OdrabiamyPremiumBasicfiszki
Ilustracja do zestawu: Notacja wykładnicza - Matematyka z kluczem 7

Matematyka

Notacja wykładnicza - Matematyka z kluczem 7

Sprawdzony zestaw

Nauczysz się zapisywać bardzo duże i bardzo małe liczby w notacji wykładniczej i zamieniać je z powrotem na zwykły zapis. Przećwiczysz porównywanie, mnożenie, dzielenie, dodawanie i odejmowanie liczb w tej notacji. Poznasz nazwy dużych liczb i przedrostki jednostek, np. mega, giga, mikro i nano.

Zestaw do podręcznika

Dział II, cz. 2. Potęgi: notacja wykładnicza i obliczenia w notacji wykładniczej

Matematyka z kluczem 7. Podręcznik (Nowa Era) - wszystkie rozdziały
Rozwiązania wszystkich zadań z podręcznikaKrok po kroku na Odrabiamy.plRozwiązania wszystkich zadań z ćwiczeńKrok po kroku na Odrabiamy.pl
Szkoła podstawowa27 fiszek45 pytań w 5 etapachnotatka

Podcast

Ładuję…

Quizy w tym zestawie

45 pytań w 5 etapach

Odblokujesz je po dodaniu zestawu.

  1. Etap 1: Duże liczby w notacji wykładniczej

    Etap 1 · 9 fiszek · 9 pytań

  2. Etap 2: Małe liczby w notacji wykładniczej

    Etap 2 · 9 fiszek · 9 pytań

  3. Etap 3: Porównywanie, mnożenie i dzielenie

    Etap 3 · 5 fiszek · 9 pytań

  4. Etap 4: Dodawanie i wykładniki ujemne

    Etap 4 · 1 fiszka · 9 pytań

  5. Etap 5: Nazwy liczb i przedrostki

    Etap 5 · 3 fiszki · 9 pytań

  6. Powtórka z całości

    15 pytań ze wszystkich etapów, po ukończeniu etapów

1.Notacja wykładnicza

Zapis liczby dodatniej w notacji wykładniczej (notacji naukowej) to przedstawienie jej w postaci iloczynu a⋅10na \cdot 10^n, gdzie nn jest liczbą całkowitą, a liczba aa spełnia warunek 1≤a<101 \leq a < 10. Np. 4 200 000=4,2⋅1064\,200\,000 = 4{,}2 \cdot 10^6.

2.Kiedy zapis a⋅10na \cdot 10^n jest notacją wykładniczą?

Tylko wtedy, gdy liczba aa jest nie mniejsza niż 1 i mniejsza od 10. Liczbę 560 000 000 zapisujemy w notacji wykładniczej jako 5,6⋅1085{,}6 \cdot 10^8. Zapisy 56⋅10756 \cdot 10^7 i 0,56⋅1090{,}56 \cdot 10^9 oznaczają tę samą liczbę, ale nie są notacją wykładniczą, bo 56>1056 > 10, a 0,56<10{,}56 < 1.

3.Jak zapisać dużą liczbę w notacji wykładniczej?

Stawiamy przecinek za pierwszą cyfrą liczby - tak powstaje liczba aa. Wykładnik to liczba miejsc, o które przesunął się przecinek w lewo. Np. 29 000 000=2,9⋅10729\,000\,000 = 2{,}9 \cdot 10^7, bo przecinek przesunął się o 7 miejsc, a 3 750 000=3,75⋅1063\,750\,000 = 3{,}75 \cdot 10^6.

1Liczba a: przecinek za pierwszącyfrą2,92Wykładnik: przesunięcie w lewoo 7 miejsc3Zapis w notacji wykładniczej2,9 · 10⁷

4.Jak zapisać liczbę a⋅10na \cdot 10^n bez notacji wykładniczej, gdy nn jest dodatnie?

Mnożymy liczbę aa przez 10n10^n, czyli przesuwamy przecinek o nn miejsc w prawo i w razie potrzeby dopisujemy zera. Np. 3,06⋅105=3,06⋅100 000=306 0003{,}06 \cdot 10^5 = 3{,}06 \cdot 100\,000 = 306\,000.

5.Jak zapisać w notacji wykładniczej liczbę podaną słownie?

Najpierw zapisujemy liczbę cyframi, a potem przesuwamy przecinek za pierwszą cyfrę. Np. czterdzieści tysięcy to 40 000=4⋅10440\,000 = 4 \cdot 10^4, a trzy miliony sześćset tysięcy to 3 600 000=3,6⋅1063\,600\,000 = 3{,}6 \cdot 10^6.

6.Potęga liczby 10 o wykładniku ujemnym

Umawiamy się, że 10−n=110n10^{-n} = \frac{1}{10^n}. Wynika to z regularności: gdy zmniejszamy wykładnik o 1, dzielimy przez 10, więc 100=110^0 = 1, 10−1=11010^{-1} = \frac{1}{10}, 10−2=110010^{-2} = \frac{1}{100}, 10−3=1100010^{-3} = \frac{1}{1000}.

110¹ = 10210⁰ = 110 : 10310⁻¹ = 1/101 : 10410⁻² = 1/1001/10 : 10

7.Jak zapisać 10−n10^{-n} jako ułamek dziesiętny?

10−n10^{-n} to ułamek dziesiętny, który ma nn cyfr po przecinku, a ostatnią z nich jest 1. Np. 10−5=1100 000=0,0000110^{-5} = \frac{1}{100\,000} = 0{,}00001, czyli jedna stutysięczna. I odwrotnie: 0,01=10−20{,}01 = 10^{-2}.

8.Jak zapisać małą liczbę w notacji wykładniczej?

Przesuwamy przecinek w prawo, za pierwszą cyfrę różną od zera - tak powstaje liczba aa. Wykładnik jest ujemny: to minus liczba miejsc, o które przesunął się przecinek. Np. 0,00036=3,6⋅10−40{,}00036 = 3{,}6 \cdot 10^{-4}, bo przecinek przesunął się o 4 miejsca.

9.Jak zapisać liczbę a⋅10na \cdot 10^n bez notacji wykładniczej, gdy nn jest ujemne?

Przesuwamy przecinek w lewo o tyle miejsc, ile wskazuje wykładnik bez minusa, i dopisujemy zera przed liczbą. Np. 5,2⋅10−6=0,00000525{,}2 \cdot 10^{-6} = 0{,}0000052, a 9⋅10−3=0,0099 \cdot 10^{-3} = 0{,}009.

10.Co mówi znak wykładnika w notacji wykładniczej?

W zapisie a⋅10na \cdot 10^n wykładnik dodatni oznacza liczbę nie mniejszą niż 10, wykładnik 0 - liczbę nie mniejszą niż 1 i mniejszą od 10, a wykładnik ujemny - liczbę mniejszą od 1. Np. 4,1⋅105=410 0004{,}1 \cdot 10^5 = 410\,000, 4,1⋅100=4,14{,}1 \cdot 10^0 = 4{,}1, 4,1⋅10−3=0,00414{,}1 \cdot 10^{-3} = 0{,}0041.

Wykładnik ndodatni4,1 · 10⁵ =410 000zero4,1 · 10⁰ =4,1ujemny4,1 · 10⁻³= 0,0041

11.Jak porównać liczby w notacji wykładniczej?

Najpierw porównujemy wykładniki: większa jest liczba o większym wykładniku, bo 1≤a<101 \leq a < 10. Gdy wykładniki są równe, porównujemy liczby aa. Np. 9,1⋅1012<1,3⋅10139{,}1 \cdot 10^{12} < 1{,}3 \cdot 10^{13}, 2,4⋅108<5,7⋅1082{,}4 \cdot 10^8 < 5{,}7 \cdot 10^8, a 3⋅10−5>8⋅10−73 \cdot 10^{-5} > 8 \cdot 10^{-7}, bo −5>−7-5 > -7.

12.Jak mnożyć liczby zapisane w notacji wykładniczej?

Mnożymy osobno liczby przed potęgami i osobno potęgi liczby 10 (dodajemy wykładniki). Na końcu poprawiamy zapis, jeśli liczba przed potęgą nie spełnia warunku 1≤a<101 \leq a < 10. Np. (4⋅105)⋅(3⋅102)=12⋅107=1,2⋅108(4 \cdot 10^5) \cdot (3 \cdot 10^2) = 12 \cdot 10^7 = 1{,}2 \cdot 10^8.

1Mnożymy liczby4 · 3 = 122Mnożymy potęgi liczby 1010⁵ · 10² = 10⁷3Poprawiamy zapis12 · 10⁷ = 1,2 · 10⁸

13.Jak poprawić wynik, który nie jest zapisany w notacji wykładniczej?

Liczbę przed potęgą zapisujemy w notacji wykładniczej i dodajemy wykładniki. Gdy a≥10a \geq 10: 25⋅106=2,5⋅101⋅106=2,5⋅10725 \cdot 10^6 = 2{,}5 \cdot 10^1 \cdot 10^6 = 2{,}5 \cdot 10^7. Gdy a<1a < 1: 0,4⋅10−3=4⋅10−1⋅10−3=4⋅10−40{,}4 \cdot 10^{-3} = 4 \cdot 10^{-1} \cdot 10^{-3} = 4 \cdot 10^{-4}.

14.Jak dzielić liczby zapisane w notacji wykładniczej?

Dzielimy osobno liczby przed potęgami i osobno potęgi liczby 10 (odejmujemy wykładniki), a potem w razie potrzeby poprawiamy zapis. Np. 8⋅1092⋅103=4⋅106\frac{8 \cdot 10^9}{2 \cdot 10^3} = 4 \cdot 10^6, a 3⋅1086⋅102=0,5⋅106=5⋅105\frac{3 \cdot 10^8}{6 \cdot 10^2} = 0{,}5 \cdot 10^6 = 5 \cdot 10^5.

15.Jak obliczyć, ile razy jedna wielkość jest większa od drugiej?

Dzielimy większą wielkość przez mniejszą. Gdy są zapisane w notacji wykładniczej, dzielimy osobno liczby i osobno potęgi liczby 10. Np. 6⋅1071,5⋅103=4⋅104\frac{6 \cdot 10^7}{1{,}5 \cdot 10^3} = 4 \cdot 10^4, więc pierwsza wielkość jest 40 00040\,000 razy większa.

16.Jak podnieść do potęgi liczbę zapisaną w notacji wykładniczej?

Korzystamy ze wzoru na potęgę iloczynu: potęgujemy osobno liczbę i osobno potęgę liczby 10 (mnożymy wykładniki). Np. (2⋅103)3=23⋅(103)3=8⋅109(2 \cdot 10^3)^3 = 2^3 \cdot (10^3)^3 = 8 \cdot 10^9.

17.Jak dodawać i odejmować liczby w notacji wykładniczej o równych wykładnikach?

Dodajemy albo odejmujemy liczby przed potęgami, a potęgę liczby 10 przepisujemy. Np. 3,1⋅109+4,5⋅109=7,6⋅1093{,}1 \cdot 10^9 + 4{,}5 \cdot 10^9 = 7{,}6 \cdot 10^9, 8,4⋅10−5−2,1⋅10−5=6,3⋅10−58{,}4 \cdot 10^{-5} - 2{,}1 \cdot 10^{-5} = 6{,}3 \cdot 10^{-5}. Gdy wynik nie spełnia warunku, poprawiamy go: 8⋅104+6⋅104=14⋅104=1,4⋅1058 \cdot 10^4 + 6 \cdot 10^4 = 14 \cdot 10^4 = 1{,}4 \cdot 10^5.

18.Jak dodawać liczby w notacji wykładniczej o różnych wykładnikach?

Najpierw przekształcamy jedną z liczb tak, aby wykładniki były równe. Potem dodajemy liczby przed potęgami i poprawiamy zapis. Np. 4,6⋅108+3⋅106=460⋅106+3⋅106=463⋅106=4,63⋅1084{,}6 \cdot 10^8 + 3 \cdot 10^6 = 460 \cdot 10^6 + 3 \cdot 10^6 = 463 \cdot 10^6 = 4{,}63 \cdot 10^8.

1Wyrównujemy wykładniki4,6 · 10⁸ = 460 · 10⁶2Dodajemy liczby460 · 10⁶ + 3 · 10⁶ = 463 · 10⁶3Poprawiamy zapis463 · 10⁶ = 4,63 · 10⁸

19.Działania na potęgach liczby 10 o wykładnikach ujemnych

Wzory na iloczyn, iloraz i potęgowanie potęg są prawdziwe dla wszystkich wykładników całkowitych, gdy podstawa jest różna od 0. Przy odejmowaniu ujemnego wykładnika uważamy na znaki. Np. 10−4⋅109=10510^{-4} \cdot 10^9 = 10^5, 10−3:10−7=10−3−(−7)=10−3+7=10410^{-3} : 10^{-7} = 10^{-3-(-7)} = 10^{-3+7} = 10^4.

20.Jak mnożyć i dzielić bardzo małe liczby w notacji wykładniczej?

Tak samo jak duże: osobno liczby i osobno potęgi liczby 10, pilnując znaków wykładników. Np. (2⋅10−5)⋅(4⋅10−3)=8⋅10−8(2 \cdot 10^{-5}) \cdot (4 \cdot 10^{-3}) = 8 \cdot 10^{-8}, a 8⋅10−42⋅10−9=4⋅10−4−(−9)=4⋅105\frac{8 \cdot 10^{-4}}{2 \cdot 10^{-9}} = 4 \cdot 10^{-4-(-9)} = 4 \cdot 10^5.

21.Nazwy dużych liczb

Tysiąc (tys.) to 10310^3, milion (mln) - 10610^6, miliard (mld) - 10910^9, bilion (bln) - 101210^{12}, biliard - 101510^{15}, trylion - 101810^{18}, tryliard - 102110^{21}. Każda kolejna nazwa oznacza liczbę 1000 razy większą od poprzedniej.

22.Jak zapisać w notacji wykładniczej liczbę z nazwą, np. 47 miliardów?

Zastępujemy nazwę potęgą liczby 10, a potem poprawiamy zapis, tak aby liczba przed potęgą spełniała warunek 1≤a<101 \leq a < 10. Np. 47 mld =47⋅109=4,7⋅101⋅109=4,7⋅1010= 47 \cdot 10^9 = 4{,}7 \cdot 10^1 \cdot 10^9 = 4{,}7 \cdot 10^{10}.

23.Jak zapisać słownie liczbę podaną w notacji wykładniczej?

Szukamy największej potęgi liczby 10, która ma własną nazwę i nie przekracza danej liczby. Potem zapisujemy liczbę jako iloczyn pewnej liczby i tej potęgi. Np. 5,8⋅1013=5,8⋅10⋅1012=58⋅10125{,}8 \cdot 10^{13} = 5{,}8 \cdot 10 \cdot 10^{12} = 58 \cdot 10^{12}, czyli 58 bilionów.

24.Przedrostki kilo, mega, giga, tera oraz mili, mikro, nano, piko

Przedrostek przed nazwą jednostki zastępuje potęgę liczby 10: kilo (k) - 10310^3, mega (M) - 10610^6, giga (G) - 10910^9, tera (T) - 101210^{12}, mili (m) - 10−310^{-3}, mikro (μ) - 10−610^{-6}, nano (n) - 10−910^{-9}, piko (p) - 10−1210^{-12}. Np. 1 GW=109 W1~\mathrm{GW} = 10^9~\mathrm{W}.

Przedrostkiwielokrotnościkilo (k): 10³mega (M): 10⁶giga (G): 10⁹części jednostkimili (m): 10⁻³mikro (μ): 10⁻⁶nano (n): 10⁻⁹

25.Przedrostki hekto, deka, decy, centy

Hekto (h) oznacza 10210^2, deka (da) - 10110^1, decy (d) - 10−110^{-1}, a centy (c) - 10−210^{-2}. Np. 1 hl=100 l1~\mathrm{hl} = 100~\mathrm{l}, 1 dag=10 g1~\mathrm{dag} = 10~\mathrm{g}, 1 dm=0,1 m1~\mathrm{dm} = 0{,}1~\mathrm{m}, 1 cm=0,01 m1~\mathrm{cm} = 0{,}01~\mathrm{m}.

26.Jak zapisać wielkość z przedrostkiem w notacji wykładniczej?

Zastępujemy przedrostek potęgą liczby 10, a potem poprawiamy zapis, tak aby 1≤a<101 \leq a < 10. Np. 72 GW=72⋅109 W=7,2⋅1010 W72~\mathrm{GW} = 72 \cdot 10^9~\mathrm{W} = 7{,}2 \cdot 10^{10}~\mathrm{W}, a 15 μm=15⋅10−6 m=1,5⋅10−5 m15~\mu\mathrm{m} = 15 \cdot 10^{-6}~\mathrm{m} = 1{,}5 \cdot 10^{-5}~\mathrm{m}.

1Przedrostek giga to 10⁹72 GW = 72 · 10⁹ W272 w notacji wykładniczej72 = 7,2 · 10¹3Wynik7,2 · 10¹⁰ W

27.Jak porównać wielkości zapisane z różnymi przedrostkami?

Zapisujemy obie wielkości w tej samej jednostce w notacji wykładniczej i dzielimy większą przez mniejszą. Np. 5 cm=5⋅10−2 m5~\mathrm{cm} = 5 \cdot 10^{-2}~\mathrm{m} i 2 mm=2⋅10−3 m2~\mathrm{mm} = 2 \cdot 10^{-3}~\mathrm{m}, więc 5⋅10−22⋅10−3=2,5⋅101=25\frac{5 \cdot 10^{-2}}{2 \cdot 10^{-3}} = 2{,}5 \cdot 10^1 = 25 - odcinek 5 cm jest 25 razy dłuższy.

Notatka

Co to jest notacja wykładnicza

Notacja wykładnicza (inaczej notacja naukowa) to krótki zapis liczb bardzo dużych i bardzo małych. Liczbę dodatnią zapisujemy w niej jako iloczyn liczby aa i potęgi liczby 10.

Zapamiętaj

Notacja wykładnicza to zapis a⋅10na \cdot 10^n, w którym nn jest liczbą całkowitą, a liczba aa spełnia warunek 1≤a<101 \leq a < 10.

Warunek dopuszcza a=1a = 1, ale nie dopuszcza a=10a = 10. Dlatego 1⋅1041 \cdot 10^4 jest notacją wykładniczą, a 10⋅10310 \cdot 10^3 nie jest, choć oznacza tę samą liczbę.

Jedną liczbę można zapisać na wiele sposobów, np. 9 100 000=91⋅105=0,91⋅107=9,1⋅1069\,100\,000 = 91 \cdot 10^5 = 0{,}91 \cdot 10^7 = 9{,}1 \cdot 10^6. Wszystkie te zapisy są równe, ale notacją wykładniczą jest tylko ostatni.

Jak rozpoznać notację wykładniczą: przed przecinkiem w liczbie aa stoi dokładnie jedna cyfra i jest ona różna od zera. Gdy liczba aa jest całkowita, jest to jedna cyfra od 1 do 9. Zapis 91⋅10591 \cdot 10^5 ma przed przecinkiem dwie cyfry, a zapis 0,91⋅1070{,}91 \cdot 10^7 - cyfrę 0.

Liczby bardzo duże

Dużą liczbę zapisujemy w notacji wykładniczej w dwóch krokach:

  • stawiamy przecinek za pierwszą cyfrą i pomijamy zera na końcu - tak powstaje liczba aa;
  • liczymy, o ile miejsc w lewo przesunął się przecinek - to wykładnik nn.

Np. 63 400 000=6,34⋅10763\,400\,000 = 6{,}34 \cdot 10^7, bo za cyfrą 6 stoi jeszcze 7 cyfr. Sprawdzenie: 6,34⋅10 000 000=63 400 0006{,}34 \cdot 10\,000\,000 = 63\,400\,000.

1przecinek za pierwszą cyfrą: 6,34zera na końcu pomijamy2przecinek przesunął się o 7miejsc w lewowykładnik jest równy 73wynik: 6,34 razy 10 do potęgi 7sprawdzenie: 6,34 razy 10 000 000
Zamiana liczby 63 400 000

Typowe błędy to liczenie samych zer (tu 5) albo wszystkich cyfr (tu 8).

W drugą stronę mnożymy aa przez 10n10^n, czyli przesuwamy przecinek o nn miejsc w prawo i dopisujemy brakujące zera. Np. 2,07⋅105=207 0002{,}07 \cdot 10^5 = 207\,000. Zero ze środka liczby aa zostaje w wyniku.

Liczbę podaną słownie najpierw zapisujemy cyframi. Np. siedem milionów dwieście tysięcy to 7 200 000=7,2⋅1067\,200\,000 = 7{,}2 \cdot 10^6.

Potęgi liczby 10 o wykładniku ujemnym i liczby bardzo małe

Gdy wykładnik potęgi liczby 10 zmniejszamy o 1, wynik staje się 10 razy mniejszy. Z tej regularności wynika umowa: 10−n=110n10^{-n} = \frac{1}{10^n}.

110 do potęgi 1 = 10dzielimy przez 10210 do potęgi 0 = 1dzielimy przez 10310 do potęgi -1 = 0,1dzielimy przez 10410 do potęgi -2 = 0,01dzielimy przez 10510 do potęgi -3 = 0,001
Kolejne potęgi liczby 10

Potęga 10−n10^{-n} to ułamek dziesiętny o nn cyfrach po przecinku, z jedynką na końcu. Np. 10−6=11 000 000=0,00000110^{-6} = \frac{1}{1\,000\,000} = 0{,}000001, czyli jedna milionowa. Minus w wykładniku nie oznacza liczby ujemnej: 10−610^{-6} jest liczbą dodatnią mniejszą od 1.

Małą liczbę zapisujemy w notacji wykładniczej tak:

  • przesuwamy przecinek w prawo, za pierwszą cyfrę różną od zera - tak powstaje liczba aa;
  • wykładnik to minus liczba miejsc, o które przesunął się przecinek.

Np. 0,0000708=7,08⋅10−50{,}0000708 = 7{,}08 \cdot 10^{-5}. Sprawdzenie: 7,08:105=0,00007087{,}08 : 10^5 = 0{,}0000708. Liczba miejsc jest równa liczbie zer przed pierwszą cyfrą różną od zera, razem z zerem przed przecinkiem: tu 1+4=51 + 4 = 5.

W drugą stronę przesuwamy przecinek w lewo i dopisujemy zera przed liczbą, np. 1,9⋅10−4=0,000191{,}9 \cdot 10^{-4} = 0{,}00019.

Porównywanie liczb w notacji wykładniczej

Znak wykładnika od razu mówi, jak duża jest liczba a⋅10na \cdot 10^n:

Wykładnik nnLiczbaPrzykład
dodatninie mniejsza niż 102,5⋅103=25002{,}5 \cdot 10^3 = 2500
zeronie mniejsza niż 1 i mniejsza od 102,5⋅100=2,52{,}5 \cdot 10^0 = 2{,}5
ujemnymniejsza od 12,5⋅10−2=0,0252{,}5 \cdot 10^{-2} = 0{,}025

Dwie liczby porównujemy w dwóch krokach:

  • najpierw porównujemy wykładniki: większa jest liczba o większym wykładniku;
  • gdy wykładniki są równe, porównujemy liczby aa.

Ta metoda działa dzięki warunkowi 1≤a<101 \leq a < 10. Każda liczba a⋅1023a \cdot 10^{23} jest nie mniejsza niż 102310^{23} i mniejsza od 102410^{24}. Np. 9,7⋅1023<1024<1,1⋅10249{,}7 \cdot 10^{23} < 10^{24} < 1{,}1 \cdot 10^{24}.

Przy wykładnikach ujemnych pamiętamy, że −8>−9-8 > -9. Dlatego 2⋅10−8>6⋅10−92 \cdot 10^{-8} > 6 \cdot 10^{-9}.

Ważne

Wykładniki porównujemy dopiero wtedy, gdy obie liczby są zapisane w notacji wykładniczej. Np. 45⋅107=4,5⋅10845 \cdot 10^7 = 4{,}5 \cdot 10^8, więc ta liczba jest większa od 2⋅1082 \cdot 10^8. Liczby podane słownie też najpierw zamieniamy, np. 7 mln =7⋅106= 7 \cdot 10^6.

Mnożenie, dzielenie i potęgowanie

Liczby w notacji wykładniczej mnożymy, dzielimy i potęgujemy według praw działań na potęgach. Działamy osobno na liczbach przed potęgami i osobno na potęgach liczby 10:

DziałanieLiczby przed potęgąWykładniki
mnożeniemnożymydodajemy
dzieleniedzielimyodejmujemy
potęgowaniepotęgujemymnożymy przez wykładnik potęgi

Na końcu poprawiamy zapis, gdy liczba aa nie spełnia warunku 1≤a<101 \leq a < 10. Gdy przecinek w liczbie aa przesuwamy o kk miejsc w lewo, wykładnik zwiększamy o kk. Gdy przesuwamy go w prawo, wykładnik zmniejszamy o kk.

Przykład

(3⋅107)⋅(7⋅104)=21⋅1011=2,1⋅1012(3 \cdot 10^7) \cdot (7 \cdot 10^4) = 21 \cdot 10^{11} = 2{,}1 \cdot 10^{12}, a 1,8⋅1094,5⋅102=0,4⋅107=4⋅106\frac{1{,}8 \cdot 10^9}{4{,}5 \cdot 10^2} = 0{,}4 \cdot 10^7 = 4 \cdot 10^6.

Prawa działań na potęgach obowiązują także dla wykładników ujemnych. Przy dzieleniu od wykładnika w liczniku odejmujemy wykładnik w mianowniku i pilnujemy znaków: 9⋅10−43⋅10−10=3⋅10−4−(−10)=3⋅106\frac{9 \cdot 10^{-4}}{3 \cdot 10^{-10}} = 3 \cdot 10^{-4-(-10)} = 3 \cdot 10^6. Przy potęgowaniu: (5⋅10−3)2=25⋅10−6=2,5⋅10−5(5 \cdot 10^{-3})^2 = 25 \cdot 10^{-6} = 2{,}5 \cdot 10^{-5}.

Aby obliczyć, ile razy jedna wielkość jest większa od drugiej, dzielimy większą przez mniejszą. Np. 2,4⋅1088⋅103=0,3⋅105=3⋅104\frac{2{,}4 \cdot 10^8}{8 \cdot 10^3} = 0{,}3 \cdot 10^5 = 3 \cdot 10^4, czyli 30 00030\,000 razy.

Dodawanie i odejmowanie

Najprościej dodaje się i odejmuje liczby o równych wykładnikach. Wtedy dodajemy albo odejmujemy liczby przed potęgami, a potęgę liczby 10 przepisujemy. Np. 6,3⋅1012+2,9⋅1012=9,2⋅10126{,}3 \cdot 10^{12} + 2{,}9 \cdot 10^{12} = 9{,}2 \cdot 10^{12}.

Gdy wynik nie spełnia warunku 1≤a<101 \leq a < 10, poprawiamy go: 7,6⋅10−6+5,1⋅10−6=12,7⋅10−6=1,27⋅10−57{,}6 \cdot 10^{-6} + 5{,}1 \cdot 10^{-6} = 12{,}7 \cdot 10^{-6} = 1{,}27 \cdot 10^{-5}.

Gdy wykładniki są różne, postępujemy tak:

  • liczbę o większym wykładniku zapisujemy z mniejszym wykładnikiem, przesuwając przecinek w prawo;
  • dodajemy albo odejmujemy liczby przed potęgami;
  • poprawiamy zapis wyniku.

Np. 8,1⋅109+4⋅107=810⋅107+4⋅107=814⋅107=8,14⋅1098{,}1 \cdot 10^9 + 4 \cdot 10^7 = 810 \cdot 10^7 + 4 \cdot 10^7 = 814 \cdot 10^7 = 8{,}14 \cdot 10^9. Przy odejmowaniu: 3⋅105−6⋅104=30⋅104−6⋅104=24⋅104=2,4⋅1053 \cdot 10^5 - 6 \cdot 10^4 = 30 \cdot 10^4 - 6 \cdot 10^4 = 24 \cdot 10^4 = 2{,}4 \cdot 10^5.

Ważne

Gdy dodajemy albo odejmujemy liczby, wykładników nie dodajemy ani nie odejmujemy. Np. 2⋅103+3⋅103=5⋅1032 \cdot 10^3 + 3 \cdot 10^3 = 5 \cdot 10^3, a nie 5⋅1065 \cdot 10^6.

Nazwy dużych liczb

Duże liczby często podajemy za pomocą nazw. Każda kolejna nazwa oznacza liczbę 1000 razy większą od poprzedniej:

  • tysiąc (tys.) - 10310^3, milion (mln) - 10610^6, miliard (mld) - 10910^9;
  • bilion (bln) - 101210^{12}, biliard - 101510^{15}, trylion - 101810^{18}, tryliard - 102110^{21}.

Liczbę z nazwą zamieniamy na notację wykładniczą w dwóch krokach: nazwę zastępujemy potęgą liczby 10, a potem poprawiamy zapis. Np. 260 mln =260⋅106=2,6⋅102⋅106=2,6⋅108= 260 \cdot 10^6 = 2{,}6 \cdot 10^2 \cdot 10^6 = 2{,}6 \cdot 10^8. Typowy błąd to pominięcie poprawki wykładnika i wynik 2,6⋅1062{,}6 \cdot 10^6.

Aby zapisać liczbę słownie, szukamy największej potęgi liczby 10, która ma własną nazwę i nie przekracza tej liczby. Liczba 7,1⋅10117{,}1 \cdot 10^{11} jest mniejsza od bilionu, więc szukaną potęgą jest miliard: 7,1⋅1011=7,1⋅102⋅109=710⋅1097{,}1 \cdot 10^{11} = 7{,}1 \cdot 10^2 \cdot 10^9 = 710 \cdot 10^9, czyli 710 miliardów.

Polski miliard to po angielsku billion, a polski bilion to trillion. Dlatego przy tłumaczeniu łatwo pomylić te liczby.

Przedrostki jednostek

Przedrostek przed nazwą jednostki zastępuje potęgę liczby 10. Wielokrotności jednostek tworzą przedrostki:

  • tera (T) - 101210^{12}, giga (G) - 10910^9, mega (M) - 10610^6, kilo (k) - 10310^3, hekto (h) - 10210^2, deka (da) - 10110^1.

Części jednostek tworzą przedrostki:

  • decy (d) - 10−110^{-1}, centy (c) - 10−210^{-2}, mili (m) - 10−310^{-3}, mikro (μ\mu) - 10−610^{-6}, nano (n) - 10−910^{-9}, piko (p) - 10−1210^{-12}.
przedrostkiwielokrotności jednostkikilo (k) = 1000mega (M) = 1 000 000giga (G) = 1 000 000 000tera (T) = 1 000 000 000 000części jednostkimili (m) = 0,001mikro (μ) = 0,000001nano (n) = 0,000000001piko (p) = 0,000000000001
Najczęstsze przedrostki

Wielkość z przedrostkiem zapisujemy w notacji wykładniczej tak samo jak liczbę z nazwą: przedrostek zastępujemy potęgą liczby 10 i poprawiamy zapis. Np. 730 kg=730⋅103 g=7,3⋅105 g730~\mathrm{kg} = 730 \cdot 10^3~\mathrm{g} = 7{,}3 \cdot 10^5~\mathrm{g}, a 47 μs=47⋅10−6 s=4,7⋅10−5 s47~\mu\mathrm{s} = 47 \cdot 10^{-6}~\mathrm{s} = 4{,}7 \cdot 10^{-5}~\mathrm{s}.

Wielkości z różnymi przedrostkami porównujemy w tej samej jednostce. Np. 2 ms=2⋅10−3 s2~\mathrm{ms} = 2 \cdot 10^{-3}~\mathrm{s} i 5 μs=5⋅10−6 s5~\mu\mathrm{s} = 5 \cdot 10^{-6}~\mathrm{s}, więc 2⋅10−35⋅10−6=0,4⋅103=400\frac{2 \cdot 10^{-3}}{5 \cdot 10^{-6}} = 0{,}4 \cdot 10^3 = 400. Czas 2 ms jest 400 razy dłuższy.

Pobierz notatkę (PDF)

Sprawdzian do druku

Arkusz PDF z kluczem, punktacją i oceną

Sprawdzam sprawdzian…

Znasz kogoś z klasy, komu się przyda? Podziel się zestawem

WhatsApp

Podobne zestawy

Liczby dodatnie i wyrażenia arytmetyczne

24 fiszki uczy się 9

Wielokąty - pola i własności

12 fiszek uczy się 21

Szacowanie liczb, wyników działań i kosztów

14 fiszek

Liczby i działania oraz kwadraty magiczne

16 fiszek uczy się 1

Obliczenia procentowe - najważniejsze wzory

6 fiszek uczy się 12

Procenty, skala i bryły - zadania obliczeniowe

20 fiszek uczy się 3

Zobacz wszystkie fiszki z matematyki