Pola trójkąta, trapezu i wielokątów - Matematyka z plusem 5

1.Wysokość trójkąta

Wysokość trójkąta to odcinek, który łączy wierzchołek z przeciwległym bokiem (lub jego przedłużeniem) i jest do tego boku prostopadły. Wysokością nazywamy też długość tego odcinka. Bok, do którego prowadzimy wysokość, to podstawa. Na rysunku wysokość $h$ poprowadzono z wierzchołka C do podstawy AB.

2.Ile wysokości ma trójkąt?

Każdy trójkąt ma trzy wysokości, po jednej z każdego wierzchołka, bo każdy bok może być podstawą. W trójkącie prostokątnym dwie wysokości to przyprostokątne. W trójkącie rozwartokątnym dwie wysokości leżą poza trójkątem i dochodzą do przedłużeń boków. Na rysunku są trzy wysokości trójkąta ostrokątnego.

3.Wysokość trójkąta rozwartokątnego

W trójkącie rozwartokątnym wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta ostrego nie trafia w przeciwległy bok. Przedłużamy wtedy ten bok linią przerywaną i prowadzimy wysokość do jego przedłużenia. Ten bok też nazywamy podstawą, a pole obliczamy tym samym wzorem. Na rysunku wysokość $h$ z wierzchołka C dochodzi do przedłużenia podstawy AB.

4.Wzór na pole trójkąta

$P = \frac{a \cdot h}{2}$. $a$ to długość podstawy, a $h$ to wysokość poprowadzona do tej podstawy, obie w tej samej jednostce. Z dwóch jednakowych trójkątów można złożyć równoległobok o podstawie $a$ i wysokości $h$, więc trójkąt ma połowę jego pola. Np. podstawa 11 cm i wysokość 6 cm: $\frac{11 \cdot 6}{2} = 33$, czyli $33~\mathrm{cm^2}$.

5.Pole trójkąta prostokątnego

Przyprostokątne, czyli boki przy kącie prostym, są do siebie prostopadłe. Jedna z nich jest więc wysokością poprowadzoną do drugiej i $P = \frac{a \cdot b}{2}$, gdzie $a$ i $b$ to przyprostokątne. Najdłuższego boku, leżącego naprzeciw kąta prostego, nie mnożymy. Np. trójkąt prostokątny o bokach 9 cm, 12 cm i 15 cm ma pole $\frac{9 \cdot 12}{2} = 54$, czyli $54~\mathrm{cm^2}$.

6.Jak obliczyć wysokość trójkąta, gdy znamy pole i podstawę?

Pole mnożymy przez 2, a wynik dzielimy przez podstawę, bo iloczyn podstawy i wysokości jest 2 razy większy od pola. Tak samo obliczamy podstawę: pole razy 2 dzielimy przez wysokość. Np. trójkąt ma pole $21~\mathrm{cm^2}$ i podstawę 7 cm: $2 \cdot 21 = 42$ i $42 : 7 = 6$, więc wysokość ma 6 cm.

7.Jakie pole ma trójkąt, którego podstawa jest bokiem prostokąta, a trzeci wierzchołek leży na przeciwległym boku?

Połowę pola prostokąta. Podstawą trójkąta jest bok prostokąta, a wysokość jest równa drugiemu bokowi, bo odległość między przeciwległymi bokami prostokąta jest wszędzie taka sama. Np. w prostokącie o wymiarach 9 cm i 4 cm taki trójkąt ma pole $\frac{9 \cdot 4}{2} = 18$, czyli $18~\mathrm{cm^2}$. Tak samo trójkąt zbudowany na boku równoległoboku, z wierzchołkiem na boku przeciwległym, ma połowę pola równoległoboku.

8.Czy różne trójkąty mogą mieć równe pola?

Tak. Trójkąty o równych podstawach i równych wysokościach poprowadzonych do tych podstaw mają równe pola, nawet gdy wyglądają zupełnie inaczej. Np. trójkąt ostrokątny, prostokątny i rozwartokątny o podstawie 7 cm i wysokości 4 cm mają po $14~\mathrm{cm^2}$. Gdy trójkąty mają tę samą wysokość, a podstawa jednego jest 2 razy dłuższa, jego pole jest 2 razy większe.

9.Co nazywamy wysokością trapezu?

Wysokość trapezu to odcinek, który łączy podstawy (lub ich przedłużenia) i jest do nich prostopadły. Wysokością nazywamy też długość tego odcinka. Wszystkie wysokości trapezu mają tę samą długość, bo podstawy są równoległe. Na rysunku wysokość $h$ poprowadzono z wierzchołka D.

10.Wzór na pole trapezu

$P = \frac{(a + b) \cdot h}{2}$. $a$ i $b$ to długości podstaw, a $h$ to wysokość trapezu, wszystkie w tej samej jednostce. Z dwóch jednakowych trapezów można ułożyć równoległobok o podstawie $a + b$ i wysokości $h$, więc trapez ma połowę jego pola. Np. podstawy 10 cm i 6 cm, wysokość 5 cm: $\frac{(10 + 6) \cdot 5}{2} = 40$, czyli $40~\mathrm{cm^2}$.

11.Które ramię trapezu prostokątnego wstawiamy do wzoru jako wysokość?

W trapezie prostokątnym jedno ramię jest prostopadłe do podstaw, więc jest wysokością. Drugie, ukośne ramię jest dłuższe od wysokości i nie wstawiamy go do wzoru. Np. podstawy 8 m i 6 m, ramię prostopadłe do podstaw 5 m: $\frac{(8 + 6) \cdot 5}{2} = 35$, czyli $35~\mathrm{m^2}$. Na rysunku wysokością jest ramię AD.

12.Jak z pola trapezu obliczyć jego wysokość albo podstawę?

Żeby obliczyć wysokość, pole mnożymy przez 2, a wynik dzielimy przez sumę podstaw. Np. trapez ma pole $60~\mathrm{cm^2}$ i podstawy 13 cm i 7 cm: $2 \cdot 60 = 120$, $13 + 7 = 20$ i $120 : 20 = 6$, więc wysokość ma 6 cm. Żeby obliczyć podstawę, gdy znamy pole, wysokość i drugą podstawę, pole mnożymy przez 2 i dzielimy przez wysokość. Wychodzi suma podstaw, od której odejmujemy znaną podstawę.

13.Wzory na pola wielokątów

Prostokąt: $P = a \cdot b$. Kwadrat: $P = a^2$. Równoległobok: $P = a \cdot h$. Romb: $P = \frac{e \cdot f}{2}$ albo $P = a \cdot h$. Trójkąt: $P = \frac{a \cdot h}{2}$. Trapez: $P = \frac{(a + b) \cdot h}{2}$. Wysokość jest zawsze prostopadła do podstawy, a wszystkie długości muszą być w tej samej jednostce.

14.Jak obliczyć pole wielokąta, dzieląc go na części?

Dzielimy wielokąt na figury, których pola umiemy obliczyć, np. prostokąty, trójkąty i trapezy. Obliczamy pole każdej części i dodajemy wyniki. Np. pięciokąt ABCDE na rysunku (bok kratki 1 cm) dzielimy odcinkiem EC na prostokąt ABCE o wymiarach 6 cm i 4 cm oraz trójkąt ECD o podstawie 6 cm i wysokości 3 cm: $6 \cdot 4 + \frac{6 \cdot 3}{2} = 24 + 9 = 33$, czyli $33~\mathrm{cm^2}$.

15.Jak obliczyć pole wielokąta przez odejmowanie?

Uzupełniamy wielokąt do prostokąta, obliczamy pole prostokąta i odejmujemy pola części, które do wielokąta nie należą. Np. trójkąt ABC na rysunku (bok kratki 1 cm) leży w prostokącie o wymiarach 6 cm i 5 cm, czyli o polu $30~\mathrm{cm^2}$. W rogach zostają trójkąty prostokątne ADB, BEC i CFA. Ich pola to $\frac{6 \cdot 2}{2} = 6$, $\frac{3 \cdot 4}{2} = 6$ i $\frac{2 \cdot 5}{2} = 5$, więc $P = 30 - 6 - 6 - 5 = 13$, czyli $13~\mathrm{cm^2}$.