Matematyka

Pola trójkąta, równoległoboku i trapezu

Zestaw pomaga opanować wzory na pole trójkąta, równoległoboku i trapezu oraz rozumienie, czym są podstawa i wysokość. Uczysz się też rozpoznawać potrzebne dane, dobierać właściwy wzór i uważać na typowe błędy, na przykład mylenie boku z wysokością.

Szkoła podstawowa9 fiszek17 pytań w 2 etapachnotatka

Podcast

Ładuję…

Quizy w tym zestawie

17 pytań w 2 etapach

Odblokujesz je po dodaniu zestawu.

Etap 1
7 fiszek · 9 pytań
Etap 2
2 fiszki · 8 pytań
Powtórka z całości
15 pytań ze wszystkich etapów, po ukończeniu etapów

Karty pracy

Ćwiczenia do wydruku na ten temat

Pole trójkąta i równoległobokuKlasy 5-6

Otwórz kartę pracy

1.Pole figury

Pole figury to miara powierzchni, jaką zajmuje figura. Wynik podajemy w jednostkach kwadratowych, na przykład $cm^2$ , $m^2$ , $a$ , $ha$ .

2.Podstawa figury

Podstawa to bok, do którego odnosimy wysokość. W trójkącie, równoległoboku i trapezie można wybrać różne podstawy, ale wtedy trzeba dobrać odpowiednią wysokość.

3.Wysokość figury

Wysokość to odcinek prostopadły do podstawy, czyli tworzący z nią kąt prosty. Czasem wysokość leży wewnątrz figury, a czasem trzeba ją poprowadzić na zewnątrz.

4.Pole trójkąta

Pole trójkąta obliczamy ze wzoru $P=\frac{a\cdot h}{2}$ , gdzie $a$ to podstawa, a $h$ to wysokość opuszczona na tę podstawę. Najpierw mnożymy podstawę przez wysokość, a potem dzielimy przez $2$ .

5.Pole równoległoboku

Pole równoległoboku obliczamy ze wzoru $P=a\cdot h$ , gdzie $a$ to podstawa, a $h$ to wysokość opuszczona na tę podstawę. Nie mnożymy dwóch dowolnych boków, tylko podstawę i odpowiadającą jej wysokość.

6.Pole trapezu

Pole trapezu obliczamy ze wzoru $P=\frac{(a+b)\cdot h}{2}$ , gdzie $a$ i $b$ są długościami podstaw, a $h$ jest wysokością. Dodajemy obie podstawy, mnożymy przez wysokość i dzielimy przez $2$ .

7.Jednostki pola

Jednostki pola są kwadratowe: $mm^2$ , $cm^2$ , $dm^2$ , $m^2$ , $km^2$ . Jeśli długości są w różnych jednostkach, trzeba je najpierw zamienić na takie same.

8.Wysokość a bok

Wysokość nie zawsze jest bokiem figury. W trójkącie prostokątnym dwa boki mogą być wysokościami, ale w wielu innych figurach wysokość to odcinek narysowany wewnątrz lub na zewnątrz figury.

9.Dobór wzoru

Aby dobrze obliczyć pole, trzeba najpierw rozpoznać figurę, potem wskazać podstawę i odpowiadającą jej wysokość. Dopiero wtedy wybieramy właściwy wzór.

Notatka

Pole i jednostki pola

Pole mówi, jak dużą powierzchnię zajmuje figura. Wynik zapisujemy w jednostkach kwadratowych, np. $\mathrm{cm^2}$ albo $\mathrm{m^2}$ . Do mierzenia pól gruntów służą też ar ( $\mathrm{a}$ ) i hektar ( $\mathrm{ha}$ ).

$1~\mathrm{cm^2}=100~\mathrm{mm^2}$ ,
$1~\mathrm{m^2}=10\,000~\mathrm{cm^2}$ ,
$1~\mathrm{a}=100~\mathrm{m^2}$ , $1~\mathrm{ha}=100~\mathrm{a}$ .

Przed liczeniem wszystkie długości zamieniamy na tę samą jednostkę.

Przykład

Równoległobok: podstawa $2~\mathrm{m}$ , wysokość $50~\mathrm{cm}$ . Liczymy $200\cdot50=10\,000$ , czyli $10\,000~\mathrm{cm^2}=1~\mathrm{m^2}$ .

Podstawa i wysokość

Podstawą może być każdy bok figury. Do wybranej podstawy dobieramy wysokość, która tworzy z nią kąt prosty.

wysokość h opuszczona na podstawę AB

W trójkącie wysokość łączy wierzchołek z prostą zawierającą przeciwległy bok. Trójkąt ma więc trzy podstawy i trzy wysokości.

W równoległoboku i trapezie wysokość to odległość między dwoma równoległymi bokami.

Wysokość może leżeć wewnątrz figury. Bywa też poza nią, np. w trójkącie z kątem rozwartym. Czasem wysokością jest bok: w trójkącie prostokątnym są nimi oba boki przy kącie prostym.

Ważne

Bok pochyły nie jest wysokością. Wysokość zawsze tworzy z podstawą kąt prosty.

Pole równoległoboku

Od równoległoboku można odciąć trójkąt i dołożyć go z drugiej strony. Powstaje prostokąt o tej samej podstawie i wysokości. Dlatego pole równoległoboku liczymy jak pole prostokąta:

$P=a\cdot h$

podstawa a i wysokość h

Przykład: podstawa $12~\mathrm{cm}$ i wysokość $3~\mathrm{cm}$ . Pole wynosi $12\cdot3=36~\mathrm{cm^2}$ .

Ten równoległobok ma też bok $9~\mathrm{cm}$ . Wysokość opuszczona na ten bok ma $4~\mathrm{cm}$ . Wynik się zgadza: $9\cdot4=36~\mathrm{cm^2}$ .

Każda podstawa ma swoją wysokość. Iloczyn podstawy i jej wysokości daje zawsze to samo pole.

Pole trójkąta

Dwa jednakowe trójkąty można złożyć w równoległobok o tej samej podstawie i wysokości. Trójkąt jest więc połową takiego równoległoboku:

$P=\frac{a\cdot h}{2}$

Przykład: podstawa $11~\mathrm{cm}$ i wysokość $4~\mathrm{cm}$ . Liczymy $11\cdot4=44$ , a potem $44:2=22$ . Pole wynosi $22~\mathrm{cm^2}$ .

W trójkącie prostokątnym jeden bok przy kącie prostym jest podstawą, a drugi wysokością. Dla boków $6~\mathrm{cm}$ i $7~\mathrm{cm}$ pole wynosi $\frac{6\cdot7}{2}=21~\mathrm{cm^2}$ .

trójkąt prostokątny: boki przy kącie prostym

Zapamiętaj

Trójkąt: $P=\frac{a\cdot h}{2}$ . Równoległobok: $P=a\cdot h$ . Trapez: $P=\frac{(a+b)\cdot h}{2}$ .

Pole trapezu

Trapez ma dwie podstawy $a$ i $b$ , czyli dwa boki równoległe. Wysokość $h$ to odległość między nimi.

Dwa jednakowe trapezy, z których jeden obrócimy, składają się w równoległobok. Jego podstawa ma długość $a+b$ . Stąd wzór:

$P=\frac{(a+b)\cdot h}{2}$

podstawy a i b, wysokość h

Przykład: podstawy $8~\mathrm{cm}$ i $3~\mathrm{cm}$ , wysokość $6~\mathrm{cm}$ .

dodajemy podstawy: $8+3=11$ ,
mnożymy przez wysokość: $11\cdot6=66$ ,
dzielimy przez $2$ : $66:2=33$ .

Pole wynosi $33~\mathrm{cm^2}$ .

Gdy znamy pole, a szukamy boku

Wzór można wykorzystać także „od końca”. Wtedy szukamy podstawy albo wysokości.

Równoległobok: dzielimy pole przez znaną długość. Gdy $P=56~\mathrm{cm^2}$ i $h=7~\mathrm{cm}$ , to $a=56:7=8~\mathrm{cm}$ .
Trójkąt: najpierw mnożymy pole przez $2$ , potem dzielimy przez znaną długość. Gdy $P=35~\mathrm{cm^2}$ i $h=7~\mathrm{cm}$ , to $a=70:7=10~\mathrm{cm}$ .