Proste, kąty i wielokąty - Matematyka z plusem 5

1.Proste prostopadłe i proste równoległe

Proste prostopadłe przecinają się pod kątem prostym. Proste równoległe się nie przecinają. Zapisujemy to znakami: $a \perp b$ - prosta $a$ jest prostopadła do prostej $b$, $c \parallel d$ - prosta $c$ jest równoległa do prostej $d$.

2.Jak narysować prostą prostopadłą do danej prostej?

Używamy ekierki. Do narysowanej prostej przykładamy jeden z prostopadłych boków ekierki. Wzdłuż drugiego prostopadłego boku rysujemy linię, a potem ją przedłużamy.

3.Jak narysować prostą równoległą do danej prostej?

Używamy linijki i ekierki. 1. Do prostej przykładamy jeden z prostopadłych boków ekierki. 2. Do drugiego prostopadłego boku przykładamy linijkę. 3. Przytrzymujemy linijkę i przesuwamy wzdłuż niej ekierkę. 4. Przytrzymujemy ekierkę i rysujemy prostą wzdłuż boku, który leżał na pierwszej prostej.

4.Odcinki prostopadłe

Dwa odcinki są prostopadłe, jeśli leżą na prostych prostopadłych. Takie odcinki nie muszą się przecinać ani nawet stykać. Zapisujemy to np. tak: $BC \perp DE$.

5.Odcinki równoległe

Dwa odcinki są równoległe, jeśli leżą na prostych równoległych albo na jednej prostej. Zapisujemy to np. tak: $FG \parallel HK$.

6.Odległość punktu od prostej

Odległość punktu od prostej to długość najkrótszego odcinka łączącego ten punkt z prostą. Ten odcinek jest prostopadły do prostej, więc rysujemy go ekierką, a potem mierzymy linijką.

7.Odległość między prostymi równoległymi

Odległość między prostymi równoległymi to długość najkrótszego odcinka łączącego te proste, czyli odcinka prostopadłego do obu prostych. Każdy ukośny odcinek łączący te proste jest dłuższy.

8.Jak położone są dwie proste prostopadłe do tej samej prostej?

Są równoległe: jeśli $a \perp b$ i $c \perp b$, to $a \parallel c$. Podobnie prosta prostopadła do jednej z dwóch prostych równoległych jest prostopadła także do drugiej: jeśli $k \parallel m$ i $n \perp k$, to $n \perp m$.

9.Ile jest prostych równoległych do danej prostej i odległych od niej o 2 cm?

Dwie - po jednej z każdej strony danej prostej. Odległość 2 cm odmierzamy na odcinku prostopadłym do danej prostej.

10.Kąt - ramiona i wierzchołek

Dwie półproste o wspólnym początku to ramiona kąta, a ich wspólny początek to wierzchołek kąta. Kąt zaznaczamy na rysunku, zacieniowując go albo rysując mały łuk między ramionami.

11.Kąt ostry, prosty, rozwarty i półpełny

Kąt ostry jest mniejszy od kąta prostego. Ramiona kąta prostego są prostopadłe. Kąt rozwarty jest większy od kąta prostego i mniejszy od kąta półpełnego. Ramiona kąta półpełnego tworzą prostą. Kąt prosty zaznaczamy łukiem z kropką albo, tak jak na rysunku, małym kwadratem.

12.Kąt wklęsły i kąt pełny

Kąt wklęsły jest większy od kąta półpełnego i mniejszy od kąta pełnego. Ramiona kąta pełnego się pokrywają, a kąt pełny obejmuje wszystko dookoła wierzchołka.

13.Kąty wypukłe

Kąty wypukłe to kąty, które nie są wklęsłe: kąty ostre, kąty rozwarte, kąt prosty, kąt półpełny i kąt pełny.

14.Ile kątów wyznaczają dwie półproste o wspólnym początku?

Dwa kąty, np. kąt ostry i kąt wklęsły albo kąt rozwarty i kąt wklęsły. Dlatego zaznaczamy łukiem, o który kąt chodzi. Gdy półproste tworzą prostą, oba kąty są półpełne.

15.Jak oznaczamy kąty literami greckimi?

Kąty często oznaczamy małymi literami alfabetu greckiego: $\alpha$ - alfa, $\beta$ - beta, $\gamma$ - gamma, $\delta$ - delta. Literę piszemy przy łuku, którym zaznaczono kąt.

16.Jak oznaczyć kąt trzema wielkimi literami?

Pierwsza litera oznacza punkt na jednym ramieniu, druga - wierzchołek, a trzecia - punkt na drugim ramieniu. Środkowa litera zawsze oznacza wierzchołek, a kolejność pozostałych nie ma znaczenia: $\sphericalangle ABC$ to ten sam kąt co $\sphericalangle CBA$. Znak $\sphericalangle$ zastępuje słowo „kąt”.

17.Jak zmierzyć kąt kątomierzem?

1. Środek kątomierza (zaznaczony na nim punkt) przykładamy do wierzchołka kąta. 2. Kątomierz ustawiamy tak, żeby jedno ramię przechodziło przez 0 na skali. 3. Na tej samej skali odczytujemy liczbę, na którą wskazuje drugie ramię - to miara kąta. Wynik zapisujemy krótko, np. $\alpha = 42^\circ$ albo $\sphericalangle DEF = 95^\circ$.

18.Miary kątów różnych rodzajów

Kąt ostry ma mniej niż $90^\circ$. Kąt prosty ma $90^\circ$. Kąt rozwarty ma więcej niż $90^\circ$ i mniej niż $180^\circ$. Kąt półpełny ma $180^\circ$. Kąt wklęsły ma więcej niż $180^\circ$ i mniej niż $360^\circ$. Kąt pełny ma $360^\circ$.

19.Jak zmierzyć kąt wklęsły półokrągłym kątomierzem?

Półokrągły kątomierz ma skalę tylko do $180^\circ$. Mierzymy więc kąt wypukły utworzony przez te same ramiona i odejmujemy jego miarę od $360^\circ$, bo oba kąty razem tworzą kąt pełny. Np. gdy kąt wypukły ma $115^\circ$, to kąt wklęsły ma $360^\circ - 115^\circ = 245^\circ$.

20.O jaki kąt obracają się wskazówki zegara?

Wskazówka minutowa obraca się o kąt pełny, czyli o $360^\circ$, w ciągu 60 minut, więc w ciągu minuty - o $360^\circ : 60 = 6^\circ$. Wskazówka godzinowa obraca się o kąt pełny w ciągu 12 godzin, więc w ciągu godziny - o $360^\circ : 12 = 30^\circ$. Np. w ciągu 10 minut wskazówka minutowa obraca się o $60^\circ$, a w ciągu 3 godzin wskazówka godzinowa - o $90^\circ$.

21.Jak obliczyć część kąta podzielonego półprostą?

Gdy półprosta $OC$ leży wewnątrz kąta $AOB$, dzieli go na dwa kąty, które razem mają tyle stopni co cały kąt: $\sphericalangle AOC + \sphericalangle COB = \sphericalangle AOB$. Brakującą część obliczamy odejmowaniem. Np. gdy $\sphericalangle AOB = 85^\circ$ i $\sphericalangle AOC = 35^\circ$, to $\sphericalangle COB = 85^\circ - 35^\circ = 50^\circ$.

22.Kąty przyległe

Kąty przyległe mają jedno wspólne ramię i razem tworzą kąt półpełny. Dlatego suma ich miar jest równa $180^\circ$. Gdy znamy jeden z nich, drugi obliczamy odejmowaniem, np. $180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$ - tak jak na rysunku.

23.Kąty wierzchołkowe

Kąty wierzchołkowe to dwa kąty wypukłe, których ramiona leżą na dwóch przecinających się prostych i które nie mają wspólnego ramienia. Leżą naprzeciw siebie i mają jednakowe miary. Na rysunku dwa kąty wierzchołkowe mają po $35^\circ$, a dwa pozostałe - po $145^\circ$.

24.Jak obliczyć wszystkie kąty przy dwóch przecinających się prostych?

Dwie przecinające się proste tworzą cztery kąty: dwie pary kątów wierzchołkowych i cztery pary kątów przyległych. Wystarczy znać jeden kąt. Kąt do niego wierzchołkowy ma tę samą miarę, a dwa pozostałe są do niego przyległe. Np. gdy jeden kąt ma $62^\circ$, pozostałe mają $62^\circ$, $118^\circ$ i $118^\circ$, bo $180^\circ - 62^\circ = 118^\circ$.

25.Kąty wokół punktu przecięcia trzech prostych

Trzy proste przechodzące przez jeden punkt tworzą sześć kątów, które razem mają $360^\circ$. Kąty wierzchołkowe mają równe miary. Trzy kolejne kąty leżą po jednej stronie jednej z prostych, więc razem tworzą kąt półpełny. Np. gdy dwa kolejne kąty mają $45^\circ$ i $85^\circ$, trzeci kolejny kąt ma $180^\circ - 45^\circ - 85^\circ = 50^\circ$.

26.Kąty przy prostych równoległych przeciętych trzecią prostą

Gdy trzecia prosta przecina dwie proste równoległe, jest nachylona do każdej z nich pod takim samym kątem. Dlatego kąty położone tak samo przy obu prostych, np. oba nad prostą i po prawej stronie trzeciej prostej, mają jednakowe miary. Na rysunku oba takie kąty mają po $65^\circ$.

27.Jak obliczyć kąty ostre i rozwarte przy prostych równoległych?

Gdy trzecia prosta nie jest prostopadła do prostych równoległych, powstaje 8 kątów: 4 ostre i 4 rozwarte. Wszystkie kąty ostre mają tę samą miarę i wszystkie rozwarte też. Kąt ostry i kąt rozwarty dają razem $180^\circ$, np. $58^\circ$ i $122^\circ$. Na rysunku zaznaczono dwa równe kąty ostre leżące między prostymi $a$ i $b$.

28.Liczba boków, wierzchołków i kątów wielokąta

Każdy wielokąt ma tyle samo boków, wierzchołków i kątów. Wielokąt o trzech kątach to trójkąt, o czterech - czworokąt, o pięciu - pięciokąt itd. Kąty wielokąta mogą być ostre, proste, rozwarte, a nawet wklęsłe.

29.Przekątna wielokąta

Przekątna to odcinek, który łączy dwa wierzchołki wielokąta, a nie jest jego bokiem. Trójkąt nie ma przekątnych, bo każde dwa jego wierzchołki łączy bok. Na rysunku jest przykładowy pięciokąt o równych bokach. Z jego wierzchołka $A$ wychodzą dwie przekątne: $AC$ i $AD$. Tak samo jest w każdym pięciokącie, także gdy boki nie są równe.

30.Jak obliczyć, ile przekątnych ma wielokąt?

Z każdego wierzchołka wychodzi o 3 mniej przekątnych, niż wielokąt ma wierzchołków, bo wierzchołka nie łączymy z nim samym ani z dwoma sąsiednimi. Tę liczbę mnożymy przez liczbę wierzchołków i dzielimy przez 2, bo każdą przekątną policzyliśmy dwa razy. Np. w sześciokącie: $6 - 3 = 3$, $6 \cdot 3 = 18$, $18 : 2 = 9$ przekątnych. Na rysunku jest przykładowy sześciokąt o równych bokach - z wierzchołka $A$ wychodzą 3 przekątne, tak jak w każdym sześciokącie.

31.Obwód wielokąta

Obwód wielokąta to suma długości wszystkich jego boków. Przed dodawaniem zamieniamy długości na tę samą jednostkę. Np. pięciokąt o bokach 4 dm, 16 cm, 25 cm, 1 dm i 12 cm: $40 + 16 + 25 + 10 + 12 = 103$, więc jego obwód to 103 cm.