Procent danej liczby i liczba z jej procentu - Matematyka z kluczem 7

1.Jak obliczyć procent danej liczby?

Procent to też ułamek, tylko inaczej zapisany, więc procent liczby obliczamy jak ułamek liczby: zamieniamy procent na ułamek i mnożymy przez liczbę. Np. $35\%$ liczby 60: $\frac{35}{100} \cdot 60 = 21$. Na kalkulatorze wygodnie jest liczyć $0{,}35 \cdot 60 = 21$.

2.Procent liczby - sposób przez $1\%$

Najpierw obliczamy $1\%$ liczby, czyli dzielimy ją przez 100. Potem otrzymany wynik mnożymy przez liczbę procent. Np. $23\%$ liczby 400: $1\%$ to $400 : 100 = 4$, a $23\%$ to $4 \cdot 23 = 92$.

3.Procenty w pamięci: $50\%$, $25\%$, $20\%$, $10\%$, $1\%$

$50\%$ liczby to jej połowa (dzielimy przez 2), $25\%$ to ćwiartka (dzielimy przez 4), $20\%$ to $\frac{1}{5}$ (przez 5), $10\%$ to $\frac{1}{10}$ (przez 10), a $1\%$ to $\frac{1}{100}$ (przez 100). Np. dla liczby 80: $50\%$ to 40, $25\%$ to 20, $20\%$ to 16, $10\%$ to 8, a $1\%$ to $0{,}8$.

4.Jak składać procenty w pamięci?

Trudniejszy procent rozkładamy na łatwe części: $5\%$ to połowa $10\%$, $15\% = 10\% + 5\%$, a $150\% = 100\% + 50\%$. Np. dla liczby 60: $10\%$ to 6, $5\%$ to 3, $15\%$ to $6 + 3 = 9$, a $150\%$ to $60 + 30 = 90$.

5.Szacowanie wyniku obliczeń procentowych

Zanim podasz końcowy wynik, oszacuj go: zaokrąglij procent i liczbę do wygodnych wartości. Np. $49\%$ liczby 202 to w przybliżeniu $50\%$ liczby 200, czyli 100. Dokładny wynik $0{,}49 \cdot 202 = 98{,}98$ jest bliski 100, więc się zgadza.

6.Jak obliczyć procent z przecinkiem danej liczby?

Procent zamieniamy na ułamek dziesiętny, przesuwając przecinek o dwa miejsca w lewo, i mnożymy przez liczbę. Np. $4{,}5\%$ liczby 200: $0{,}045 \cdot 200 = 9$, a $0{,}2\%$ liczby 350: $0{,}002 \cdot 350 = 0{,}7$.

7.Jak obliczyć, ile zostało po odjęciu procentu?

Sposób I: obliczamy procent liczby i odejmujemy go od całości. Sposób II: obliczamy, ile procent zostało ($100\%$ minus podany procent), i liczymy ten procent liczby. Np. z 200 zapisanych osób $12\%$ nie przyszło: $0{,}12 \cdot 200 = 24$, $200 - 24 = 176$ albo $0{,}88 \cdot 200 = 176$ osób przyszło.

8.Procent z procentu - obliczenia w dwóch krokach

Gdy drugi procent dotyczy części, a nie całości, liczymy po kolei. Np. w szkole jest 600 uczniów, $30\%$ z nich gra w szachy, a $25\%$ szachistów to dziewczęta. Szachistów jest $0{,}3 \cdot 600 = 180$, a dziewcząt wśród nich $\frac{1}{4} \cdot 180 = 45$. Procentów liczonych od różnych wielkości nie dodajemy.

9.Jak obliczyć masę substancji w roztworze?

Stężenie procentowe mówi, jakim procentem masy roztworu jest masa substancji, więc masa substancji to ten procent masy roztworu. Np. w 300 g roztworu soli o stężeniu $8\%$ jest $0{,}08 \cdot 300 = 24$ g soli i $300 - 24 = 276$ g wody.

10.Mieszanie roztworów o tym samym stężeniu

Gdy mieszamy roztwory o tym samym stężeniu, stężenie się nie zmienia, a masy soli i masy roztworów się dodają. Np. 200 g i 300 g roztworu soli o stężeniu $5\%$ dają 500 g roztworu o stężeniu $5\%$, w którym jest $10 + 15 = 25$ g soli.

11.Jak obliczyć masę składnika mieszanki?

Gdy znamy procenty wszystkich składników oprócz jednego, ten jeden stanowi $100\%$ minus suma pozostałych. Potem obliczamy ten procent masy mieszanki. Na rysunku mieszanka waży 300 g: migdały to $100\% - 45\% - 30\% = 25\%$, czyli $\frac{1}{4} \cdot 300 = 75$ g.

12.Jak porównać procenty różnych liczb?

Obliczamy oba procenty i porównujemy wyniki. Większy procent nie zawsze daje większy wynik, bo wynik zależy też od liczby. Np. $15\%$ liczby 40 to 6, a $40\%$ liczby 12 to $4{,}8$, więc większe jest $15\%$ liczby 40.

13.Lokata, odsetki i oprocentowanie lokaty

Zakładając lokatę bankową, oddajemy oszczędności do dyspozycji banku. W zamian bank powiększa je o kwotę zwaną odsetkami. Oprocentowanie lokaty wskazuje, jaki procent pieniędzy wpłaconych na lokatę stanowią odsetki. Np. od 5000 zł przy oprocentowaniu $3\%$ w skali roku odsetki po roku wynoszą $0{,}03 \cdot 5000 = 150$ zł.

14.Podatek od odsetek

W Polsce bank nie wypłaca właścicielowi lokaty całych odsetek, ale tylko $81\%$ ich wartości. Pozostałe $19\%$ bank przekazuje do urzędu skarbowego jako podatek. Np. od 150 zł odsetek podatek wynosi $0{,}19 \cdot 150 = 28{,}50$ zł, a właściciel dostaje $0{,}81 \cdot 150 = 121{,}50$ zł.

15.Ile pieniędzy wypłacimy z lokaty po roku?

Obliczamy odsetki, potem $81\%$ odsetek, które zostają po podatku, i dodajemy je do wpłaconej kwoty. Np. 5000 zł na lokacie oprocentowanej $3\%$ w skali roku: odsetki to 150 zł, po podatku $121{,}50$ zł, więc bank wypłaci $5000 + 121{,}50 = 5121{,}50$ zł.

16.Jak wyznaczyć liczbę, gdy znamy jej $50\%$, $25\%$ albo $10\%$?

Mnożymy tak, aby otrzymać $100\%$ szukanej liczby: gdy znamy $50\%$, mnożymy przez 2, gdy $25\%$ - przez 4, gdy $10\%$ - przez 10, a gdy $1\%$ - przez 100. Gdy znamy $200\%$, dzielimy przez 2. Np. $25\%$ liczby to 9, więc liczba to $9 \cdot 4 = 36$. Na rysunku $25\%$ to jedna z czterech równych części.

17.Jak wyznaczyć liczbę, gdy znamy np. jej $60\%$?

Przechodzimy przez wygodny procent. Np. $60\%$ liczby to 18. $20\%$ to 3 razy mniej niż $60\%$, więc $20\%$ liczby to $18 : 3 = 6$. Potem mnożymy przez 5: $100\%$ liczby to $6 \cdot 5 = 30$. Sprawdzenie: $0{,}6 \cdot 30 = 18$.

18.Liczba z jej procentu - sposób przez $1\%$

W trudniejszych przypadkach obliczamy najpierw, ile wynosi $1\%$ szukanej liczby, a potem mnożymy wynik przez 100. Np. $6\%$ liczby to 27: $1\%$ liczby to $27 : 6 = 4{,}5$, a $100\%$ to $4{,}5 \cdot 100 = 450$.

19.Jak wyznaczyć liczbę, gdy znamy jej procent z przecinkiem?

Też liczymy przez $1\%$. Zamiast dzielić pisemnie przez ułamek dziesiętny, często wygodniej zapisać dzielenie w postaci ułamka i skrócić go. Np. $2{,}5\%$ liczby to 4: $1\%$ to $4 : 2{,}5 = \frac{40}{25} = \frac{8}{5} = 1{,}6$, a $100\%$ to $1{,}6 \cdot 100 = 160$.

20.Jak wyznaczyć liczbę, gdy znamy jej procent większy niż $100\%$?

Postępujemy tak samo - szukamy $100\%$ liczby. Np. $150\%$ liczby to 60: $50\%$ to $60 : 3 = 20$, a $100\%$ to $20 \cdot 2 = 40$. Szukana liczba jest mniejsza od 60, bo 60 to więcej niż cała liczba.

21.Jak wyznaczyć całość, gdy znamy pozostałą część?

Najpierw obliczamy, jakim procentem całości jest znana liczba: od $100\%$ odejmujemy podany procent. Potem wyznaczamy całość. Np. na lekcji było $75\%$ uczniów, a 7 osób było nieobecnych. Nieobecni to $25\%$ klasy, więc klasa liczy $7 \cdot 4 = 28$ uczniów.

22.Jak obliczyć masę roztworu, gdy znamy masę substancji?

Masa substancji to podany procent masy roztworu, więc wyznaczamy liczbę z jej procentu. Np. 15 g soli to $5\%$ roztworu: $1\%$ to $15 : 5 = 3$ g, a $100\%$ to $3 \cdot 100 = 300$ g roztworu. Wody jest $300 - 15 = 285$ g.

23.Jak obliczyć liczbę wszystkich danych z diagramu kołowego?

Gdy wiemy, ile osób przedstawia jeden wycinek, wyznaczamy liczbę wszystkich ($100\%$), a potem liczby osób z innych wycinków. Na rysunku piłkę nożną wybrało 45 osób, czyli $30\%$: $1\%$ to $45 : 30 = 1{,}5$, a $100\%$ to 150 osób. Tenis wybrało $20\%$, czyli $0{,}2 \cdot 150 = 30$ osób.

24.Jak obliczyć inny procent liczby, gdy znamy jeden jej procent?

Najpierw wyznaczamy liczbę, a potem obliczamy szukany procent. Np. $4\%$ liczby to 10, więc $1\%$ to $2{,}5$, a liczba to 250. Wtedy $30\%$ liczby to $0{,}3 \cdot 250 = 75$. Szybciej: $30\%$ to 30 razy $1\%$, czyli $30 \cdot 2{,}5 = 75$.

25.Procent liczby czy liczba z jej procentu?

Gdy znamy całość i procent, a szukamy części, obliczamy procent liczby (mnożymy): $20\%$ liczby 50 to 10. Gdy znamy część i jej procent, a szukamy całości, wyznaczamy liczbę z jej procentu: jeśli $20\%$ liczby to 50, liczba wynosi $50 \cdot 5 = 250$.