Ułamki zwykłe i dziesiętne, procenty - Matematyka z plusem 5

Ułamek dziesiętny czytamy jako liczbę dziesiątych, setnych albo tysięcznych i tak samo zapisujemy go jako ułamek zwykły. Na przykład $0{,}48$ to 48 setnych, czyli $\frac{48}{100}$. W mianowniku stoi więc jedynka z tyloma zerami, ile cyfr jest po przecinku.

Otrzymany ułamek skracamy, jeśli to możliwe: $\frac{48}{100} = \frac{12}{25}$. Część całkowita przechodzi bez zmian do liczby mieszanej: $3{,}075 = 3\frac{75}{1000} = 3\frac{3}{40}$.

Ułamek zwykły zamieniamy na dziesiętny jednym z dwóch sposobów.

• Rozszerzanie do mianownika 10, 100 albo 1000: $\frac{21}{25} = \frac{84}{100} = 0{,}84$. W liczbie mieszanej część całkowita zostaje przed przecinkiem: $2\frac{7}{500} = 2\frac{14}{1000} = 2{,}014$.
• Dzielenie licznika przez mianownik, bo kreska ułamkowa zastępuje znak dzielenia: $\frac{7}{16} = 7 : 16 = 0{,}4375$.

Rozszerzanie jest szybkie, gdy łatwo znaleźć liczbę, przez którą trzeba pomnożyć mianownik. Dla $\frac{7}{16}$ trudno ją znaleźć, więc wygodniej jest dzielić.

Częsty błąd to przepisanie licznika i mianownika po przecinku. Ułamek $\frac{7}{16}$ to nie $7{,}16$ ani $0{,}716$.

Nie każdy ułamek zwykły można zamienić na dziesiętny. W dzieleniu $4 : 15$ od pewnego momentu w każdym kroku zostaje reszta 10. Dlatego w wyniku bez końca powtarza się cyfra 6: $\frac{4}{15} = 0{,}2666\ldots$, a dzielenie nigdy się nie kończy. Mówimy, że taki ułamek ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone. Gdy od przecinka powtarza się jedna cyfra, piszemy krótko, np. $\frac{7}{9} = 0{,}777\ldots = 0{,}(7)$.

Aby porównać ułamek zwykły z dziesiętnym, zapisujemy je w tej samej postaci:

• gdy się da, zamieniamy ułamek zwykły na dziesiętny: $\frac{13}{25} = 0{,}52$, a $0{,}52 > 0{,}5$, więc $\frac{13}{25} > 0{,}5$;
• ułamek o rozwinięciu nieskończonym zostawiamy, a dziesiętny zamieniamy na zwykły: $0{,}6 = \frac{3}{5} = \frac{36}{60}$ i $\frac{7}{12} = \frac{35}{60}$, więc $\frac{7}{12} < 0{,}6$.

Gdy w działaniu są ułamki zwykłe i dziesiętne, najpierw zapisujemy je w tej samej postaci. Wybieramy tę, w której liczy się wygodniej:

• ułamek zwykły, który łatwo zamienić, zapisujemy jako dziesiętny: $2{,}5 - \frac{19}{20} = 2{,}5 - 0{,}95 = 1{,}55$;
• gdy ułamek zwykły ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone, zamieniamy ułamek dziesiętny na zwykły: $\frac{2}{9} + 0{,}6 = \frac{2}{9} + \frac{3}{5} = \frac{10}{45} + \frac{27}{45} = \frac{37}{45}$.

Gdy liczba jest ułamkiem dziesiętnym, ułamek tej liczby obliczamy tak samo jak ułamek liczby naturalnej: dzielimy ją przez mianownik i mnożymy przez licznik. Na przykład $\frac{3}{7}$ liczby $1{,}4$ to $1{,}4 : 7 \cdot 3 = 0{,}2 \cdot 3 = 0{,}6$.

Kolejność działań jest taka sama jak na liczbach naturalnych: mnożymy i dzielimy przed dodawaniem i odejmowaniem, np. $0{,}5 + \frac{1}{4} \cdot 0{,}8 = 0{,}5 + 0{,}2 = 0{,}7$.

Słowo procent pochodzi od łacińskiego pro centum, czyli „na sto”. Jeden procent wielkości to jej setna część, a cała wielkość to 100%.

Jeśli ser zawiera 26% białka, to w każdych 100 g sera jest 26 g białka. Białko stanowi więc $\frac{26}{100}$ masy sera, czyli $0{,}26$ tej masy.

Procent nie mówi, ile jest osób czy rzeczy. Pokazuje, jaką część całości stanowi dana grupa. Jeśli 18% uczniów szkoły jeździ na łyżwach, to znaczy, że przeciętnie 18 na każdych 100 uczniów jeździ na łyżwach. Nie wiemy jednak, ilu to uczniów, dopóki nie znamy liczby wszystkich uczniów w szkole.

Procent zamieniamy na ułamek, zapisując go jako ułamek o mianowniku 100. Potem skracamy go albo zapisujemy z przecinkiem: $72\% = \frac{72}{100} = \frac{18}{25} = 0{,}72$.

Aby zamienić ułamek na procent, zapisujemy go w setnych. Licznik ułamka o mianowniku 100 to liczba procentów:

• ułamek zwykły rozszerzamy albo skracamy do mianownika 100: $\frac{13}{20} = \frac{65}{100} = 65\%$, a 57 osób z 300 to $\frac{57}{300} = \frac{19}{100} = 19\%$;
• ułamek dziesiętny zapisujemy w setnych: $0{,}9 = 0{,}90 = \frac{90}{100} = 90\%$.

Na rysunku prostokąt podzielono na 20 równych pól i zamalowano 13 z nich, czyli 65% prostokąta.

Procent wielkości obliczamy tak jak ułamek tej wielkości. Na przykład 25% to czwarta część, więc 25% z 64 kg to $64 : 4 = 16$ kg. Z kolei 10% to dziesiąta część, więc 10% z 450 zł to $450 : 10 = 45$ zł.

Można też liczyć w drugą stronę. Gdy 10% kwoty to $6{,}50$ zł, cała kwota jest 10 razy większa: $10 \cdot 6{,}50 = 65$ zł.

Całość to 100%. Gdy znamy procenty kilku części, brakującą część obliczamy, odejmując ich sumę od 100%. Części podane ułamkami najpierw zamieniamy na procenty. Jeśli $\frac{1}{5}$ trasy pokonano rowerem, $0{,}56$ trasy autobusem, a resztę pieszo, to rowerem i autobusem pokonano razem $20\% + 56\% = 76\%$ trasy. Pieszo pokonano $100\% - 76\% = 24\%$ trasy.

Procent liczymy od tej wielkości, której on dotyczy. Na przykład 50% reszty to połowa reszty, a nie połowa całości.

Diagram kołowy pokazuje, jak całość dzieli się na części. Całe koło przedstawia 100%, a im większy wycinek, tym większy procent.

Diagram na rysunku przedstawia wyniki przykładowej ankiety o ulubionym napoju uczniów. Można z niego odczytać, że:

• herbatę wybrało 25% uczniów, czyli co czwarty uczeń;
• sok i wodę wybrało razem 65% uczniów, czyli ponad połowa;
• sok wybrało $3{,}5$ raza więcej uczniów niż kakao, bo $35 : 10 = 3{,}5$.

Wszystkie części diagramu dają razem 100%: $35\% + 30\% + 25\% + 10\% = 100\%$. Gdy na diagramie brakuje jednej wartości, obliczamy ją, odejmując sumę pozostałych od 100%.