Liczby całkowite i działania na nich - Matematyka z plusem 5

1.Liczby ujemne

Liczby ujemne to liczby mniejsze od 0. Zapisujemy je ze znakiem minus, np. $-9$ (czytamy: minus dziewięć). Spotykamy je np. przy temperaturze: $-9^\circ\mathrm{C}$ (minus dziewięć stopni Celsjusza) to temperatura o 9 stopni niższa niż $0^\circ\mathrm{C}$.

2.Wysokość nad poziomem morza (n.p.m.)

Wysokość miejsc na Ziemi podajemy względem poziomu morza. Szczyt o wysokości 1600 m n.p.m. leży 1600 m nad poziomem morza. Miejsce położone 15 m poniżej poziomu morza ma wysokość $-15$ m n.p.m.

3.Liczby ujemne na osi liczbowej

Liczby ujemne zaznaczamy na osi liczbowej na lewo od 0, a liczby dodatnie - na prawo od 0. Liczba 0 nie jest ani liczbą dodatnią, ani liczbą ujemną. Na rysunku liczba $-4$ leży 4 jednostki na lewo od zera, a liczba 3 leży 3 jednostki na prawo od zera.

4.Liczby całkowite

Liczby całkowite to liczby naturalne 0, 1, 2, 3, … oraz liczby $-1$, $-2$, $-3$, $-4$ itd. Każda liczba naturalna jest liczbą całkowitą. Liczba $-25$ jest liczbą całkowitą, ale nie jest liczbą naturalną.

5.Jak odczytać liczbę zaznaczoną na osi liczbowej?

Najpierw ustalamy, ile wynosi jeden odstęp między kreskami: sprawdzamy, o ile różnią się dwie podpisane liczby, i dzielimy to przez liczbę odstępów między nimi. Potem liczymy odstępy od podpisanej liczby. Np. gdy między $-20$ a 0 są 4 równe odstępy, każdy ma $20 : 4 = 5$. Kropka 2 odstępy na lewo od $-20$ oznacza $-30$.

6.Jak znaleźć liczbę o kilka większą lub mniejszą od danej?

Liczba o 3 większa leży na osi 3 jednostki na prawo, a liczba o 3 mniejsza - 3 jednostki na lewo. Liczba o 3 większa od $-7$ to $-4$, a liczba o 3 mniejsza od $-7$ to $-10$. Liczba o 6 większa od $-4$ to 2: od $-4$ do 0 są 4 jednostki, a od 0 jeszcze 2.

7.Porównywanie liczb na osi liczbowej

Z dwóch liczb mniejsza jest ta, która leży na osi bardziej na lewo, a większa - ta, która leży bardziej na prawo. Dlatego każda liczba ujemna jest mniejsza od 0 i od każdej liczby dodatniej, np. $-30 < 0$ i $-30 < 2$.

8.Która z dwóch liczb ujemnych jest większa?

Większa jest ta liczba ujemna, która leży bliżej zera. Na rysunku $-1$ leży na prawo od $-6$, więc $-1 > -6$. Tak samo z temperaturą: $-1^\circ\mathrm{C}$ to cieplej niż $-6^\circ\mathrm{C}$. Uwaga: $-6$ jest mniejsze od $-1$, choć 6 jest większe od 1.

9.Liczby przeciwne

Liczby przeciwne leżą na osi liczbowej w tej samej odległości od zera, po przeciwnych stronach zera, np. 6 i $-6$. Liczbą przeciwną do 6 jest $-6$, a liczbą przeciwną do $-6$ jest 6. Liczbą przeciwną do 0 jest 0.

10.Ile liczb całkowitych leży między dwiema liczbami?

Wypisujemy po kolei wszystkie liczby całkowite, które leżą na osi między tymi dwiema liczbami, a potem je liczymy. Np. liczby całkowite większe od $-4$ i mniejsze od 3 to: $-3$, $-2$, $-1$, 0, 1, 2 - jest ich 6. Samych liczb $-4$ i 3 nie liczymy. Nie zapominamy o zerze.

11.Jak obliczyć, o ile zmieniła się temperatura?

Liczymy stopnie na termometrze, przechodząc przez zero. Gdy temperatura wzrosła z $-5^\circ\mathrm{C}$ do $8^\circ\mathrm{C}$, to najpierw wzrosła o 5 stopni do zera, a potem jeszcze o 8 stopni. Razem wzrosła o $5 + 8 = 13$ stopni.

12.Suma liczb przeciwnych

Suma dwóch liczb przeciwnych jest równa 0, np. $(-9) + 9 = 0$ i $23 + (-23) = 0$. Można to sobie wyobrazić jako punkty: 1 punkt dodatni i 1 punkt ujemny to razem 0 punktów.

13.Dodawanie dwóch liczb ujemnych

Suma dwóch liczb ujemnych jest liczbą ujemną. Dodajemy liczby bez minusów i przed wynikiem piszemy minus: $(-6) + (-9) = -15$, bo $6 + 9 = 15$. To tak, jakby 6 punktów ujemnych i 9 punktów ujemnych dało razem 15 punktów ujemnych.

14.Dodawanie liczby ujemnej i liczby dodatniej

Punkty dodatnie i ujemne znoszą się parami, a wynik zależy od tego, których punktów było więcej. W sumie $(-13) + 5$ jest 13 punktów ujemnych i 5 dodatnich: 5 par się znosi i zostaje 8 punktów ujemnych, więc $(-13) + 5 = -8$. W sumie $19 + (-7)$ zostaje 12 punktów dodatnich, więc wynik to 12.

15.Dodawanie przez rozłożenie składnika na sumę

Jeden składnik zapisujemy jako sumę tak, żeby powstały liczby przeciwne, które dają razem 0. Np. $12 + (-20) = 12 + (-12) + (-8) = -8$, bo $-20 = (-12) + (-8)$, a $12 + (-12) = 0$. Tak samo $(-15) + 21 = (-15) + 15 + 6 = 6$.

16.Dodawanie kilku liczb całkowitych

Najpierw dodajemy wszystkie składniki dodatnie, potem wszystkie składniki ujemne, a na koniec obliczamy sumę tych dwóch wyników. Np. $(-7) + 10 + (-6) + 5 = 15 + (-13) = 2$.

17.Odejmowanie liczby dodatniej na osi liczbowej

Odjąć liczbę dodatnią to przesunąć się na osi o tyle jednostek w lewo. Np. $3 - 7 = -4$: od 3 idziemy 7 jednostek w lewo, mijamy zero i dochodzimy do $-4$. Tak samo $(-3) - 6 = -9$.

18.Odejmowanie liczb całkowitych

Zamiast odejmować liczbę, możemy dodać liczbę do niej przeciwną. Odjemną zostawiamy bez zmian, a odjemnik zamieniamy na liczbę przeciwną: $5 - 11 = 5 + (-11) = -6$, $(-7) - 4 = (-7) + (-4) = -11$, $8 - (-5) = 8 + 5 = 13$, $(-2) - (-9) = (-2) + 9 = 7$.

19.Dlaczego odjęcie liczby ujemnej zwiększa wynik?

Odjęcie liczby ujemnej to dodanie liczby do niej przeciwnej, czyli dodatniej: $1 - (-4) = 1 + 4 = 5$. Można to sobie wyobrazić jako punkty: gdy zabieramy 4 punkty ujemne, wynik rośnie o 4.

20.Jak obliczyć, o ile jedna liczba jest większa od drugiej?

Od większej liczby odejmujemy mniejszą. Np. tafla jeziora leży na wysokości 90 m n.p.m., a jego dno na wysokości $-25$ m n.p.m. Głębokość jeziora to $90 - (-25) = 90 + 25 = 115$ (m). Tak samo temperatura $7^\circ\mathrm{C}$ jest wyższa od $-4^\circ\mathrm{C}$ o $7 - (-4) = 11$ stopni.

21.Dodawanie i odejmowanie kilku liczb całkowitych

Każde odejmowanie zamieniamy na dodawanie liczby przeciwnej. Potem dodajemy osobno składniki dodatnie i osobno ujemne. Np. $(-6) - 5 + 12 - (-3) = (-6) + (-5) + 12 + 3 = 15 + (-11) = 4$.

22.Mnożenie liczby dodatniej przez liczbę ujemną

Wynik mnożenia liczby dodatniej i ujemnej jest liczbą ujemną. Mnożenie liczby naturalnej przez liczbę ujemną możemy zastąpić dodawaniem: $3 \cdot (-7) = (-7) + (-7) + (-7) = -21$. Kolejność czynników nie zmienia iloczynu, więc $(-7) \cdot 3 = -21$.

23.Mnożenie dwóch liczb ujemnych

Wynik mnożenia dwóch liczb ujemnych jest liczbą dodatnią: $(-4) \cdot (-9) = 36$. Wynika to z reguły: gdy jeden czynnik zamienimy na liczbę do niego przeciwną, iloczyn zmienia znak. Skoro $4 \cdot (-9) = -36$, to $(-4) \cdot (-9) = 36$.

24.Dzielenie liczb całkowitych

Wynik dzielenia liczby dodatniej przez liczbę ujemną (lub ujemnej przez dodatnią) jest liczbą ujemną: $28 : (-4) = -7$, $(-28) : 4 = -7$. Wynik dzielenia liczby ujemnej przez liczbę ujemną jest liczbą dodatnią: $(-28) : (-4) = 7$. Wynik sprawdzamy mnożeniem: $7 \cdot (-4) = -28$.

25.Reguła znaków dla iloczynu i ilorazu

Iloczyn i iloraz dwóch liczb o jednakowych znakach jest liczbą dodatnią, a dwóch liczb o przeciwnych znakach - liczbą ujemną. Liczby dodatnie mają znak plus, choć zwykle go nie piszemy: $+5 = 5$. Gdy mnożymy 0 przez liczbę ujemną albo dzielimy 0 przez liczbę ujemną, wynik to 0.

26.Znak iloczynu kilku liczb

Gdy żaden czynnik nie jest zerem, liczymy czynniki ujemne. Gdy jest ich parzysta liczba (2, 4, 6, …), iloczyn jest dodatni, a gdy nieparzysta (1, 3, 5, …) - ujemny. Np. $(-1) \cdot (-2) \cdot (-3) = -6$, bo czynniki ujemne są trzy. Gdy jednym z czynników jest 0, iloczyn jest równy 0.

27.Kwadrat i sześcian liczby ujemnej

Kwadrat liczby ujemnej jest liczbą dodatnią, a sześcian liczby ujemnej - liczbą ujemną: $(-5)^2 = (-5) \cdot (-5) = 25$, $(-3)^3 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = -27$. Liczbę ujemną potęgujemy razem z minusem, dlatego piszemy ją w nawiasie.

28.Kolejność działań na liczbach całkowitych

Kolejność jest taka sama jak dla liczb naturalnych: najpierw działania w nawiasach, potem potęgowanie, potem mnożenie i dzielenie, a na końcu dodawanie i odejmowanie. Np. $(-4) + 2 \cdot (-5) = (-4) + (-10) = -14$, a $(3 - 7) \cdot (-2) = (-4) \cdot (-2) = 8$.