Średnia arytmetyczna w zadaniach z danymi

Średnia arytmetyczna pokazuje przeciętną wartość danych. Można ją sobie wyobrazić jako „wyrównanie” wszystkich liczb do jednej wspólnej wartości.

Liczymy ją w dwóch krokach:

• dodajemy wszystkie dane i otrzymujemy sumę danych,
• sumę dzielimy przez liczbę danych.

$$\text{średnia}=\frac{\text{suma danych}}{\text{liczba danych}}$$

Średnia nie musi być żadną z danych liczb. Nie musi też być liczbą całkowitą, np. średnia liczb $2$ i $3$ to $2{,}5$.

Liczba danych to liczba wszystkich wartości, a nie liczba różnych wartości.

• Wartość, która się powtarza, liczymy tyle razy, ile razy występuje. Dla danych $3$, $3$, $3$, $7$ dzielimy przez $4$: $16:4=4$.
• Zero też jest daną. Dla wyników $0$, $9$, $12$ dzielimy przez $3$: $21:3=7$.

Przed dzieleniem warto policzyć dane jeszcze raz, np. skreślając je po kolei.

Dane często są zapisane w tabeli albo pokazane na diagramie. Najpierw odczytujemy wszystkie wartości, a dopiero potem liczymy.

Przykład: Ola zapisywała, ile stron przeczytała w kolejnych dniach tygodnia: $25$, $30$, $15$, $40$, $20$.

• suma: $25+30+15+40+20=130$,
• liczba danych: $5$ dni,
• średnia: $130:5=26$ stron dziennie.

Na diagramie słupkowym wartość odczytujemy z wysokości słupka. Patrzymy na oś z liczbami i sprawdzamy, co oznacza jedna kratka.

Średnia ma tę samą jednostkę co dane. Średnia mas podanych w kilogramach też jest w kilogramach, a średnia czasów w minutach - w minutach.

Przykład: paczki ważą $3~\mathrm{kg}$, $4~\mathrm{kg}$ i $8~\mathrm{kg}$. Średnia masa to $15:3=5~\mathrm{kg}$.

Po obliczeniu sprawdzamy, czy wynik ma sens. Średnia nie może być mniejsza od najmniejszej danej ani większa od największej. Równa którejś z nich jest tylko wtedy, gdy wszystkie dane są jednakowe.

Średnia zależy od wszystkich danych. Jedna wartość bardzo różna od pozostałych może ją mocno przesunąć.

Przykład: wyniki $6$, $7$, $8$, $7$ mają średnią $28:4=7$. Dopisujemy wynik $32$. Teraz suma wynosi $60$, a średnia $60:5=12$.

Średnia $12$ jest większa od czterech z pięciu wyników. Nie opisuje więc dobrze typowego wyniku w tej grupie.

Bardzo mała wartość działa odwrotnie i obniża średnią. Dlatego wynik trzeba umieć zinterpretować, a nie tylko obliczyć.

Gdy dopiszemy daną równą średniej, średnia się nie zmieni.

Gdy znamy średnią i liczbę danych, możemy odtworzyć sumę danych:

$$\text{suma danych}=\text{średnia}\cdot\text{liczba danych}$$

Zadanie rozwiązujemy krok po kroku. Przykład: średnia pięciu ocen wynosi $4$, a znane są oceny $3$, $5$, $4$, $5$.

• suma wszystkich ocen: $4\cdot5=20$,
• suma znanych ocen: $3+5+4+5=17$,
• brakująca ocena: $20-17=3$.

Na koniec sprawdzamy wynik: $(3+5+4+5+3):5=20:5=4$. Średnia się zgadza.