Ułamki dziesiętne: zapis, porównywanie, dodawanie - Matematyka z plusem 5

1.Ułamek dziesiętny

Ułamek dziesiętny to inaczej zapisany ułamek o mianowniku 10, 100, 1000 itd. albo liczba mieszana, której część ułamkowa ma taki mianownik. Przecinek oddziela część całkowitą od części ułamkowej, np. $0{,}6 = \frac{6}{10}$, $3{,}41 = 3\frac{41}{100}$. Na rysunku zamalowano 6 z 10 równych części paska, czyli $0{,}6$ paska. Na kalkulatorze zamiast przecinka bywa kropka: 3.41 to $3{,}41$.

2.Cyfry części dziesiątych, setnych i tysięcznych

Kolejne cyfry po przecinku mówią, z ilu części dziesiątych, setnych, tysięcznych, dziesięciotysięcznych itd. składa się ułamek. W liczbie $0{,}4719$: 4 to cyfra części dziesiątych, 7 - części setnych, 1 - części tysięcznych, a 9 - części dziesięciotysięcznych. Ile cyfr po przecinku, tyle zer w mianowniku: $0{,}4719 = \frac{4719}{10\,000}$.

3.Jak czytamy ułamki dziesiętne?

Czytamy część całkowitą, potem „i” oraz liczbę zapisaną po przecinku z nazwą części: dziesiątych (1 cyfra po przecinku), setnych (2 cyfry) albo tysięcznych (3 cyfry). Np. $5{,}07$ to pięć i siedem setnych. Gdy część całkowita to 0, czytamy tylko część ułamkową: $0{,}046$ to czterdzieści sześć tysięcznych.

4.Dopisywanie i pomijanie zer w ułamku dziesiętnym

Ułamek dziesiętny nie zmienia wartości, gdy po przecinku dopisujemy lub pomijamy końcowe zera: $2{,}6 = 2{,}60 = 2{,}600$, bo $\frac{6}{10} = \frac{60}{100} = \frac{600}{1000}$. Liczbę naturalną też można zapisać z przecinkiem i zerami: $14 = 14{,}00$. Zera, za którym stoi inna cyfra, nie wolno pominąć: $3{,}08$ to nie to samo co $3{,}8$.

5.Jak zamienić ułamek dziesiętny na ułamek zwykły?

Liczbę zapisaną po przecinku piszemy w liczniku, a w mianowniku 10, 100, 1000 itd. - z tyloma zerami, ile cyfr jest po przecinku. Część całkowita zostaje bez zmian. Potem skracamy, jeśli się da: $0{,}35 = \frac{35}{100} = \frac{7}{20}$, $4{,}8 = 4\frac{8}{10} = 4\frac{4}{5}$.

6.Jak zamienić ułamek zwykły na ułamek dziesiętny?

Rozszerzamy albo skracamy ułamek tak, żeby miał mianownik 10, 100, 1000 itd., i zapisujemy go z przecinkiem: $\frac{4}{5} = \frac{8}{10} = 0{,}8$, $\frac{9}{25} = \frac{36}{100} = 0{,}36$, $\frac{3}{8} = \frac{375}{1000} = 0{,}375$, $\frac{12}{40} = \frac{3}{10} = 0{,}3$. Nie każdy ułamek da się tak zamienić, np. $\frac{2}{3}$ nie da się rozszerzyć do mianownika 10, 100 ani 1000.

7.Ułamki dziesiętne na osi liczbowej

Odcinek jednostkowy dzielimy na 10 równych części - każda ma długość $0{,}1$. Między 3 a 4 kolejne kreski oznaczają $3{,}1$; $3{,}2$; … ; $3{,}9$. Na rysunku zaznaczono $3{,}3$ i $3{,}8$. Gdy na 10 równych części podzielimy odcinek od 0 do $0{,}1$, kreski oznaczają części setne: $0{,}01$; $0{,}02$ itd.

8.Jak porównać dwa ułamki dziesiętne?

Porównujemy cyfry od lewej: najpierw części całkowite, potem cyfry części dziesiątych, setnych, tysięcznych. Rozstrzyga pierwsza różna cyfra. Gdy liczby mają różną liczbę cyfr po przecinku, możemy dopisać zera na końcu. Np. $6{,}38 < 6{,}4$, bo $6{,}4 = 6{,}40$, a w częściach dziesiątych $3 < 4$. Tak samo porządkujemy kilka liczb.

9.Czy ułamek z większą liczbą cyfr po przecinku jest większy?

Nie zawsze. $0{,}7 > 0{,}258$, choć $0{,}258$ ma więcej cyfr po przecinku: $0{,}7 = 0{,}700$, a 700 tysięcznych to więcej niż 258 tysięcznych. Na osi liczbowej $0{,}7$ leży dalej w prawo. O tym, która liczba jest większa, decydują cyfry na tych samych miejscach, a nie długość zapisu.

10.Jak porównać ułamek zwykły z ułamkiem dziesiętnym?

Zamieniamy ułamek zwykły na dziesiętny i porównujemy dwa ułamki dziesiętne. Np. $\frac{3}{20}$ i $0{,}2$: $\frac{3}{20} = \frac{15}{100} = 0{,}15$, a $0{,}15 < 0{,}20$, więc $\frac{3}{20} < 0{,}2$.

11.Jednostki długości w ułamkach dziesiętnych

$1~\mathrm{cm} = 10~\mathrm{mm}$, więc $1~\mathrm{mm} = 0{,}1~\mathrm{cm}$. $1~\mathrm{dm} = 10~\mathrm{cm}$, więc $1~\mathrm{cm} = 0{,}1~\mathrm{dm}$. $1~\mathrm{m} = 100~\mathrm{cm}$, więc $1~\mathrm{cm} = 0{,}01~\mathrm{m}$. $1~\mathrm{km} = 1000~\mathrm{m}$, więc $1~\mathrm{m} = 0{,}001~\mathrm{km}$.

12.Jednostki masy w ułamkach dziesiętnych

$1~\mathrm{dag} = 10~\mathrm{g}$, więc $1~\mathrm{g} = 0{,}1~\mathrm{dag}$. $1~\mathrm{kg} = 100~\mathrm{dag}$, więc $1~\mathrm{dag} = 0{,}01~\mathrm{kg}$. $1~\mathrm{kg} = 1000~\mathrm{g}$, więc $1~\mathrm{g} = 0{,}001~\mathrm{kg}$. $1~\mathrm{t} = 1000~\mathrm{kg}$, więc $1~\mathrm{kg} = 0{,}001~\mathrm{t}$.

13.Ile cyfr po przecinku przy zamianie jednostek?

Tyle, ile zer ma liczba mniejszych jednostek w większej. Przy 10 piszemy jedną cyfrę (mm w cm, cm w dm, g w dag). Przy 100 - dwie cyfry (cm w m, dag w kg). Przy 1000 - trzy cyfry (m w km, g w kg, kg w t).

14.Wyrażenie dwumianowane

Wyrażenie dwumianowane to wielkość zapisana za pomocą dwóch jednostek, np. 4 m 26 cm albo 3 kg 40 dag. Można ją zapisać jedną jednostką, używając ułamka dziesiętnego: $4~\mathrm{m}~26~\mathrm{cm} = 4{,}26~\mathrm{m}$.

15.Jak zamienić wyrażenie dwumianowane na ułamek dziesiętny?

Większe jednostki piszemy przed przecinkiem. Mniejsze jednostki piszemy po przecinku na tylu miejscach, ile zer ma liczba mniejszych jednostek w większej, a brakujące miejsca z przodu wypełniamy zerami. Np. $9~\mathrm{km}~46~\mathrm{m} = 9{,}046~\mathrm{km}$, bo $1~\mathrm{km} = 1000~\mathrm{m}$, więc metry zajmują trzy miejsca: 046.

16.Jak zamienić ułamek dziesiętny na wyrażenie dwumianowane?

Część całkowita to większe jednostki, a cyfry po przecinku - mniejsze. Gdy po przecinku jest za mało cyfr, dopisujemy zera na końcu. Np. $7{,}3~\mathrm{m} = 7{,}30~\mathrm{m} = 7~\mathrm{m}~30~\mathrm{cm}$, $5{,}04~\mathrm{kg} = 5~\mathrm{kg}~4~\mathrm{dag}$, $2{,}6~\mathrm{t} = 2{,}600~\mathrm{t} = 2~\mathrm{t}~600~\mathrm{kg}$.

17.Dlaczego 5 m 6 cm to $5{,}06~\mathrm{m}$, a nie $5{,}6~\mathrm{m}$?

Bo centymetry zajmują dwa miejsca po przecinku ($1~\mathrm{m} = 100~\mathrm{cm}$), więc 6 cm to $0{,}06~\mathrm{m}$. Zapis $5{,}6~\mathrm{m}$ oznacza 5 m 60 cm. Tak samo $3~\mathrm{kg}~9~\mathrm{g} = 3{,}009~\mathrm{kg}$, bo gramy zajmują trzy miejsca po przecinku.

18.Porównywanie wielkości zapisanych w różnych jednostkach

Najpierw zapisujemy obie wielkości w tej samej jednostce, a potem porównujemy liczby. Np. $0{,}8~\mathrm{kg}$ i 750 g: $0{,}8~\mathrm{kg} = 0{,}800~\mathrm{kg} = 800~\mathrm{g}$, a $800~\mathrm{g} > 750~\mathrm{g}$, więc $0{,}8~\mathrm{kg}$ to więcej.

19.Dodawanie i odejmowanie ułamków dziesiętnych w pamięci

Dodajemy części dziesiąte do części dziesiątych, a całości do całości. 10 części dziesiątych to 1 całość: $0{,}7 + 0{,}6 = 1{,}3$. Gdy od liczby naturalnej odejmujemy części dziesiąte, jedną całość zamieniamy na 10 części dziesiątych: $3 - 0{,}4 = 2{,}6$.

20.Dodawanie pisemne ułamków dziesiętnych

Podpisujemy przecinek pod przecinkiem, jedności pod jednościami, części dziesiąte pod częściami dziesiątymi itd. Gdy liczby mają różną liczbę cyfr po przecinku, możemy dopisać zera. Potem dodajemy jak liczby naturalne, a w sumie stawiamy przecinek pod przecinkami. Np. $3{,}75 + 8{,}6 = 3{,}75 + 8{,}60 = 12{,}35$.

21.Odejmowanie pisemne ułamków dziesiętnych

Podpisujemy przecinek pod przecinkiem i dopisujemy zera tak, żeby odjemna i odjemnik miały tyle samo cyfr po przecinku. Potem odejmujemy jak liczby naturalne, a w różnicy stawiamy przecinek pod przecinkami. Np. $9{,}2 - 3{,}47 = 9{,}20 - 3{,}47 = 5{,}73$. Od liczby naturalnej odejmujemy tak samo: $15 - 2{,}38 = 15{,}00 - 2{,}38 = 12{,}62$.

22.Jak obliczyć niewiadomy składnik albo niewiadomą odjemną?

Niewiadomy składnik obliczamy, odejmując od sumy znany składnik: $\square + 2{,}5 = 7{,}1$, więc $\square = 7{,}1 - 2{,}5 = 4{,}6$. Niewiadomą odjemną obliczamy, dodając różnicę i odjemnik: $\square - 1{,}35 = 4{,}2$, więc $\square = 4{,}2 + 1{,}35 = 5{,}55$.

23.Mnożenie ułamka dziesiętnego przez 10, 100, 1000

Przesuwamy przecinek w prawo o tyle miejsc, ile zer ma 10, 100, 1000 itd. Gdy brakuje cyfr, dopisujemy zera z prawej strony. Np. $3{,}817 \cdot 10 = 38{,}17$, $0{,}64 \cdot 100 = 64$, $2{,}9 \cdot 1000 = 2900$. Gdy wynik jest liczbą naturalną, zapisujemy go bez przecinka.

24.Dzielenie ułamka dziesiętnego przez 10, 100, 1000

Przesuwamy przecinek w lewo o tyle miejsc, ile zer ma 10, 100, 1000 itd. Gdy brakuje cyfr, dopisujemy zera z lewej strony. Np. $56{,}3 : 10 = 5{,}63$, $8{,}4 : 100 = 0{,}084$, $715 : 1000 = 0{,}715$. Tak samo zamieniamy ułamek zwykły o mianowniku 10, 100, 1000: $\frac{386}{100} = 386 : 100 = 3{,}86$.

25.Zamiana jednostek przez mnożenie i dzielenie przez 10, 100, 1000

Gdy zamieniamy większą jednostkę na mniejszą, mnożymy, a gdy mniejszą na większą - dzielimy. Np. $3{,}25~\mathrm{m} = (3{,}25 \cdot 100)~\mathrm{cm} = 325~\mathrm{cm}$, bo $1~\mathrm{m} = 100~\mathrm{cm}$. A $48~\mathrm{g} = (48 : 1000)~\mathrm{kg} = 0{,}048~\mathrm{kg}$, bo $1~\mathrm{kg} = 1000~\mathrm{g}$.

26.Co oznaczają skróty tys., mln i mld?

1 tys. (tysiąc) to 1000, 1 mln (milion) to $1\,000\,000$, a 1 mld (miliard) to $1\,000\,000\,000$. Np. $3{,}2$ tys. zł to $3{,}2 \cdot 1000 = 3200$ zł, a $1{,}7$ mln osób to $1{,}7 \cdot 1\,000\,000 = 1\,700\,000$ osób.