Liczby pierwsze, złożone i rozkład na czynniki pierwsze

O tym, do której grupy należy liczba, decyduje liczba jej dzielników.

• liczba pierwsza ma dokładnie dwa dzielniki: $1$ i samą siebie, np. $23$ (dzielniki $1$ i $23$),
• liczba złożona ma więcej niż dwa dzielniki, np. $35$ (dzielniki $1, 5, 7, 35$),
• liczba $1$ ma tylko jeden dzielnik, więc nie jest ani pierwsza, ani złożona.

Liczba $2$ jest jedyną parzystą liczbą pierwszą. Każda większa liczba parzysta dzieli się przez $2$, więc jest złożona.

Dzielników najwygodniej szukać w parach. Każdy dzielnik ma parę, z którą daje w iloczynie badaną liczbę.

Szukamy dzielników liczby $28$:

• $28=1\cdot28$,
• $28=2\cdot14$,
• $28=4\cdot7$.

Liczby $3, 5, 6$ nie dzielą $28$ bez reszty. Po $7$ pary zaczęłyby się powtarzać, więc kończymy.

Dzielniki $28$ to: $1, 2, 4, 7, 14, 28$. Jest ich więcej niż dwa, więc $28$ jest liczbą złożoną.

Cechy podzielności pozwalają sprawdzić podzielność bez wykonywania dzielenia.

Liczba $241$ nie dzieli się przez $3$, bo suma cyfr wynosi $7$.

Liczba podzielna przez $10$ dzieli się też przez $2$ i przez $5$. Liczba $405$ dzieli się i przez $5$, i przez $3$, bo $4+0+5=9$.

Rozkład na czynniki pierwsze to zapis liczby złożonej jako iloczynu samych liczb pierwszych.

Dzielimy liczbę po kolei przez najmniejszą liczbę pierwszą, przez którą się dzieli. Pomagają w tym cechy podzielności.

W drzewku rozkładu postępujemy podobnie. Na końcu każdej gałęzi musi stać liczba pierwsza.

Zapis $28=4\cdot7$ nie jest rozkładem na czynniki pierwsze, bo $4$ jest liczbą złożoną. Liczby $1$ nie wpisujemy do rozkładu.

Rozkład wychodzi ten sam niezależnie od tego, od którego dzielnika zaczniemy.

$NWD$ to największa liczba, przez którą dzielą się bez reszty wszystkie dane liczby.

Sposób pierwszy: wypisujemy dzielniki obu liczb i wybieramy największy wspólny.

Sposób drugi: rozkładamy liczby na czynniki pierwsze. Mnożymy czynniki wspólne - każdy tyle razy, ile razy występuje w obu rozkładach.

• $24=2\cdot2\cdot2\cdot3$,
• $36=2\cdot2\cdot3\cdot3$,
• wspólne czynniki to $2$, $2$ i $3$, więc $NWD(24,36)=2\cdot2\cdot3=12$.

$NWD$ przydaje się przy skracaniu ułamków. Na przykład $\frac{24}{36}$ skracamy przez $12$ i od razu dostajemy ułamek nieskracalny.

Wielokrotność liczby powstaje, gdy mnożymy ją przez $1, 2, 3$ i dalej. $NWW$ to najmniejsza dodatnia liczba, która jest wielokrotnością każdej z danych liczb.

Szukamy $NWW(6,8)$:

• wielokrotności $6$: $6, 12, 18, 24, 30$,
• wielokrotności $8$: $8, 16, 24, 32$,
• pierwsza wspólna to $24$, więc $NWW(6,8)=24$.

Ten sam wynik daje rozkład: $6=2\cdot3$, $8=2\cdot2\cdot2$. Bierzemy każdy czynnik tyle razy, ile razy najczęściej występuje w jednym rozkładzie: $2\cdot2\cdot2\cdot3=24$.