 81 albo pierwiastek drugiego stopnia z 81.

3.Pierwiastkowanie a potęgowanie

Pierwiastkowanie jest działaniem odwrotnym do potęgowania, tak jak dzielenie jest odwrotne do mnożenia. Gdy podniesiemy liczbę nieujemną do kwadratu, a potem wyciągniemy pierwiastek, wrócimy do tej liczby: $7^2 = 49$, a $\sqrt{49} = 7$ (rysunek).

4.Dlaczego pierwiastek kwadratowy nie jest liczbą ujemną?

Przyjęto, że pierwiastek kwadratowy jest liczbą nieujemną, bo działanie musi mieć jeden wynik. Choć $6^2 = 36$ i $(-6)^2 = 36$, to $\sqrt{36} = 6$, a nie $-6$. Pierwiastek kwadratowy nigdy nie jest liczbą ujemną.

5.Czy można obliczyć pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej?

Nie. Kwadrat liczby dodatniej i kwadrat liczby ujemnej są dodatnie, a $0^2 = 0$, więc żadna liczba podniesiona do kwadratu nie daje wyniku ujemnego. Dlatego liczba pod pierwiastkiem kwadratowym nie może być ujemna, np. zapis $\sqrt{-25}$ nie ma sensu.

6.Kwadraty liczb od 11 do 20

Warto je pamiętać, bo pomagają wyciągać pierwiastki: $11^2 = 121$, $12^2 = 144$, $13^2 = 169$, $14^2 = 196$, $15^2 = 225$, $16^2 = 256$, $17^2 = 289$, $18^2 = 324$, $19^2 = 361$, $20^2 = 400$. Np. $17^2 = 289$, więc $\sqrt{289} = 17$.

7.Jak obliczyć bok kwadratu, gdy znamy jego pole?

Pole kwadratu o boku $a$ to $a^2$, więc bok kwadratu o polu $P$ to $\sqrt{P}$. Np. kwadrat o polu $144~\mathrm{cm^2}$ ma bok $\sqrt{144} = 12~\mathrm{cm}$ (rysunek), a jego obwód to $4 \cdot 12 = 48~\mathrm{cm}$.

8.Jak obliczyć pierwiastek z ułamka zwykłego?

Szukamy ułamka, który podniesiony do kwadratu daje liczbę pod pierwiastkiem. Zwykle wystarczy wyciągnąć pierwiastek osobno z licznika i z mianownika. Np. $\sqrt{\frac{25}{36}} = \frac{5}{6}$, bo $\left(\frac{5}{6}\right)^2 = \frac{25}{36}$.

9.Jak obliczyć pierwiastek z liczby mieszanej?

Najpierw zamieniamy liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy, a potem wyciągamy pierwiastek. Np. $\sqrt{1\frac{11}{25}} = \sqrt{\frac{36}{25}} = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5}$, bo $\left(\frac{6}{5}\right)^2 = \frac{36}{25}$. Nie wolno wyciągać pierwiastka osobno z całości i z ułamka.

10.Jak obliczyć pierwiastek z ułamka dziesiętnego?

Szukamy ułamka dziesiętnego, który podniesiony do kwadratu daje liczbę pod pierwiastkiem. Wynik ma dwa razy mniej cyfr po przecinku. Np. $\sqrt{0{,}09} = 0{,}3$, bo $0{,}3^2 = 0{,}09$, albo inaczej: $\sqrt{\frac{9}{100}} = \frac{3}{10}$. Podobnie $\sqrt{1{,}21} = 1{,}1$, bo $1{,}1^2 = 1{,}21$.

11.Jak obliczyć wyrażenie z pierwiastkami?

Zapis $3\sqrt{16}$ oznacza $3 \cdot \sqrt{16}$ - znak mnożenia między liczbą a pierwiastkiem możemy pominąć. Najpierw obliczamy pierwiastki, a potem wykonujemy działania w zwykłej kolejności. Np. $\frac{\sqrt{36} + 2\sqrt{9}}{\sqrt{4}} = \frac{6 + 6}{2} = 6$.

12.Ile wynosi $(\sqrt{a})^2$ i $\sqrt{a^2}$?

Dla dowolnej liczby nieujemnej $a$ jest $(\sqrt{a})^2 = \sqrt{a^2} = a$, bo pierwiastkowanie i podnoszenie do kwadratu znoszą się. Np. $(\sqrt{13})^2 = 13$ i $\sqrt{29^2} = 29$ - nie trzeba liczyć $29^2$.

13.Jak szukać przybliżeń pierwiastka, np. $\sqrt{3}$?

Podnosimy kolejne liczby do kwadratu i sprawdzamy, czy wynik jest za mały, czy za duży. $1^2 = 1$ i $2^2 = 4$, więc $1 < \sqrt{3} < 2$. Dalej $1{,}7^2 = 2{,}89$ i $1{,}8^2 = 3{,}24$, więc $1{,}7 < \sqrt{3} < 1{,}8$. Tak można znajdować kolejne cyfry po przecinku (rysunek).

14.Liczba wymierna

Liczba wymierna to liczba, którą można zapisać jako ułamek zwykły $\frac{a}{b}$, gdzie $a$ i $b$ są liczbami całkowitymi i $b \neq 0$. Są to liczby całkowite, ułamki i liczby mieszane, dodatnie i ujemne, np. $-5 = \frac{-5}{1}$, $0{,}75 = \frac{3}{4}$. Każdą liczbę wymierną można zapisać jako skończony lub okresowy ułamek dziesiętny.

15.Liczba niewymierna

Liczba niewymierna to liczba, której nie da się zapisać w postaci ułamka zwykłego. Jej rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone i nie ma okresu. Taką liczbą jest np. $\sqrt{2} = 1{,}4142\ldots$ - nie da się jej zapisać prościej niż $\sqrt{2}$. Rysunek: przykłady liczb wymiernych i niewymiernych.

16.Kiedy pierwiastek z liczby naturalnej jest liczbą naturalną?

Pierwiastek z liczby naturalnej albo jest liczbą naturalną, albo jest liczbą niewymierną. Jest naturalny tylko wtedy, gdy liczba pod pierwiastkiem jest kwadratem liczby naturalnej, np. $\sqrt{0} = 0$, $\sqrt{1} = 1$, $\sqrt{4} = 2$, $\sqrt{9} = 3$. Liczby $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$, $\sqrt{8}$ są niewymierne.

17.Jak oszacować pierwiastek między kolejnymi liczbami naturalnymi?

Szukamy dwóch sąsiednich kwadratów liczb naturalnych: mniejszego i większego od liczby pod pierwiastkiem. Np. $8^2 = 64 < 70 < 81 = 9^2$, więc $8 < \sqrt{70} < 9$ (rysunek). Kalkulator podaje przybliżenie $\sqrt{70} \approx 8{,}37$.

18.Jak obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia z pierwiastkiem?

Zastępujemy pierwiastek jego przybliżeniem, np. $\sqrt{2} \approx 1{,}41$, i wykonujemy działania w zwykłej kolejności. Np. $3\sqrt{2} + 2 \approx 3 \cdot 1{,}41 + 2 = 4{,}23 + 2 = 6{,}23$. Wynik zapisujemy ze znakiem $\approx$, bo jest tylko przybliżony.

19.Kiedy używamy przybliżeń pierwiastków, a kiedy dokładnych wartości?

Przybliżeń, np. $\sqrt{3} \approx 1{,}73$, używamy w zadaniach z kontekstem praktycznym albo gdy wymaga tego polecenie. W pozostałych przypadkach podajemy dokładne wartości, np. $\sqrt{3}$, $2\sqrt{3}$, $\sqrt{3} - 1$. Przybliżenie nie jest równe pierwiastkowi: $1{,}41^2 = 1{,}9881$, więc $1{,}41 \neq \sqrt{2}$.

20.Pierwiastek z iloczynu

Dla dowolnych nieujemnych liczb $a$ i $b$ pierwiastek z iloczynu jest równy iloczynowi pierwiastków: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$. Np. $\sqrt{9 \cdot 25} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{25} = 3 \cdot 5 = 15$, tak samo jak $\sqrt{225} = 15$.

21.Pierwiastek z ilorazu

Dla dowolnej nieujemnej liczby $a$ i dodatniej liczby $b$ pierwiastek z ilorazu jest równy ilorazowi pierwiastków: $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$. Np. $\sqrt{\frac{100}{4}} = \frac{\sqrt{100}}{\sqrt{4}} = \frac{10}{2} = 5$, tak samo jak $\sqrt{25} = 5$.

22.Czy pierwiastek z sumy jest równy sumie pierwiastków?

Nie. Wzory działają tylko dla iloczynu i ilorazu, a dla sumy i różnicy nie. Np. $\sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$, ale $\sqrt{144} + \sqrt{25} = 12 + 5 = 17$. Pierwiastek z sumy obliczamy, najpierw dodając liczby pod pierwiastkiem. Rysunek: kiedy pierwiastek można rozdzielić.

23.Jak upraszczać obliczenia za pomocą wzorów na pierwiastek z iloczynu i ilorazu?

Łączymy pierwiastki w jeden albo rozkładamy liczbę na czynniki tak, aby pod pierwiastkiem powstał kwadrat liczby naturalnej. Np. $\sqrt{2} \cdot \sqrt{50} = \sqrt{100} = 10$, $\frac{\sqrt{300}}{\sqrt{3}} = \sqrt{100} = 10$, $\sqrt{5 \cdot 180} = \sqrt{25 \cdot 36} = 5 \cdot 6 = 30$.

24.Jak włączyć liczbę pod pierwiastek?

Liczbę nieujemną stojącą przed pierwiastkiem podnosimy do kwadratu i mnożymy przez liczbę pod pierwiastkiem: $a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 \cdot b}$. Np. $5\sqrt{6} = \sqrt{5^2} \cdot \sqrt{6} = \sqrt{25 \cdot 6} = \sqrt{150}$. Takie przekształcenie nazywamy włączaniem liczby pod pierwiastek.

25.Jak porównać liczby typu $2\sqrt{6}$ i $3\sqrt{3}$?

Włączamy liczby pod pierwiastek i porównujemy liczby pod pierwiastkami: im większa liczba pod pierwiastkiem, tym większy pierwiastek. Np. $2\sqrt{6} = \sqrt{24}$ i $3\sqrt{3} = \sqrt{27}$, a $\sqrt{24} < \sqrt{27}$, więc $2\sqrt{6} < 3\sqrt{3}$.

26.Jak wyłączyć liczbę przed pierwiastek?

Liczbę pod pierwiastkiem zapisujemy jako iloczyn, w którym jeden czynnik jest kwadratem liczby naturalnej, i wyciągamy z niego pierwiastek: $\sqrt{a^2 \cdot b} = a\sqrt{b}$ dla $a \geq 0$ i $b \geq 0$. Np. $\sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{13} = 2\sqrt{13}$.

27.Jak wyłączyć liczbę przed pierwiastek z dużej liczby?

Rozkładamy liczbę na czynniki pierwsze, łączymy jednakowe czynniki w kwadraty i wyłączamy je przed pierwiastek. Np. $\sqrt{360} = \sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 2 \cdot 5} = 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{10} = 6\sqrt{10}$ (rysunek). Pod pierwiastkiem ma zostać najmniejsza możliwa liczba naturalna, więc zapis $2\sqrt{90}$ nie kończy zadania.

28.Jak dodawać i odejmować pierwiastki z tej samej liczby?

Dodajemy albo odejmujemy liczby stojące przed pierwiastkami, a pierwiastek przepisujemy, bo np. $3\sqrt{2} = \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{2}$. Np. $4\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$, a $5\sqrt{7} - \sqrt{7} = 4\sqrt{7}$.

29.Jak dodać pierwiastki z różnych liczb?

Pierwiastków z różnych liczb nie można od razu dodać. Najpierw wyłączamy liczby przed pierwiastek. Jeśli pod pierwiastkami zostanie ta sama liczba, dodajemy liczby stojące przed nimi. Np. $\sqrt{8} + \sqrt{50} = 2\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 7\sqrt{2}$ (rysunek).

30.Kiedy sumy z pierwiastkami nie da się zapisać prościej?

Gdy pod pierwiastkami zostają różne liczby, z których nic nie da się wyłączyć, albo gdy do liczby wymiernej dodajemy pierwiastek niewymierny. Np. $\sqrt{2} + \sqrt{5}$, $2 + \sqrt{3}$ i $4\sqrt{3} - \sqrt{5}$ to liczby niewymierne, których nie zapiszemy prościej.