Objętość prostopadłościanu, litry i mililitry - Matematyka z plusem 5

1.Objętość

Objętość mówi, ile miejsca zajmuje bryła. O naczyniu mówimy, że ma pojemność - to objętość tego, co się w nim mieści. Objętości dwóch brył możemy porównać, gdy wypełnimy je szczelnie jednakowymi sześcianami: większą objętość ma ta bryła, w której mieści się więcej sześcianów.

2.Objętość bryły zbudowanej z sześcianów

Gdy bryła jest zbudowana z jednakowych sześcianów, jej objętość możemy podać w tych sześcianach: bryła z 10 sześcianów ma objętość 10 jednostek. Gdy sześciany mają krawędź 1 cm, objętość tej bryły to $10~\mathrm{cm^3}$. Gdy każdy sześcian ma objętość $5~\mathrm{cm^3}$, objętość bryły to $10 \cdot 5 = 50~(\mathrm{cm^3})$.

3.Jednostki objętości

Jednostki objętości to objętości sześcianów o krawędzi 1 mm, 1 cm, 1 dm, 1 m albo 1 km. $1~\mathrm{mm^3}$ (milimetr sześcienny) to objętość sześcianu o krawędzi 1 mm, a $1~\mathrm{cm^3}$ (centymetr sześcienny) - sześcianu o krawędzi 1 cm. Tak samo określamy $1~\mathrm{dm^3}$ (decymetr sześcienny), $1~\mathrm{m^3}$ (metr sześcienny) i $1~\mathrm{km^3}$ (kilometr sześcienny).

4.Jak dobrać jednostkę objętości?

Małe objętości podajemy w małych jednostkach, a duże - w dużych. Objętość ziarnka piasku podamy w $\mathrm{mm^3}$, gumki do mazania - w $\mathrm{cm^3}$, plecaka - w $\mathrm{dm^3}$, pokoju albo ciężarówki - w $\mathrm{m^3}$, a wody w dużym jeziorze - w $\mathrm{km^3}$.

5.Jak policzyć sześciany w prostopadłościanie?

Najpierw liczymy sześciany w jednej warstwie: liczbę sześcianów w rzędzie mnożymy przez liczbę rzędów. Potem mnożymy to przez liczbę warstw. Prostopadłościan o długości 5 sześcianów, szerokości 3 sześcianów i wysokości 2 sześcianów ma w warstwie $5 \cdot 3 = 15$ sześcianów, a razem $15 \cdot 2 = 30$ sześcianów.

6.Objętość prostopadłościanu

Objętość prostopadłościanu jest równa iloczynowi długości krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka: $V = a \cdot b \cdot c$. Długości krawędzi muszą być wyrażone w tej samej jednostce. Prostopadłościan o krawędziach 7 cm, 4 cm i 3 cm: $7 \cdot 4 \cdot 3 = 84$, więc $V = 84~\mathrm{cm^3}$.

7.Objętość sześcianu

Wszystkie krawędzie sześcianu są równe, więc jego objętość to $a \cdot a \cdot a$, czyli $V = a^3$, gdzie $a$ to długość krawędzi. Sześcian o krawędzi 3 dm: $3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$, więc $V = 27~\mathrm{dm^3}$. Uwaga: $3^3$ to nie $3 \cdot 3$ ani $3 + 3 + 3$.

8.Objętość, gdy krawędzie podano w różnych jednostkach

Przed mnożeniem zamieniamy wszystkie długości na tę samą jednostkę. Np. prostopadłościan ma krawędzie 2 dm, 15 cm i 4 cm. Ponieważ $2~\mathrm{dm} = 20~\mathrm{cm}$, to $20 \cdot 15 \cdot 4 = 1200$, więc $V = 1200~\mathrm{cm^3}$. Gdyby pomnożyć $2 \cdot 15 \cdot 4$, wyszedłby zły wynik 120.

9.Jak obliczyć krawędź prostopadłościanu, gdy znamy objętość?

Mnożymy dwie znane krawędzie wychodzące z jednego wierzchołka, a potem objętość dzielimy przez ten iloczyn. Np. prostopadłościan ma objętość $60~\mathrm{cm^3}$, a dwie jego krawędzie mają 3 cm i 4 cm. Trzecia krawędź ma $60 : (3 \cdot 4) = 60 : 12 = 5$ (cm).

10.Jak obliczyć krawędź sześcianu, gdy znamy objętość?

Szukamy takiej liczby $a$, że $a \cdot a \cdot a$ jest równe objętości. Np. sześcian o objętości $1000~\mathrm{cm^3}$ ma krawędź 10 cm, bo $10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$. Objętości nie dzielimy przez 3.

11.Objętość bryły złożonej z prostopadłościanów

Gdy bryła składa się z kilku prostopadłościanów, dodajemy ich objętości. Gdy z bryły coś wycięto, od objętości całej bryły odejmujemy objętość wyciętej części. Np. z sześcianu o krawędzi 6 cm wycięto prostopadłościan o krawędziach 2 cm, 3 cm i 6 cm: $6^3 - 2 \cdot 3 \cdot 6 = 216 - 36 = 180$, więc bryła ma objętość $180~\mathrm{cm^3}$.

12.Litr

Litr (w skrócie l) to jednostka objętości, której często używamy przy płynach i pojemności naczyń. 1 litr to tyle samo co objętość sześcianu o krawędzi 1 dm: $1~\mathrm{l} = 1~\mathrm{dm^3}$. Dlatego $7~\mathrm{dm^3} = 7~\mathrm{l}$, a $2{,}8~\mathrm{l} = 2{,}8~\mathrm{dm^3}$.

13.Mililitr

Mililitr (w skrócie ml) to objętość 1000 razy mniejsza niż 1 litr: $1~\mathrm{l} = 1000~\mathrm{ml}$. W mililitrach podajemy małe objętości płynów, np. lekarstwa albo perfum. Np. $2~\mathrm{l} = 2000~\mathrm{ml}$, a $0{,}4~\mathrm{l} = 400~\mathrm{ml}$.

14.Ile centymetrów sześciennych ma decymetr sześcienny?

$1~\mathrm{dm} = 10~\mathrm{cm}$, więc w sześcianie o krawędzi 1 dm mieści się $10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$ sześcianików o krawędzi 1 cm: $1~\mathrm{dm^3} = 1000~\mathrm{cm^3}$. Na dnie jest warstwa $10 \cdot 10 = 100$ sześcianików, a takich warstw jest 10.

15.Ile litrów ma metr sześcienny?

$1~\mathrm{m} = 10~\mathrm{dm}$, więc $1~\mathrm{m^3} = 10 \cdot 10 \cdot 10~\mathrm{dm^3} = 1000~\mathrm{dm^3}$. Ponieważ $1~\mathrm{dm^3} = 1~\mathrm{l}$, to $1~\mathrm{m^3} = 1000~\mathrm{l}$. Np. zbiornik o pojemności $3~\mathrm{m^3}$ mieści 3000 l wody.

16.Mililitr a centymetr sześcienny

$1~\mathrm{l} = 1000~\mathrm{ml}$ i $1~\mathrm{l} = 1~\mathrm{dm^3} = 1000~\mathrm{cm^3}$, więc $1000~\mathrm{ml} = 1000~\mathrm{cm^3}$, czyli $1~\mathrm{ml} = 1~\mathrm{cm^3}$. Np. buteleczka o pojemności 40 ml mieści $40~\mathrm{cm^3}$ płynu.

17.Jak zamieniać jednostki objętości?

$1~\mathrm{m^3} = 1000~\mathrm{dm^3}$ i $1~\mathrm{dm^3} = 1000~\mathrm{cm^3}$ - te jednostki różnią się 1000 razy, a nie 10 razy jak metr, decymetr i centymetr, bo $10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$. Zamieniając na mniejszą jednostkę, mnożymy przez 1000: $4~\mathrm{dm^3} = 4000~\mathrm{cm^3}$. Zamieniając na większą, dzielimy przez 1000: $3200~\mathrm{cm^3} = 3{,}2~\mathrm{dm^3}$.

18.Jak wyrazić objętość prostopadłościanu w litrach?

Najwygodniej zamienić długości krawędzi na decymetry, bo $1~\mathrm{dm^3} = 1~\mathrm{l}$. Np. skrzynia ma wymiary 40 cm, 30 cm i 6 dm, czyli 4 dm, 3 dm i 6 dm. Jej objętość: $4 \cdot 3 \cdot 6 = 72$, czyli $72~\mathrm{dm^3} = 72~\mathrm{l} = 72\,000~\mathrm{ml}$.

19.Ile waży woda?

1 ml wody waży 1 g, a 1 l wody waży 1 kg. Masę wody łatwo więc obliczyć z jej objętości: 12 l wody waży 12 kg, a 350 ml wody waży 350 g.

20.Ile wody jest w naczyniu wypełnionym do pewnej wysokości?

Woda w naczyniu w kształcie prostopadłościanu też ma kształt prostopadłościanu. Jego wysokością jest wysokość wody, a nie wysokość naczynia. Np. akwarium ma dno o wymiarach 5 dm i 3 dm, a woda sięga do wysokości 2 dm: $5 \cdot 3 \cdot 2 = 30$, więc wody jest $30~\mathrm{dm^3}$, czyli 30 l.