Trójkąty: rodzaje, konstrukcja i kąty - Matematyka z plusem 5

1.Kiedy trójkąt jest ostrokątny?

Trójkąt jest ostrokątny, gdy ma wszystkie trzy kąty ostre. Na rysunku kąty mają $50^\circ$, $60^\circ$ i $70^\circ$ - każdy z nich jest mniejszy od kąta prostego.

2.Kiedy trójkąt jest prostokątny?

Trójkąt jest prostokątny, gdy ma jeden kąt prosty. Dwa pozostałe kąty są wtedy ostre.

3.Kiedy trójkąt jest rozwartokątny?

Trójkąt jest rozwartokątny, gdy ma jeden kąt rozwarty. Dwa pozostałe kąty są wtedy ostre. Na rysunku kąt rozwarty ma $115^\circ$, a kąty ostre mają $30^\circ$ i $35^\circ$.

4.Przyprostokątne i przeciwprostokątna

To nazwy boków trójkąta prostokątnego. Dwa krótsze boki, leżące przy kącie prostym, to przyprostokątne. Najdłuższy bok, leżący naprzeciw kąta prostego, to przeciwprostokątna. Na rysunku przyprostokątne to $a$ i $b$, a przeciwprostokątna to $c$.

5.Kiedy trójkąt jest równoramienny?

Trójkąt jest równoramienny, gdy ma co najmniej dwa boki tej samej długości. Boki równej długości to ramiona, a trzeci bok to podstawa. Na rysunku ramiona oznaczono jednakowymi kreskami.

6.Kiedy trójkąt jest równoboczny?

Trójkąt jest równoboczny, gdy wszystkie trzy jego boki mają tę samą długość. Jest on też trójkątem równoramiennym: każdy jego bok można nazwać podstawą, a dwa pozostałe - ramionami.

7.Kiedy trójkąt jest różnoboczny?

Trójkąt jest różnoboczny, gdy nie jest równoramienny, czyli gdy każdy jego bok ma inną długość, np. 4 cm, 6 cm i 9 cm.

8.Obwód trójkąta równoramiennego i równobocznego

Obwód to suma długości wszystkich boków. W trójkącie równoramiennym dodajemy podstawę i dwa ramiona, np. przy podstawie 6 cm i ramieniu 9 cm: $6 + 9 + 9 = 24$ (cm). Gdy znamy obwód i podstawę, od obwodu odejmujemy podstawę, a wynik dzielimy przez 2 - to długość ramienia. Gdy znamy obwód i ramię, od obwodu odejmujemy dwa ramiona - zostaje podstawa. Obwód trójkąta równobocznego to 3 razy długość boku.

9.Jak skonstruować trójkąt o danych bokach?

Używamy cyrkla i linijki. 1. Rysujemy odcinek $AB$ o długości jednego z boków. 2. Rozstawiamy cyrkiel na długość drugiego boku i rysujemy łuk o środku $A$. 3. Rozstawiamy cyrkiel na długość trzeciego boku i rysujemy łuk o środku $B$. 4. Punkt przecięcia łuków to wierzchołek $C$ - łączymy go z punktami $A$ i $B$. Na rysunku kroki dla boków 7 cm, 4 cm i 6 cm.

10.Dlaczego wierzchołek C leży w punkcie przecięcia łuków?

Każdy punkt łuku o środku $A$ jest odległy od punktu $A$ o tyle, na ile rozstawiono cyrkiel. Punkt przecięcia dwóch łuków leży więc w odpowiedniej odległości i od $A$, i od $B$. Dlatego boki $AC$ i $BC$ mają dane długości.

11.Kiedy z trzech odcinków można zbudować trójkąt?

Tylko wtedy, gdy suma długości dowolnych dwóch odcinków jest większa niż długość trzeciego. Wystarczy porównać najdłuższy odcinek z sumą dwóch pozostałych. Np. z odcinków 5 cm, 6 cm i 9 cm - tak, bo $5 + 6 = 11$, a $11 > 9$. Z odcinków 3 cm, 5 cm i 8 cm - nie, bo $3 + 5 = 8$: suma jest równa najdłuższemu, a nie większa. Długości porównujemy w tej samej jednostce.

12.Jaką długość może mieć trzeci bok trójkąta?

Korzystamy z tego, że suma dwóch boków trójkąta jest większa od trzeciego boku. Np. gdy dwa boki mają 4 cm i 9 cm, trzeci bok musi być krótszy niż $4 + 9 = 13$ (cm). Razem z bokiem 4 cm musi też mieć więcej niż 9 cm, więc musi być dłuższy niż $9 - 4 = 5$ (cm). Trzeci bok jest więc dłuższy niż różnica i krótszy niż suma dwóch danych boków.

13.Ile wynosi suma miar kątów trójkąta?

Suma miar kątów każdego trójkąta wynosi $180^\circ$: $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$. Gdy oderwiemy trzy rogi papierowego trójkąta i przyłożymy je do siebie wierzchołkami, utworzą kąt półpełny.

14.Jak obliczyć trzeci kąt trójkąta?

Od $180^\circ$ odejmujemy miary dwóch znanych kątów. Np. gdy dwa kąty mają $38^\circ$ i $77^\circ$, trzeci ma $180^\circ - 38^\circ - 77^\circ = 65^\circ$. W trójkącie prostokątnym kąty ostre mają razem $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$, więc drugi kąt ostry obliczamy, odejmując pierwszy od $90^\circ$, np. $90^\circ - 34^\circ = 56^\circ$.

15.Dlaczego trójkąt nie może mieć dwóch kątów rozwartych?

Bo dwa kąty rozwarte miałyby razem więcej niż $180^\circ$, a wszystkie kąty trójkąta mają razem tylko $180^\circ$. Trójkąt nie może też mieć dwóch kątów prostych: miałyby one razem $180^\circ$ i na trzeci kąt nic by nie zostało. Dlatego każdy trójkąt ma co najmniej dwa kąty ostre.

16.Kąt przyległy do kąta trójkąta

Gdy przedłużymy bok trójkąta za wierzchołek, powstaje kąt przyległy do kąta trójkąta. Te dwa kąty mają razem $180^\circ$. Na rysunku kąt przyległy ma $115^\circ$, więc kąt trójkąta przy wierzchołku $C$ ma $180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$.

17.Kąty przy podstawie i kąt między ramionami

W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie mają tę samą miarę i zawsze są ostre, bo dwa kąty proste lub rozwarte miałyby razem co najmniej $180^\circ$. Kąt między ramionami obliczamy, odejmując od $180^\circ$ oba kąty przy podstawie, np. $180^\circ - 65^\circ - 65^\circ = 50^\circ$. Gdy kąt między ramionami jest prosty, kąty przy podstawie mają po $45^\circ$.

18.Jak obliczyć kąty przy podstawie, gdy znamy kąt między ramionami?

Od $180^\circ$ odejmujemy kąt między ramionami, a wynik dzielimy przez 2, bo oba kąty przy podstawie są równe. Np. gdy kąt między ramionami ma $100^\circ$: $180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$ i $80^\circ : 2 = 40^\circ$.

19.Ile stopni mają kąty trójkąta równobocznego?

Każdy kąt trójkąta równobocznego ma $60^\circ$. Te kąty są równe, a razem mają $180^\circ$, więc $180^\circ : 3 = 60^\circ$.