O ile procent więcej, obliczenia procentowe - Matematyka z kluczem 7

1.Jak wyznaczyć liczbę o dany procent większą?

Sposób I: obliczamy ten procent liczby i dodajemy go do liczby. Sposób II: liczba o $20\%$ większa to $100\% + 20\% = 120\%$ danej liczby. Np. liczba o $20\%$ większa od 60: $0{,}2 \cdot 60 = 12$ i $60 + 12 = 72$ albo od razu $1{,}2 \cdot 60 = 72$.

2.Jak wyznaczyć liczbę o dany procent mniejszą?

Sposób I: obliczamy ten procent liczby i odejmujemy go od liczby. Sposób II: liczba o $30\%$ mniejsza to $100\% - 30\% = 70\%$ danej liczby. Np. cena 70 zł obniżona o $30\%$: $0{,}3 \cdot 70 = 21$ zł i $70 - 21 = 49$ zł albo od razu $0{,}7 \cdot 70 = 49$ zł.

3.Jakim mnożeniem zastąpić zwiększenie lub zmniejszenie liczby o procent?

Liczba o $8\%$ większa to $108\%$ liczby, więc mnożymy ją przez $1{,}08$. Liczba o $8\%$ mniejsza to $92\%$ liczby, więc mnożymy ją przez $0{,}92$. Np. $1{,}08 \cdot 50 = 54$ i $0{,}92 \cdot 50 = 46$. Jedno mnożenie jest wygodne zwłaszcza na kalkulatorze.

4.Liczba o $100\%$ lub $200\%$ większa, liczba o $100\%$ mniejsza

Liczba o $100\%$ większa to $200\%$ liczby, czyli liczba dwa razy większa. Liczba o $200\%$ większa to $300\%$ liczby, czyli trzy razy większa. Liczba o $100\%$ mniejsza to $0\%$ liczby, czyli 0. Np. o $100\%$ więcej niż 35 to 70, a o $200\%$ więcej to 105.

5.Jak obliczyć, o ile procent jedna wielkość jest większa od drugiej?

Najpierw obliczamy różnicę wielkości. Potem obliczamy, jakim procentem wielkości, z którą porównujemy, jest ta różnica. Np. o ile procent 26 jest większe od 20: różnica to 6, a $\frac{6}{20} = \frac{30}{100}$, czyli $30\%$.

6.Jak obliczyć, o ile procent jedna wielkość jest mniejsza od drugiej?

Obliczamy różnicę wielkości i sprawdzamy, jakim procentem większej wielkości, czyli tej, z którą porównujemy, jest ta różnica. Np. o ile procent 32 jest mniejsze od 40: różnica to 8, a $\frac{8}{40} = \frac{20}{100}$, czyli $20\%$.

7.Która wielkość stanowi $100\%$, gdy pytamy, o ile procent więcej lub mniej?

$100\%$ to wielkość, z którą porównujemy, czyli ta po słowach „od”, „niż” albo „w porównaniu z”. Gdy pytamy, o ile procent zmieniła się cena, $100\%$ to cena przed zmianą. W zadaniach z procentami zawsze najpierw ustalamy, jaka wielkość stanowi $100\%$.

8.Dlaczego „o ile procent więcej” i „o ile procent mniej” dają różne wyniki?

Ta sama różnica jest różnym procentem dwóch różnych wielkości. Np. bilety kosztują 25 zł i 50 zł. Różnica 25 zł to $100\%$ ceny 25 zł, ale tylko $50\%$ ceny 50 zł. Droższy bilet jest więc o $100\%$ droższy od tańszego, a tańszy o $50\%$ tańszy od droższego.

9.Punkty procentowe

Punkty procentowe to różnica między wielkościami wyrażonymi w procentach. Np. gdy poparcie dla pomysłu wzrosło z $35\%$ do $42\%$, to wzrosło o 7 punktów procentowych.

10.Czym różni się zmiana o punkty procentowe od zmiany o procent?

Gdy udział wzrósł z $20\%$ do $30\%$, to wzrósł o $30 - 20 = 10$ punktów procentowych, ale o $50\%$, bo wzrost 10 to połowa poprzedniego udziału 20. Różnicę procentów podajemy w punktach procentowych, a zmianę w procentach liczymy względem poprzedniej wartości.

11.Jak obliczyć cenę po dwóch kolejnych zmianach?

Liczymy po kolei: druga podwyżka albo obniżka dotyczy ceny po pierwszej zmianie, a nie ceny początkowej. Np. cenę 200 zł podniesiono o $10\%$: $1{,}1 \cdot 200 = 220$ zł, a potem obniżono o $5\%$: $0{,}95 \cdot 220 = 209$ zł.

12.Dlaczego obniżki o $10\%$ i o $20\%$ to razem nie obniżka o $30\%$?

Druga obniżka jest liczona od niższej ceny, więc odejmuje mniej złotych. Np. 500 zł po obniżce o $10\%$ to 450 zł, a po dalszej obniżce o $20\%$ to $0{,}8 \cdot 450 = 360$ zł. Razem cena spadła o 140 zł, czyli o $\frac{140}{500} = 28\%$, a nie o $30\%$.

13.Podwyżka i obniżka o ten sam procent

Po podwyżce i obniżce o ten sam procent cena nie wraca do początkowej, bo procenty liczymy od różnych cen. Np. 80 zł po podwyżce o $25\%$ to 100 zł, a po obniżce o $25\%$ to 75 zł. Przy odwrotnej kolejności wynik jest ten sam: 80 zł, 60 zł, 75 zł.

14.Jak obliczyć cenę przed obniżką?

Cena po obniżce o $20\%$ to $80\%$ ceny początkowej, więc wyznaczamy liczbę z jej procentu. Np. kurtka po obniżce o $20\%$ kosztuje 168 zł: $1\%$ ceny to $168 : 80 = 2{,}1$ zł, a $100\%$ to 210 zł. Można też zauważyć, że $80\% = \frac{4}{5}$: $\frac{1}{5}$ ceny to $168 : 4 = 42$ zł, a cała cena to $5 \cdot 42 = 210$ zł.

15.Jak obliczyć cenę przed podwyżką?

Cena po podwyżce o $25\%$ to $125\%$ ceny początkowej. Np. bilet po podwyżce o $25\%$ kosztuje 45 zł: $125\% = \frac{5}{4}$, więc $\frac{1}{4}$ ceny to $45 : 5 = 9$ zł, a cena przed podwyżką to $4 \cdot 9 = 36$ zł. Błędem jest odjęcie $25\%$ od 45 zł, bo podwyżkę liczono od ceny początkowej.

16.Cena netto, cena brutto i podatek VAT

Cena netto to cena bez podatku. Cena brutto to cena, którą płacimy: cena brutto = cena netto + podatek VAT. Stawka VAT to określony procent ceny netto.

17.Stawki podatku VAT w Polsce

Podstawowa stawka VAT w Polsce to $23\%$. Na niektóre towary i usługi obowiązują niższe stawki: $8\%$ i $5\%$. Najniższą stawką są objęte m.in. książki i żywność. Na paragonie VAT nazywa się też PTU (podatek od towarów i usług).

18.Jak obliczyć cenę brutto, gdy znamy cenę netto?

Przy stawce $23\%$ cena brutto stanowi $100\% + 23\% = 123\%$ ceny netto, więc mnożymy cenę netto przez $1{,}23$. Np. cena netto 300 zł: cena brutto to $1{,}23 \cdot 300 = 369$ zł, a VAT to $369 - 300 = 69$ zł.

19.Jak obliczyć cenę netto, gdy znamy cenę brutto?

Przy stawce $23\%$ cena brutto to $123\%$ ceny netto. Obliczamy $1\%$ ceny netto i mnożymy go przez 100. Np. cena brutto 492 zł: $1\%$ to $492 : 123 = 4$ zł, a cena netto to $4 \cdot 100 = 400$ zł. Nie odejmujemy $23\%$ ceny brutto, bo VAT liczy się od ceny netto.

20.Jak obliczyć kwotę podatku VAT?

Sposób I: od ceny brutto odejmujemy cenę netto. Sposób II: obliczamy stawkę VAT z ceny netto. Np. książka ma cenę netto 50 zł i stawkę VAT $5\%$: VAT to $0{,}05 \cdot 50 = 2{,}50$ zł, a cena brutto to $52{,}50$ zł, więc też $52{,}50 - 50 = 2{,}50$ zł.

21.Stężenie procentowe roztworu

Stężenie procentowe mówi, jakim procentem masy roztworu jest masa substancji rozpuszczonej. Masa roztworu to masa substancji razem z masą wody. Np. w 100 g roztworu soli o stężeniu $10\%$ jest 10 g soli i 90 g wody.

22.Jak obliczyć stężenie procentowe roztworu?

Masę substancji dzielimy przez masę całego roztworu, a nie przez masę wody, i wynik zamieniamy na procent. Np. 12 g cukru rozpuszczono w 68 g wody: roztwór ma $12 + 68 = 80$ g, a $\frac{12}{80} = \frac{15}{100}$, czyli stężenie wynosi $15\%$.

23.Jak porównać stężenia dwóch roztworów?

Obliczamy stężenie każdego roztworu i porównujemy wyniki. Masy podajemy w tych samych jednostkach. Np. 30 g soli w 250 g roztworu to $\frac{30}{250} = 12\%$, a 40 g soli w $0{,}4$ kg, czyli 400 g roztworu, to $\frac{40}{400} = 10\%$. Więcej soli nie zawsze oznacza większe stężenie.

24.Jak zmienia się stężenie po dolaniu wody do roztworu?

Masa substancji się nie zmienia, a masa roztworu rośnie, więc stężenie maleje. Np. do 250 g roztworu soli o stężeniu $8\%$ dolano 150 g wody. Soli jest $0{,}08 \cdot 250 = 20$ g, roztworu 400 g, więc stężenie to $\frac{20}{400} = 5\%$.

25.Jak zmienia się stężenie po odparowaniu wody z roztworu?

Masa substancji się nie zmienia, a masa roztworu maleje, więc stężenie rośnie. Np. z 300 g roztworu soli o stężeniu $4\%$ odparowało 100 g wody. Soli jest $0{,}04 \cdot 300 = 12$ g, roztworu 200 g, więc stężenie to $\frac{12}{200} = 6\%$.

26.Jak obliczyć stężenie roztworu po zmieszaniu dwóch roztworów?

Dodajemy masy substancji i masy roztworów, a potem dzielimy pierwszą sumę przez drugą. Np. 200 g roztworu $10\%$ i 300 g roztworu $20\%$: soli jest $20 + 60 = 80$ g w 500 g roztworu, więc $\frac{80}{500} = 16\%$. Stężenie mieszaniny leży między stężeniami składników.