Proporcjonalność prosta, ułamek liczby, procenty - Matematyka z kluczem 7

1.Wielkości wprost proporcjonalne

Dwie dodatnie wielkości są wprost proporcjonalne, jeśli wraz ze wzrostem jednej wielkości druga rośnie tyle samo razy lub wraz ze zmniejszaniem się jednej wielkości druga zmniejsza się tyle samo razy. Np. 1 bilet po 15 zł kosztuje 15 zł, a 3 bilety - 3 razy więcej, czyli 45 zł.

2.Iloraz wielkości wprost proporcjonalnych

Iloraz wielkości wprost proporcjonalnych jest stały. Gdy 1 kg jabłek kosztuje 3 zł, to za 2 kg płacimy 6 zł, a za 5 kg - 15 zł: $6 : 2 = 15 : 5 = 3$. Ten stały iloraz to cena 1 kg.

3.Jak sprawdzić, czy dwie wielkości są wprost proporcjonalne?

Sposób I: sprawdzamy, czy gdy jedna wielkość rośnie kilka razy, druga rośnie tyle samo razy. Sposób II: dzielimy odpowiadające sobie wartości - jeśli każdy iloraz jest taki sam, wielkości są proporcjonalne. Np. 2 h - 120 km, 3 h - 180 km: $120 : 2 = 180 : 3 = 60$, więc droga jest proporcjonalna do czasu.

4.Czy „im więcej, tym więcej” oznacza proporcjonalność?

Nie. W definicji ważne są słowa „tyle samo razy”. Wypożyczenie kajaka kosztuje 5 zł opłaty początkowej i 3 zł za godzinę: 1 h to 8 zł, a 2 h to 11 zł. Kwota rośnie, ale nie 2 razy, a ilorazy są różne ($8 : 1 = 8$, $11 : 2 = 5{,}5$), więc opłata nie jest proporcjonalna do czasu.

5.Bok kwadratu a jego obwód i pole

Długość boku i obwód kwadratu są wprost proporcjonalne: 2 razy dłuższy bok to 2 razy większy obwód. Długość boku i pole kwadratu nie są wprost proporcjonalne: 2 razy dłuższy bok to 4 razy większe pole, np. bok 3 cm - pole $9~\mathrm{cm^2}$, bok 6 cm - pole $36~\mathrm{cm^2}$.

6.Jak obliczyć brakującą wartość wielkości wprost proporcjonalnej?

Sposób I: obliczamy wartość dla jednej jednostki, a potem mnożymy. Sposób II: sprawdzamy, ile razy więcej (mniej) jest jednostek, i tyle samo razy zwiększamy (zmniejszamy) drugą wielkość. Np. 4 zeszyty kosztują 14 zł, ile kosztuje 12 zeszytów? I: $14 : 4 = 3{,}50$ zł, $3{,}50 \cdot 12 = 42$ zł. II: 12 zeszytów to 3 razy więcej, więc $14 \cdot 3 = 42$ zł.

7.Jak zachować proporcje między składnikami przepisu?

Każdy składnik zwiększamy albo zmniejszamy tyle samo razy. Gdy przepis na 4 porcje ma 300 g mąki i 2 jajka, to na 6 porcji, czyli $1{,}5$ raza więcej, bierzemy $300 \cdot 1{,}5 = 450$ g mąki i $2 \cdot 1{,}5 = 3$ jajka.

8.Co oznacza podział w stosunku $2 : 3$?

Całość dzielimy na $2 + 3 = 5$ równych części. Pierwsza osoba dostaje 2 takie części, a druga 3 części. Tak samo przy trzech liczbach: podział w stosunku $1 : 2 : 4$ to podział na $1 + 2 + 4 = 7$ równych części.

9.Podział proporcjonalny - sposób z równymi częściami

Dodajemy liczby ze stosunku - tyle jest równych części. Dzielimy całość przez liczbę części. Mnożymy jedną część przez liczbę części każdej osoby. Np. 60 zł w stosunku $2 : 3$: $2 + 3 = 5$, $60 : 5 = 12$ zł, $2 \cdot 12 = 24$ zł i $3 \cdot 12 = 36$ zł. Sprawdzenie: $24 + 36 = 60$.

10.Podział proporcjonalny za pomocą ułamków

Każda osoba dostaje taki ułamek całości: w liczniku jej liczba części, w mianowniku suma wszystkich części. Np. 84 kg w stosunku $1 : 2 : 4$ (razem 7 części): $\frac{1}{7} \cdot 84 = 12$ kg, $\frac{2}{7} \cdot 84 = 24$ kg, $\frac{4}{7} \cdot 84 = 48$ kg.

11.Jak obliczyć ułamek liczby?

Aby obliczyć ułamek liczby, mnożymy liczbę przez ten ułamek. Przed mnożeniem warto skrócić. Np. $\frac{3}{4} \cdot 28 = 3 \cdot 7 = 21$. Rysunek: całość podzielona na 4 równe części, z których 3 są zamalowane. Ułamek dziesiętny liczby liczymy tak samo: $0{,}4 \cdot 30 = 12$.

12.Jak obliczyć pozostałą część liczby?

Sposób I: obliczamy podaną część i odejmujemy ją od całości. Sposób II: obliczamy, jaki ułamek pozostał, i liczymy ten ułamek liczby. Np. w klasie jest 35 osób, a $\frac{2}{7}$ z nich dojeżdża rowerem: $\frac{2}{7} \cdot 35 = 10$, $35 - 10 = 25$ albo $\frac{5}{7} \cdot 35 = 25$ osób nie dojeżdża rowerem.

13.Jak obliczyć ułamek godziny albo doby?

Najpierw zamieniamy wielkość na mniejsze jednostki, potem mnożymy przez ułamek. Np. $\frac{2}{3}$ h to $\frac{2}{3} \cdot 60$ min $= 40$ min, a $\frac{3}{4}$ doby to $\frac{3}{4} \cdot 24$ h $= 18$ h.

14.Obniżka i podwyżka o ułamek ceny

Przy obniżce o $\frac{1}{5}$ obliczamy $\frac{1}{5}$ ceny i odejmujemy od ceny albo od razu liczymy $\frac{4}{5}$ ceny. Np. 45 zł obniżone o $\frac{1}{5}$: $\frac{1}{5} \cdot 45 = 9$ zł, $45 - 9 = 36$ zł. Przy podwyżce dodajemy: 45 zł podniesione o $\frac{1}{5}$ to $45 + 9 = 54$ zł.

15.Jak obliczyć, jaką częścią całości jest dana liczba?

Zapisujemy ułamek: część w liczniku, całość w mianowniku, i skracamy go. Gdy całość składa się z kilku grup, najpierw je dodajemy. Np. w trzech klasach jest 20, 25 i 15 osób, razem 60. Pierwsza klasa stanowi $\frac{20}{60} = \frac{1}{3}$ wszystkich uczniów.

16.Jaką częścią większej jednostki jest mniejsza?

Zapisujemy obie wielkości w tych samych jednostkach i tworzymy ułamek. Np. 20 min to $\frac{20}{60} = \frac{1}{3}$ h, 6 h to $\frac{6}{24} = \frac{1}{4}$ doby, a 250 g to $\frac{250}{1000} = \frac{1}{4}$ kg.

17.Jak obliczyć całość, gdy znamy jej ułamek o liczniku 1?

Gdy $\frac{1}{n}$ całości ma pewną wartość, to całość jest $n$ razy większa. Np. $\frac{1}{6}$ klasy to 5 osób, więc cała klasa liczy $6 \cdot 5 = 30$ osób.

18.Jak obliczyć całość, gdy znamy dowolny jej ułamek?

Najpierw obliczamy jedną część - dzielimy wartość przez licznik. Potem obliczamy całość - mnożymy jedną część przez mianownik. Np. $\frac{2}{5}$ trasy to 14 km: $\frac{1}{5}$ trasy to $14 : 2 = 7$ km, a cała trasa to $5 \cdot 7 = 35$ km.

19.Jak obliczyć całość, gdy znamy jej ułamek dziesiętny?

Ułamek dziesiętny zamieniamy na ułamek zwykły i skracamy. Potem obliczamy jedną część, a z niej całość. Np. $0{,}15$ kwoty to 45 zł: $0{,}15 = \frac{15}{100} = \frac{3}{20}$, $\frac{1}{20}$ kwoty to $45 : 3 = 15$ zł, a cała kwota to $20 \cdot 15 = 300$ zł.

20.Jak obliczyć całość, gdy znamy część, która pozostała?

Najpierw obliczamy, jaki ułamek pozostał: od 1 odejmujemy ułamek, który ubył. Potem z pozostałej części obliczamy całość. Np. z beczki wylano $\frac{2}{3}$ wody i zostało 40 l. Zostało $1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ wody, więc w beczce było $3 \cdot 40 = 120$ l.

21.Jeden procent

Jeden procent pewnej wielkości to jej jedna setna. Oznaczamy go symbolem 1%: $1\% = \frac{1}{100} = 0{,}01$. Ogólnie $p\% = \frac{p}{100}$, np. $7\% = \frac{7}{100}$, a $100\%$ to cała wielkość.

22.Procent zawsze dotyczy jakiejś wielkości

Procent zawsze jest powiązany z jakąś wielkością - mówi, jaką część tej wielkości stanowi dana ilość. Ten sam procent różnych wielkości to różne ilości: $20\%$, czyli $\frac{1}{5}$ klasy liczącej 25 osób, to 5 osób, a $20\%$ klasy liczącej 30 osób to 6 osób.

23.Jak zamienić procent na ułamek zwykły i dziesiętny?

Procent zapisujemy jako ułamek o mianowniku 100 i w razie potrzeby skracamy go albo wyłączamy całości. Np. $35\% = \frac{35}{100} = \frac{7}{20} = 0{,}35$, $140\% = \frac{140}{100} = 1\frac{2}{5} = 1{,}4$.

24.Jak zamienić procent z przecinkiem na ułamek?

Zapisujemy ułamek o mianowniku 100 i rozszerzamy go (przez 10, 100 itd.), aby licznik był liczbą naturalną. Potem skracamy. Np. $12{,}5\% = \frac{12{,}5}{100} = \frac{125}{1000} = 0{,}125 = \frac{1}{8}$, $0{,}3\% = \frac{0{,}3}{100} = \frac{3}{1000} = 0{,}003$.

25.Szybka zamiana procentu na ułamek dziesiętny i odwrotnie

Zamieniając procent na ułamek dziesiętny, dzielimy liczbę przez 100, czyli przesuwamy przecinek o dwa miejsca w lewo, i pomijamy znak %: $8\%$ to $0{,}08$, $0{,}5\%$ to $0{,}005$. Zamieniając ułamek dziesiętny na procent, mnożymy przez 100, czyli przesuwamy przecinek o dwa miejsca w prawo, i dopisujemy znak %: $0{,}46$ to $46\%$, $1{,}2$ to $120\%$, $0{,}035$ to $3{,}5\%$.

26.Jak zamienić ułamek zwykły na procent?

Najczęściej rozszerzamy albo skracamy ułamek tak, aby miał mianownik 100. Licznik pokazuje wtedy liczbę procent. Np. $\frac{3}{20} = \frac{15}{100} = 15\%$, $\frac{9}{25} = \frac{36}{100} = 36\%$, $\frac{12}{200} = \frac{6}{100} = 6\%$.

27.Jak zamienić na procent ułamek, którego nie da się zapisać z mianownikiem 100?

Dzielimy licznik przez mianownik, wynik zaokrąglamy, np. do części tysięcznych, i zamieniamy na procent. Np. $\frac{5}{12} = 0{,}4166\ldots \approx 0{,}417$, czyli około $41{,}7\%$, a $\frac{2}{7} = 0{,}2857\ldots \approx 0{,}286$, czyli około $28{,}6\%$.

28.Przeliczenia ułamków na procenty, które warto zapamiętać

$\frac{1}{4} = 25\%$, $\frac{1}{3} = 33\frac{1}{3}\% \approx 33\%$, $\frac{1}{2} = 50\%$, $\frac{2}{3} = 66\frac{2}{3}\% \approx 67\%$, $\frac{3}{4} = 75\%$, $1 = 100\%$, $1\frac{1}{2} = 150\%$. Rysunek pokazuje ćwiartkę ($25\%$), połowę ($50\%$) i trzy czwarte koła ($75\%$).

29.Procent większy niż $100\%$

$100\%$ to cała wielkość, więc procent większy niż $100\%$ oznacza więcej niż całość. Np. $250\% = 2{,}5$, czyli dwa i pół raza tyle, ile wynosi cała wielkość. Gdy zebrano 30 kg makulatury zamiast planowanych 20 kg, zebrano $\frac{30}{20} = 1{,}5 = 150\%$ planu.

30.Jak porównać ułamek z procentem?

Zapisujemy obie liczby w tej samej postaci, najlepiej w procentach. Np. co jest większe: $\frac{2}{5}$ czy $38\%$? $\frac{2}{5} = \frac{40}{100} = 40\%$, a $40\% > 38\%$, więc większe jest $\frac{2}{5}$.

31.Jak obliczyć, jakim procentem jednej liczby jest druga?

Najpierw zapisujemy, jaką część pierwszej liczby stanowi druga: drugą liczbę wpisujemy do licznika, a pierwszą do mianownika. Potem ten ułamek wyrażamy w procentach. Np. jakim procentem liczby 25 jest 9? $\frac{9}{25} = \frac{36}{100}$, czyli $36\%$.

32.Ile procent stanowi reszta całości?

Całość to $100\%$. Gdy jedna część stanowi $p\%$ całości, reszta stanowi $100\% - p\%$. Np. gdy dziewczęta to $45\%$ klasy, chłopcy stanowią $100\% - 45\% = 55\%$ klasy.

33.Jaki procent figury zamalowano?

Liczymy, z ilu jednakowych części składa się figura i ile z nich zamalowano, a potem zamieniamy ułamek na procent. Na rysunku zamalowano 7 kratek z 20: $\frac{7}{20} = \frac{35}{100} = 35\%$ figury.

34.Diagram kołowy procentowy

Całe koło to $100\%$, czyli wszystkie dane. Każdy wycinek pokazuje, jaki procent całości stanowi jedna grupa, a wszystkie wycinki razem dają $100\%$. Wycinek $50\%$ to połowa koła, a $25\%$ - ćwiartka. Na rysunku 40 uczniów wybrało ulubiony owoc: jabłko wybrało 14 osób, czyli $\frac{14}{40} = \frac{35}{100} = 35\%$.

35.Jak obliczyć procent z diagramu słupkowego?

Najpierw dodajemy wartości wszystkich słupków - to całość, czyli $100\%$. Potem wartość jednego słupka dzielimy przez całość i zamieniamy na procent. Na rysunku są oceny 25 uczniów: piątkę dostało 5 osób, czyli $\frac{5}{25} = \frac{20}{100} = 20\%$ klasy.

36.Roztwór i stężenie procentowe roztworu

Roztwór powstaje po rozpuszczeniu substancji, np. soli albo cukru, w wodzie. Masa roztworu to masa substancji i masa wody razem. Stężenie procentowe roztworu wskazuje, jakim procentem masy całego roztworu jest masa substancji rozpuszczonej. Np. 12 g cukru i 188 g wody dają 200 g roztworu o stężeniu $\frac{12}{200} = \frac{6}{100} = 6\%$.

37.Przez co dzielimy masę substancji, obliczając stężenie procentowe?

Masę substancji dzielimy przez masę całego roztworu, a nie przez masę wody. Np. 10 g soli i 40 g wody dają 50 g roztworu, więc stężenie wynosi $\frac{10}{50} = \frac{20}{100} = 20\%$, a nie $\frac{10}{40} = 25\%$.