Mnożenie i dzielenie ułamków dziesiętnych - Matematyka z plusem 5

1.Mnożenie ułamka dziesiętnego przez liczbę naturalną

Mnożymy tak jak liczby naturalne, nie patrząc na przecinek. W wyniku oddzielamy przecinkiem od prawej strony tyle cyfr, ile cyfr po przecinku ma ułamek dziesiętny. Np. $4{,}3 \cdot 6$: $43 \cdot 6 = 258$, a $4{,}3$ ma jedną cyfrę po przecinku, więc $4{,}3 \cdot 6 = 25{,}8$.

2.Jak mnożyć ułamek dziesiętny przez liczbę naturalną w pamięci?

Osobno mnożymy część całkowitą i część ułamkową, a potem dodajemy wyniki: $5{,}23 \cdot 3 = 5 \cdot 3 + 0{,}23 \cdot 3 = 15 + 0{,}69 = 15{,}69$. Gdy z części ułamkowej powstaną całości, dodajemy je do części całkowitej: $2{,}6 \cdot 4 = 8 + 2{,}4 = 10{,}4$.

3.Kiedy w iloczynie dopisujemy zera, a kiedy je skreślamy?

Gdy w iloczynie jest za mało cyfr, żeby oddzielić je przecinkiem, z przodu dopisujemy zera: $0{,}03 \cdot 3$: $3 \cdot 3 = 9$, oddzielamy 2 cyfry, więc wynik to $0{,}09$. Zera na końcu części ułamkowej skreślamy dopiero po postawieniu przecinka: $0{,}25 \cdot 4$: $25 \cdot 4 = 100$, więc $1{,}00 = 1$.

4.Mnożenie pisemne ułamka dziesiętnego przez liczbę naturalną

Liczby podpisujemy tak jak liczby naturalne, równo do prawej strony, a nie przecinek pod przecinkiem jak przy dodawaniu. Gdy liczba naturalna kończy się zerami, wysuwamy je w prawo i dopisujemy na końcu wyniku. Np. $2{,}35 \cdot 40$: $235 \cdot 4 = 940$, po dopisaniu zera mamy 9400, a po oddzieleniu dwóch cyfr: $94{,}00 = 94$.

5.Mnożenie ułamków dziesiętnych

Mnożymy tak jak liczby naturalne, nie patrząc na przecinki. W wyniku oddzielamy od prawej tyle cyfr, ile łącznie cyfr po przecinku mają oba czynniki: $1{,}4 \cdot 0{,}23$: $14 \cdot 23 = 322$, cyfr po przecinku jest $1 + 2 = 3$, więc wynik to $0{,}322$. Gdy cyfr brakuje, z przodu dopisujemy zera: $0{,}07 \cdot 0{,}3 = 0{,}021$.

6.Kwadrat i sześcian ułamka dziesiętnego

Kwadrat liczby to iloczyn dwóch takich samych czynników, a sześcian - trzech. Cyfry po przecinku liczymy we wszystkich czynnikach: $(0{,}4)^2 = 0{,}4 \cdot 0{,}4 = 0{,}16$, $(1{,}1)^2 = 1{,}21$, $(0{,}1)^3 = 0{,}1 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}1 = 0{,}001$. Kwadrat to nie mnożenie przez 2: $(0{,}4)^2$ to nie $0{,}8$.

7.Jak obliczyć ułamek dziesiętny danej liczby?

Mnożymy ułamek przez tę liczbę: $0{,}3$ liczby 40 to $0{,}3 \cdot 40 = 12$. Tak samo liczbę półtora raza większą od danej liczby obliczamy, mnożąc przez $1{,}5$: liczba półtora raza większa od 12 to $1{,}5 \cdot 12 = 18$.

8.Jak dzielić ułamek dziesiętny przez liczbę naturalną w pamięci?

Dzielną rozkładamy na części, które łatwo podzielić, i dodajemy wyniki: $7{,}2 : 4 = 4 : 4 + 3{,}2 : 4 = 1 + 0{,}8 = 1{,}8$. Wynik sprawdzamy mnożeniem: $1{,}8 \cdot 4 = 7{,}2$.

9.Dzielenie pisemne ułamka dziesiętnego przez liczbę naturalną

Dzielimy tak jak liczby naturalne. Najpierw dzielimy część całkowitą dzielnej, potem w wyniku stawiamy przecinek nad przecinkiem dzielnej, do reszty dopisujemy kolejną cyfrę i dzielimy dalej. Np. $8{,}64 : 3$: $8 : 3 = 2 \text{ r } 2$, przecinek, $26 : 3 = 8 \text{ r } 2$, $24 : 3 = 8$, więc $8{,}64 : 3 = 2{,}88$.

10.Dopisywanie zer w dzieleniu

Po ostatniej cyfrze po przecinku można dopisać dowolnie wiele zer: $2{,}3 = 2{,}30 = 2{,}300$. Gdy w dzielnej skończą się cyfry, a reszta nie jest zerem, dopisujemy 0 i dzielimy dalej: $2{,}3 : 4 = 2{,}300 : 4 = 0{,}575$. Gdy część całkowita dzielnej jest mniejsza od dzielnika, wynik zaczyna się od 0 i przecinka.

11.Kiedy w ilorazie piszemy zero?

Gdy w kolejnym kroku dzielenia liczba (reszta z dopisaną cyfrą) jest mniejsza od dzielnika, w wyniku piszemy 0 i dopisujemy następną cyfrę dzielnej. Np. $6{,}18 : 3$: $6 : 3 = 2$, przecinek, $1 : 3 = 0 \text{ r } 1$, $18 : 3 = 6$, więc wynik to $2{,}06$. Bez tego zera wyszłoby $2{,}6$, a $2{,}6 \cdot 3 = 7{,}8$.

12.Jak zapisać wynik dzielenia z resztą ułamkiem dziesiętnym?

Za dzielną stawiamy przecinek, dopisujemy zera i dzielimy dalej: $19 : 4 = 19{,}00 : 4 = 4{,}75$. Ten sam wynik zapiszemy z resztą: $19 : 4 = 4 \text{ r } 3$, albo ułamkiem zwykłym: $4\frac{3}{4}$. Reszty nie przepisujemy po przecinku - $4{,}3$ to zły wynik.

13.Średnia arytmetyczna

Średnia arytmetyczna kilku liczb to suma tych liczb podzielona przez to, ile ich jest. Np. średnia liczb $2{,}4$, $3{,}8$ i $4{,}6$ to $(2{,}4 + 3{,}8 + 4{,}6) : 3 = 10{,}8 : 3 = 3{,}6$.

14.Kiedy iloraz się nie zmienia?

Gdy dzielną i dzielnik pomnożymy przez tę samą liczbę, np. przez 10, 100 albo 1000, iloraz się nie zmienia: $42 : 6 = 420 : 60 = 4200 : 600 = 7$. Z tej własności korzystamy przy dzieleniu przez ułamek dziesiętny.

15.Dzielenie przez ułamek dziesiętny

Dzielną i dzielnik mnożymy przez 10, 100, 1000 itd., tak aby dzielnik stał się liczbą naturalną. Potem wykonujemy dzielenie: $4{,}2 : 0{,}6 = 42 : 6 = 7$, $0{,}8 : 0{,}04 = 80 : 4 = 20$. Przecinek przesuwamy w obu liczbach o tyle samo miejsc.

16.O ile miejsc przesunąć przecinek przy dzieleniu?

O tyle miejsc, ile cyfr po przecinku ma dzielnik. W dzielnej przesuwamy przecinek o tyle samo miejsc, a gdy brakuje cyfr, dopisujemy zera: $4 : 0{,}16 = 400 : 16 = 25$. Dzielna może zostać ułamkiem dziesiętnym: $0{,}156 : 0{,}12 = 15{,}6 : 12 = 1{,}3$.

17.Kiedy w zadaniu tekstowym dzielimy przez ułamek dziesiętny?

Gdy sprawdzamy, ile razy jedna wielkość mieści się w drugiej, np. ile kubków po $0{,}25$ l napełnimy 2 litrami: $2 : 0{,}25 = 200 : 25 = 8$. Także gdy szukamy ceny 1 kg, a znamy cenę części kilograma: $0{,}5$ kg kosztuje 6 zł, więc 1 kg kosztuje $6 : 0{,}5 = 12$ zł.

18.Szacowanie wyniku

Szacowanie to ustalanie wyniku w przybliżeniu, bez dokładnych obliczeń. Liczby zastępujemy wygodnymi liczbami, trochę większymi albo trochę mniejszymi, np. $4{,}85 < 5$, $6{,}72 > 6{,}5$. Tak sprawdzamy, czy wystarczy pieniędzy, czy wynik ma sens i która liczba jest większa.

19.Jak wykazać szacowaniem, że wynik jest mniejszy od danej liczby?

Liczby w działaniu zastępujemy trochę większymi. Jeśli nawet wtedy wynik nie przekracza danej liczby, to dokładny wynik jest od niej mniejszy: $4{,}85 + 3{,}79 + 2{,}90 < 5 + 4 + 3 = 12$, więc 12 zł wystarczy na te zakupy. Tak samo $5{,}9 \cdot 4{,}8 < 6 \cdot 5 = 30$.

20.Jak wykazać szacowaniem, że wynik jest większy od danej liczby?

Liczby w działaniu zastępujemy trochę mniejszymi. Jeśli już wtedy wynik jest równy danej liczbie albo od niej większy, to dokładny wynik jest od niej większy: $6{,}70 + 3{,}60 > 6{,}5 + 3{,}5 = 10$, więc 10 zł nie wystarczy na te zakupy. Tak samo $3 \cdot 8{,}2 > 3 \cdot 8 = 24$.

21.Mnożenie i dzielenie przez liczbę mniejszą od 1

Gdy mnożymy przez liczbę mniejszą od 1, iloczyn jest mniejszy od drugiego czynnika: $12 \cdot 0{,}5 = 6$. Gdy dzielimy przez liczbę mniejszą od 1, iloraz jest większy od dzielnej: $12 : 0{,}5 = 24$. Przy liczbie większej od 1 jest odwrotnie.

22.Kiedy iloraz jest większy od 1?

Iloraz jest większy od 1, gdy dzielna jest większa od dzielnika: $0{,}9 : 0{,}6 = 1{,}5$. Gdy dzielna jest mniejsza od dzielnika, iloraz jest mniejszy od 1, np. $0{,}6 : 0{,}9$ to mniej niż 1. Gdy dzielna i dzielnik są równe, iloraz wynosi 1.