Pola prostokąta, równoległoboku i rombu - Matematyka z plusem 5

1.Pole figury

Pole figury mówi, ile jednostek pola mieści się w tej figurze. Jednostką może być powierzchnia jednego kwadratu. Np. figura podzielona na 14 jednakowych kwadratów ma pole 14 jednostek, gdy jednostką jest jeden taki kwadrat.

2.Jednostki pola

$1~\mathrm{mm^2}$ (milimetr kwadratowy) to pole kwadratu o boku 1 mm. Tak samo $1~\mathrm{cm^2}$, $1~\mathrm{dm^2}$, $1~\mathrm{m^2}$ i $1~\mathrm{km^2}$ to pola kwadratów o boku 1 cm, 1 dm, 1 m i 1 km. Pole zapisujemy w jednostkach kwadratowych, np. $P = 20~\mathrm{cm^2}$, a obwód w jednostkach długości, np. 18 cm.

3.Wzór na pole prostokąta

$P = a \cdot b$. $P$ oznacza pole, $a$ i $b$ to długości sąsiednich boków prostokąta, wyrażone w tej samej jednostce. Np. prostokąt o bokach 9 cm i 4 cm ma pole $9 \cdot 4 = 36$, czyli $P = 36~\mathrm{cm^2}$.

4.Jak obliczyć pole prostokąta, gdy boki podano w różnych jednostkach?

Najpierw zamieniamy oba wymiary na tę samą jednostkę, a dopiero potem mnożymy. Np. prostokąt ma boki 3 m i 40 cm. Zamieniamy: $3~\mathrm{m} = 300~\mathrm{cm}$. Mnożymy: $300 \cdot 40 = 12\,000$, więc $P = 12\,000~\mathrm{cm^2}$. Iloczyn $3 \cdot 40$ bez zamiany jednostek daje zły wynik.

5.Wzór na pole kwadratu

Kwadrat jest prostokątem o równych bokach, więc jego pole to bok razy bok: $P = a \cdot a$, krócej $P = a^2$ (czytamy: a do kwadratu). Np. kwadrat o boku 30 cm ma pole $30^2 = 30 \cdot 30 = 900$, czyli $900~\mathrm{cm^2}$.

6.Jak obliczyć bok kwadratu, gdy znamy jego pole?

Szukamy liczby, która pomnożona przez siebie daje pole - to jest długość boku. Np. kwadrat ma pole $64~\mathrm{cm^2}$. Ponieważ $8 \cdot 8 = 64$, jego bok ma 8 cm. Teraz łatwo obliczyć obwód: $4 \cdot 8 = 32$, czyli 32 cm.

7.Jak obliczyć pole kwadratu, gdy znamy jego obwód?

Kwadrat ma 4 równe boki, więc obwód dzielimy przez 4 i otrzymujemy bok. Potem mnożymy bok przez bok. Np. obwód 28 cm: $28 : 4 = 7$, więc bok ma 7 cm, a pole $7 \cdot 7 = 49$, czyli $49~\mathrm{cm^2}$.

8.Jak obliczyć drugi bok prostokąta, gdy znamy pole i jeden bok?

Pole prostokąta to iloczyn sąsiednich boków, więc pole dzielimy przez znany bok. Np. prostokąt ma pole $96~\mathrm{m^2}$, a jeden bok ma 8 m: $96 : 8 = 12$, więc drugi bok ma 12 m. Sprawdzamy: $8 \cdot 12 = 96$.

9.Jak obliczyć pole prostokąta, gdy znamy obwód i jeden bok?

Najpierw obliczamy drugi bok: od obwodu odejmujemy dwa razy znany bok, a wynik dzielimy przez 2. Potem mnożymy boki. Np. obwód 34 cm, bok 5 cm: $(34 - 2 \cdot 5) : 2 = 12$, więc drugi bok ma 12 cm, a pole $5 \cdot 12 = 60$, czyli $60~\mathrm{cm^2}$.

10.Jak obliczyć pole figury złożonej z prostokątów?

Dzielimy figurę na prostokąty, obliczamy pole każdego z nich i dodajemy wyniki. Można też uzupełnić figurę do większego prostokąta i od jego pola odjąć pole brakującej części. Np. wokół trawnika o wymiarach 8 m i 6 m biegnie ścieżka szerokości 1 m. Trawnik ze ścieżką to prostokąt 10 m na 8 m, bo z każdej strony przybywa 1 m. Ścieżka ma pole $10 \cdot 8 - 8 \cdot 6 = 32$, czyli $32~\mathrm{m^2}$.

11.Jak zmienia się pole, gdy boki są kilka razy dłuższe?

Gdy bok kwadratu jest 3 razy dłuższy, pole jest $3 \cdot 3 = 9$ razy większe, a nie 3 razy. Np. kwadrat o boku 2 cm ma pole $4~\mathrm{cm^2}$, a kwadrat o boku 6 cm - $36~\mathrm{cm^2}$. Gdy jeden bok prostokąta wydłużymy 5 razy, a drugi 2 razy, pole będzie $5 \cdot 2 = 10$ razy większe.

12.Skąd się biorą zależności między jednostkami pola?

Wynikają z zależności między jednostkami długości. Kwadrat o boku 1 cm, czyli 10 mm, dzielimy na 10 rzędów po 10 kwadracików o boku 1 mm, więc $1~\mathrm{cm^2} = 10 \cdot 10~\mathrm{mm^2} = 100~\mathrm{mm^2}$. Tak samo z $1~\mathrm{dm} = 10~\mathrm{cm}$ wynika $1~\mathrm{dm^2} = 100~\mathrm{cm^2}$, a z $1~\mathrm{m} = 100~\mathrm{cm}$ wynika $1~\mathrm{m^2} = 100 \cdot 100~\mathrm{cm^2} = 10\,000~\mathrm{cm^2}$.

13.Jak zamienić jednostkę pola na mniejszą?

Mnożymy: przez 100 przy zamianie $\mathrm{cm^2}$ na $\mathrm{mm^2}$ i $\mathrm{dm^2}$ na $\mathrm{cm^2}$, a przez $10\,000$ przy zamianie $\mathrm{m^2}$ na $\mathrm{cm^2}$. Np. $8~\mathrm{cm^2} = 800~\mathrm{mm^2}$, $3{,}7~\mathrm{dm^2} = 370~\mathrm{cm^2}$, $0{,}3~\mathrm{m^2} = 3000~\mathrm{cm^2}$. Mnożenie przez 10 to częsty błąd: tak zamieniamy centymetry na milimetry, a nie centymetry kwadratowe na milimetry kwadratowe.

14.Jak zamienić jednostkę pola na większą?

Dzielimy: przez 100 przy zamianie $\mathrm{mm^2}$ na $\mathrm{cm^2}$ i $\mathrm{cm^2}$ na $\mathrm{dm^2}$, a przez $10\,000$ przy zamianie $\mathrm{cm^2}$ na $\mathrm{m^2}$. Np. $900~\mathrm{mm^2} = 9~\mathrm{cm^2}$, $250~\mathrm{cm^2} = 2{,}5~\mathrm{dm^2}$, $40\,000~\mathrm{cm^2} = 4~\mathrm{m^2}$.

15.Ar

Ar (w skrócie a) to jednostka pola, której używamy do określania powierzchni działek i gruntów. 1 a to pole kwadratu o boku 10 m, więc $1~\mathrm{a} = 10 \cdot 10~\mathrm{m^2} = 100~\mathrm{m^2}$.

16.Hektar

Hektar (w skrócie ha) to jednostka pola, której używamy np. do określania powierzchni pól uprawnych. 1 ha to pole kwadratu o boku 100 m, więc $1~\mathrm{ha} = 100 \cdot 100~\mathrm{m^2} = 10\,000~\mathrm{m^2}$. Hektar to także 100 arów: $1~\mathrm{ha} = 100~\mathrm{a}$.

17.Jak zamieniać ary i hektary?

Na mniejszą jednostkę mnożymy, a na większą dzielimy. Korzystamy z równości $1~\mathrm{a} = 100~\mathrm{m^2}$, $1~\mathrm{ha} = 100~\mathrm{a}$ i $1~\mathrm{ha} = 10\,000~\mathrm{m^2}$. Np. $7~\mathrm{a} = 700~\mathrm{m^2}$, $2~\mathrm{ha} = 200~\mathrm{a} = 20\,000~\mathrm{m^2}$, $3600~\mathrm{m^2} = 36~\mathrm{a}$, $60\,000~\mathrm{m^2} = 6~\mathrm{ha}$.

18.Wysokość równoległoboku

Wysokość równoległoboku to odcinek, który łączy dwa boki równoległe (lub ich przedłużenia) i jest do nich prostopadły. Wysokością nazywamy też długość tego odcinka. Bok, do którego prowadzimy wysokość, to podstawa. Z każdego wierzchołka można poprowadzić dwie wysokości. Na rysunku wysokość $h$ poprowadzono z wierzchołka D do podstawy AB.

19.Wysokość poprowadzona do przedłużenia podstawy

Czasem odcinek prostopadły, poprowadzony z wierzchołka, nie trafia w przeciwległy bok. Wtedy przedłużamy ten bok linią przerywaną i prowadzimy wysokość do jego przedłużenia. Ten bok również nazywamy podstawą, a pole obliczamy tym samym wzorem. Na rysunku wysokość $h$ z wierzchołka D trafia w przedłużenie podstawy AB.

20.Wzór na pole równoległoboku

$P = a \cdot h$. $a$ to długość podstawy, a $h$ to wysokość poprowadzona do tej podstawy, obie w tej samej jednostce. Wzór wynika z tego, że równoległobok przecięty wzdłuż wysokości można złożyć w prostokąt o bokach $a$ i $h$. Np. podstawa 9 cm i wysokość 5 cm: $P = 9 \cdot 5 = 45$, czyli $45~\mathrm{cm^2}$.

21.Czy pole równoległoboku to iloczyn jego boków?

Nie. Mnożymy podstawę przez wysokość, a nie przez drugi bok. W równoległoboku, który nie jest prostokątem, ukośny bok jest dłuższy od wysokości, więc iloczyn boków daje za duży wynik. Np. równoległobok ma boki 11 cm i 6 cm, a wysokość poprowadzona do boku 11 cm ma 4 cm. Jego pole to $11 \cdot 4 = 44$, czyli $44~\mathrm{cm^2}$, a nie $11 \cdot 6 = 66$.

22.Jak obliczyć wysokość równoległoboku, gdy znamy pole i podstawę?

Pole to iloczyn podstawy i wysokości, więc wysokość obliczamy, dzieląc pole przez podstawę. Tak samo podstawę obliczamy, dzieląc pole przez wysokość. Np. równoległobok ma pole $56~\mathrm{cm^2}$ i podstawę 8 cm, więc wysokość poprowadzona do tej podstawy ma $56 : 8 = 7$ cm.

23.Jak obliczyć drugą wysokość równoległoboku?

Pole równoległoboku jest takie samo, bez względu na to, który bok weźmiemy za podstawę. Najpierw obliczamy pole z jednej podstawy i jej wysokości, a potem dzielimy je przez drugi bok. Np. boki mają 12 cm i 8 cm, a wysokość poprowadzona do boku 12 cm ma 4 cm: $P = 12 \cdot 4 = 48$, więc wysokość poprowadzona do boku 8 cm ma $48 : 8 = 6$ cm.

24.Czy różne równoległoboki mogą mieć równe pola?

Tak. Równoległoboki o równych podstawach i równych wysokościach mają równe pola, nawet gdy są różnie pochylone. Np. każdy równoległobok o podstawie 6 cm i wysokości 3 cm ma pole $18~\mathrm{cm^2}$, tak samo jak prostokąt o wymiarach 6 cm i 3 cm.

25.Jak obliczyć pole rombu, gdy znamy bok i wysokość?

Romb jest równoległobokiem, więc jego pole obliczamy ze wzoru $P = a \cdot h$, gdzie $a$ to bok rombu, a $h$ to jego wysokość. Wszystkie boki rombu są równe, więc jego obwód to $4 \cdot a$. Np. romb o boku 6 cm i wysokości 5 cm ma pole $6 \cdot 5 = 30$, czyli $30~\mathrm{cm^2}$, a obwód $4 \cdot 6 = 24$, czyli 24 cm.

26.Wzór na pole rombu z przekątnych

$P = \frac{e \cdot f}{2}$, gdzie $e$ i $f$ to długości przekątnych rombu w tej samej jednostce. Przekątne rombu są prostopadłe i przecinają się w połowie, więc z dwóch jednakowych rombów można ułożyć prostokąt o bokach $e$ i $f$. Jeden romb ma połowę pola tego prostokąta. Np. przekątne 8 cm i 14 cm: $\frac{8 \cdot 14}{2} = 56$, czyli $56~\mathrm{cm^2}$. Na rysunku przekątne to AC i BD.

27.Jak obliczyć pole rombu, gdy znamy połowy przekątnych?

Punkt przecięcia dzieli każdą przekątną rombu na dwie równe części. Gdy znamy te połowy, najpierw je podwajamy, a potem korzystamy ze wzoru $P = \frac{e \cdot f}{2}$. Np. połowy przekątnych mają 4 cm i 5 cm, więc przekątne mają 8 cm i 10 cm, a pole $\frac{8 \cdot 10}{2} = 40$, czyli $40~\mathrm{cm^2}$.

28.Jak obliczyć pole kwadratu z przekątnej, korzystając ze wzoru na pole rombu?

Kwadrat jest rombem, więc możemy użyć wzoru na pole rombu. Obie przekątne kwadratu mają tę samą długość, dlatego przekątną mnożymy przez nią samą i dzielimy przez 2. Np. kwadrat o przekątnej 10 cm ma pole $\frac{10 \cdot 10}{2} = 50$, czyli $50~\mathrm{cm^2}$.

29.Jak obliczyć przekątną rombu, gdy znamy pole i drugą przekątną?

Iloczyn przekątnych jest 2 razy większy od pola. Dlatego pole mnożymy przez 2, a wynik dzielimy przez znaną przekątną. Np. romb ma pole $35~\mathrm{cm^2}$ i przekątną 10 cm: $2 \cdot 35 = 70$ i $70 : 10 = 7$, więc druga przekątna ma 7 cm.