Potęgi i ich własności - Matematyka z kluczem 7

1.Potęga, podstawa i wykładnik potęgi

Potęga $a^n$, gdzie $n$ jest liczbą naturalną większą od 1, to iloczyn $n$ czynników równych $a$. Liczbę $a$ nazywamy podstawą potęgi, a liczbę $n$ - wykładnikiem potęgi. Np. $7^3 = 7 \cdot 7 \cdot 7 = 343$: podstawa to 7, a wykładnik to 3.

2.Kwadrat i sześcian liczby

Kwadrat liczby to jej druga potęga, a sześcian - jej trzecia potęga. Np. kwadrat liczby 6 to $6^2 = 36$, a sześcian liczby 10 to $10^3 = 1000$. Zapis $6^4$ czytamy: czwarta potęga liczby 6 albo liczba 6 podniesiona do czwartej potęgi.

3.Pierwsza i zerowa potęga liczby

Dla dowolnej liczby $a$ przyjmujemy $a^1 = a$, a dla dowolnej liczby $a \neq 0$ przyjmujemy $a^0 = 1$. Wynika to z regularności: gdy zmniejszamy wykładnik o 1, dzielimy przez podstawę, np. $5^2 = 25$, $5^1 = 25 : 5 = 5$, $5^0 = 5 : 5 = 1$.

4.Potęgowanie a mnożenie

Potęgowanie to krótszy zapis wielokrotnego mnożenia, a mnożenie - krótszy zapis wielokrotnego dodawania. Dlatego $3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$, a $3 \cdot 4 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12$, czyli $3^4 \neq 3 \cdot 4$.

5.Jak podnieść do potęgi ułamek zwykły?

Podnosimy do potęgi osobno licznik i osobno mianownik: $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$, gdzie $b \neq 0$. Np. $\left(\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{2^2}{5^2} = \frac{4}{25}$. Rysunek: $\left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}$, czyli trzecia część z $\frac{1}{3}$.

6.Potęga ułamka a ułamek z potęgą w liczniku

Gdy nawias obejmuje cały ułamek, potęgujemy licznik i mianownik. Gdy nawiasu nie ma, potęgujemy tylko licznik, bo potęgowanie wykonujemy przed dzieleniem. Np. $\left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{16}{9}$, ale $\frac{4^2}{3} = \frac{16}{3}$.

7.Jak podnieść do potęgi liczbę mieszaną?

Najpierw zamieniamy liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy, potem potęgujemy licznik i mianownik, a wynik zamieniamy z powrotem na liczbę mieszaną. Np. $\left(2\frac{1}{3}\right)^2 = \left(\frac{7}{3}\right)^2 = \frac{49}{9} = 5\frac{4}{9}$.

8.Jak podnieść do potęgi ułamek dziesiętny?

Zapisujemy potęgę jako iloczyn i mnożymy ułamki dziesiętne: wynik ma tyle cyfr po przecinku, ile łącznie mają wszystkie czynniki. Np. $1{,}2^2 = 1{,}2 \cdot 1{,}2 = 1{,}44$, a $0{,}3^3 = 0{,}3 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}3 = 0{,}027$.

9.Znak potęgi liczby ujemnej

Iloczyn parzystej liczby czynników ujemnych jest dodatni, a nieparzystej - ujemny. Dlatego potęga liczby ujemnej o wykładniku parzystym jest dodatnia, a o wykładniku nieparzystym - ujemna. Np. $(-2)^6 = 64$, $(-2)^5 = -32$, $(-1)^{10} = 1$, $(-1)^7 = -1$.

10.Czym różni się $(-a)^n$ od $-a^n$?

Gdy liczba ujemna jest w nawiasie, potęgujemy całą liczbę razem ze znakiem. Gdy nawiasu nie ma, potęgujemy samą liczbę, a minus zapisujemy przed wynikiem. Np. $(-5)^2 = (-5) \cdot (-5) = 25$, ale $-5^2 = -5 \cdot 5 = -25$.

11.Kolejność działań z potęgami

Najpierw wykonujemy działania w nawiasach, potem potęgowanie, następnie mnożenie i dzielenie, a na końcu dodawanie i odejmowanie. Np. $(1 + 2)^2 \cdot 2 - 5 = 3^2 \cdot 2 - 5 = 9 \cdot 2 - 5 = 18 - 5 = 13$.

12.Jak znaleźć liczbę $x$, gdy znamy wartość $x^n$?

Zgadujemy liczbę i sprawdzamy, podnosząc ją do potęgi. Gdy wykładnik jest parzysty, a wynik dodatni, są dwie takie liczby: dodatnia i przeciwna do niej, np. $x^2 = 49$ dla $x = 7$ i $x = -7$ (rysunek). Gdy wykładnik jest nieparzysty, jest jedna, np. $x^3 = -125$ tylko dla $x = -5$.

13.Potęgi liczby 10

Potęga $10^n$ to jedynka i $n$ zer: jaka potęga - tyle zer. Np. $10^2 = 100$, $10^6 = 1\,000\,000$. Także $10^1 = 10$ i $10^0 = 1$.

14.Potęgi liczby $0{,}1$

Mnożąc liczbę przez $0{,}1$, przesuwamy przecinek o jedno miejsce w lewo. Dlatego $0{,}1^n$ ma $n$ miejsc po przecinku: jaka potęga - tyle miejsc po przecinku. Np. $0{,}1^2 = 0{,}01$, $0{,}1^4 = 0{,}0001$.

15.Iloczyn potęg o tej samej podstawie

Aby pomnożyć potęgi o tej samej podstawie, dodajemy ich wykładniki, a podstawę pozostawiamy bez zmian: $a^n \cdot a^m = a^{n+m}$. Np. $5^2 \cdot 5^4 = 5^{2+4} = 5^6$, bo razem jest $2 + 4 = 6$ czynników równych 5.

16.Iloraz potęg o tej samej podstawie

Aby podzielić potęgi o tej samej podstawie, odejmujemy ich wykładniki, a podstawę pozostawiamy bez zmian: $a^n : a^m = a^{n-m}$, gdzie $a \neq 0$ i $n \geq m$. Np. $7^6 : 7^2 = 7^{6-2} = 7^4$, bo dwie siódemki z mianownika skracają się z dwiema siódemkami z licznika.

17.Jak podzielić potęgę przez potęgę o większym wykładniku?

Zapisujemy dzielenie kreską ułamkową, potęgę o większym wykładniku rozkładamy na iloczyn potęg i skracamy. Np. $3^4 : 3^6 = \frac{3^4}{3^4 \cdot 3^2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$.

18.Mnożenie potęgi przez jej podstawę i przez potęgę zerową

Liczba bez wykładnika to jej pierwsza potęga, np. $4 = 4^1$, więc $4 \cdot 4^5 = 4^{1+5} = 4^6$. Potęga zerowa ma wykładnik 0, więc nie zmienia wyniku: $9^3 \cdot 9^0 = 9^{3+0} = 9^3$.

19.Kiedy nie korzystamy ze wzorów na iloczyn i iloraz potęg?

Wzory działają tylko przy mnożeniu i dzieleniu potęg o tej samej podstawie. Przy dodawaniu i odejmowaniu potęg oraz przy różnych podstawach i różnych wykładnikach obliczamy każdą potęgę osobno. Np. $2^3 + 2^2 = 8 + 4 = 12$, a nie $2^5$, oraz $5^2 \cdot 2^3 = 25 \cdot 8 = 200$.

20.Suma jednakowych potęg

Sumę kilku jednakowych potęg zapisujemy jako iloczyn, a potem korzystamy ze wzoru na iloczyn potęg. Gdy liczba składników jest równa podstawie albo jest potęgą podstawy, wynik jest jedną potęgą. Np. $3^4 + 3^4 + 3^4 = 3 \cdot 3^4 = 3^5$, a $2^5 + 2^5 + 2^5 + 2^5 = 4 \cdot 2^5 = 2^2 \cdot 2^5 = 2^7$.

21.Potęgowanie potęgi

Aby podnieść potęgę do potęgi, mnożymy wykładniki, a podstawę pozostawiamy bez zmian: $(a^n)^m = a^{n \cdot m}$. Np. $(4^2)^5 = 4^{2 \cdot 5} = 4^{10}$, bo to 5 razy po 2 czynniki równe 4.

22.Kiedy wykładniki dodajemy, kiedy odejmujemy, a kiedy mnożymy?

Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie wykładniki dodajemy, przy dzieleniu - odejmujemy, a przy potęgowaniu potęgi - mnożymy. Np. $6^3 \cdot 6^2 = 6^5$, $6^3 : 6^2 = 6^1$, $(6^3)^2 = 6^6$.

23.Jak obliczyć dłuższe wyrażenie z potęgami?

Wykonujemy działania po kolei i przy każdym kroku korzystamy z odpowiedniego wzoru. Na końcu obliczamy wartość otrzymanej potęgi. Np. $(5^3)^2 : 5^4 = 5^6 : 5^4 = 5^2 = 25$.

24.Czy $(3^2)^3$ to to samo co $3^{2^3}$?

Nie. W $(3^2)^3$ podnosimy potęgę do potęgi, więc mnożymy wykładniki: $(3^2)^3 = 3^6 = 729$. W $3^{2^3}$ najpierw obliczamy wykładnik $2^3 = 8$, więc $3^{2^3} = 3^8 = 6561$.

25.Potęga iloczynu

Potęga iloczynu jest równa iloczynowi potęg o tym samym wykładniku: $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$. Np. $(2 \cdot 3)^2 = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$, czyli tyle samo co $6^2$.

26.Jak szybko obliczyć iloczyn potęg o tych samych wykładnikach?

Korzystamy ze wzoru na potęgę iloczynu w drugą stronę: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$. Opłaca się to, gdy iloczyn podstaw jest prostą liczbą. Np. $5^3 \cdot 2^3 = (5 \cdot 2)^3 = 10^3 = 1000$, $0{,}5^4 \cdot 6^4 = 3^4 = 81$.

27.Potęga ilorazu

Potęga ilorazu jest równa ilorazowi potęg o tym samym wykładniku: $(a : b)^n = \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$, gdzie $b \neq 0$. Np. $(12 : 4)^2 = 12^2 : 4^2 = 144 : 16 = 9$, czyli tyle samo co $3^2$.

28.Jak szybko obliczyć iloraz potęg o tych samych wykładnikach?

Zapisujemy go jako potęgę ilorazu: $\frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n$. Opłaca się to, gdy iloraz podstaw jest prostą liczbą. Np. $\frac{15^3}{5^3} = \left(\frac{15}{5}\right)^3 = 3^3 = 27$, $14^2 : 7^2 = 2^2 = 4$.

29.Jak doprowadzić potęgi do tej samej podstawy?

Zapisujemy podstawę jako potęgę innej liczby, np. $4 = 2^2$, $8 = 2^3$, $9 = 3^2$, $27 = 3^3$, i korzystamy ze wzoru na potęgowanie potęgi. Potem stosujemy wzór na iloczyn albo iloraz potęg. Np. $4^3 \cdot 2^5 = (2^2)^3 \cdot 2^5 = 2^6 \cdot 2^5 = 2^{11}$.

30.Jak uprościć wyrażenie z potęgą ułamka dziesiętnego?

Zamieniamy ułamek dziesiętny na ułamek zwykły, np. $0{,}5 = \frac{1}{2}$, $0{,}25 = \frac{1}{4}$, i potęgujemy licznik i mianownik. Potem korzystamy ze wzorów na potęgi. Np. $2^7 \cdot 0{,}5^5 = 2^7 \cdot \frac{1}{2^5} = \frac{2^7}{2^5} = 2^2 = 4$.

31.Jak przedstawić złożone wyrażenie w postaci jednej potęgi?

Można najpierw uprościć nawiasy, a potem podzielić potęgi, albo od razu skorzystać ze wzoru na potęgę ilorazu. Np. $\frac{(2^3 \cdot 2^2)^3}{(2^6 : 2^2)^3} = \frac{(2^5)^3}{(2^4)^3} = \frac{2^{15}}{2^{12}} = 2^3$ albo $\left(\frac{2^5}{2^4}\right)^3 = 2^3$. Oba sposoby dają ten sam wynik.