Czworokąty i oś symetrii - Matematyka z plusem 5

1.Prostokąt

Prostokąt to czworokąt, który ma cztery kąty proste. Jego przeciwległe boki są równoległe i mają jednakowe długości, na rysunku $a$ i $b$.

2.Kwadrat

Kwadrat to prostokąt, który ma boki równej długości. Ma więc cztery kąty proste i cztery boki jednakowej długości.

3.Przekątne prostokąta

Przekątne prostokąta mają równe długości i przecinają się w połowie. Działa to też odwrotnie: czworokąt, którego przekątne mają równe długości i przecinają się w połowie, jest prostokątem. Np. gdy przekątna ma 22 cm, punkt przecięcia dzieli każdą przekątną na dwa odcinki po 11 cm.

4.Przekątne kwadratu

Przekątne kwadratu są prostopadłe, mają równe długości i przecinają się w połowie. Czworokąt, którego przekątne mają te trzy własności naraz, jest kwadratem. Dlatego kwadrat można narysować, zaczynając od dwóch prostopadłych odcinków równej długości, które przecinają się w połowie.

5.Obwód prostokąta i kwadratu

Obwód prostokąta o bokach $a$ i $b$ jest równy $2 \cdot a + 2 \cdot b$, a obwód kwadratu o boku $a$ jest równy $4 \cdot a$. Gdy znamy obwód prostokąta i jeden bok, od obwodu odejmujemy dwa razy ten bok, a wynik dzielimy przez 2. Np. obwód 30 cm, bok 9 cm: $(30 - 2 \cdot 9) : 2 = 6$, więc drugi bok ma 6 cm.

6.Równoległobok

Równoległobok to czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych. W równoległoboku boki równoległe mają jednakowe długości, na rysunku $a$ i $b$. Prostokąt i kwadrat też są równoległobokami.

7.Romb

Romb to równoległobok, który ma boki jednakowej długości. Kwadrat też jest rombem: to romb, który ma kąty proste.

8.Jak narysować równoległobok linijką i cyrklem?

1. Rysujemy dwie proste równoległe, np. wzdłuż obu brzegów linijki. 2. Na jednej prostej zaznaczamy odcinek o długości pierwszego boku, np. 9 cm. 3. Z obu końców tego odcinka odkładamy cyrklem drugi bok, np. 5 cm, i zaznaczamy na drugiej prostej dwa punkty. Te punkty muszą być od siebie odległe o 9 cm, bo w równoległoboku boki równoległe mają jednakowe długości. 4. Łączymy te punkty z końcami odcinka.

9.Przekątne równoległoboku

Przekątne równoległoboku przecinają się w połowie. Działa to też odwrotnie: czworokąt, którego przekątne przecinają się w połowie, jest równoległobokiem. Dlatego równoległobok można narysować, zaczynając od dwóch odcinków, które przecinają się w połowie, i łącząc ich końce.

10.Przekątne rombu

Przekątne rombu przecinają się w połowie i są prostopadłe. Działa to też odwrotnie: czworokąt, którego przekątne przecinają się w połowie i są prostopadłe, jest rombem. Dlatego romb można narysować, zaczynając od dwóch prostopadłych odcinków, które przecinają się w połowie, i łącząc ich końce.

11.Kąty równoległoboku

W równoległoboku kąty leżące w przeciwległych wierzchołkach mają jednakowe miary, a suma miar kątów leżących przy tym samym boku wynosi $180^\circ$. Np. gdy kąt ostry ma $72^\circ$, kąt rozwarty ma $180^\circ - 72^\circ = 108^\circ$. Kąty tego równoległoboku to $72^\circ$, $108^\circ$, $72^\circ$ i $108^\circ$.

12.Suma miar kątów czworokąta

Suma miar kątów każdego czworokąta jest równa $360^\circ$, bo przekątna dzieli czworokąt na dwa trójkąty, a w każdym trójkącie suma miar kątów to $180^\circ$. Tak sprawdzamy obliczenia, np. $72^\circ + 108^\circ + 72^\circ + 108^\circ = 360^\circ$. Brakujący kąt obliczamy, odejmując od $360^\circ$ sumę trzech znanych kątów.

13.Trapez

Trapez to czworokąt, który ma co najmniej jedną parę boków równoległych. Każdy równoległobok jest trapezem, bo ma aż dwie pary boków równoległych.

14.Podstawy i ramiona trapezu

Boki równoległe trapezu to podstawy, a pozostałe dwa boki to ramiona. W trapezie, który nie jest równoległobokiem, podstawy mają różne długości: jedna jest dłuższa, a druga krótsza.

15.Trapez równoramienny

Trapez równoramienny to trapez, którego ramiona mają tę samą długość. Na rysunku równe ramiona oznaczono kreskami.

16.Trapez prostokątny

Trapez prostokątny to trapez, w którym co najmniej jedno ramię jest prostopadłe do podstaw. Przy tym ramieniu leżą dwa kąty proste.

17.Kąty trapezu

W trapezie suma miar kątów leżących przy tym samym ramieniu jest równa $180^\circ$. Np. gdy kąt przy dłuższej podstawie ma $76^\circ$, to kąt przy krótszej podstawie, leżący przy tym samym ramieniu, ma $180^\circ - 76^\circ = 104^\circ$. Tak samo w trapezie prostokątnym kąt ostry i kąt rozwarty mają razem $180^\circ$, np. $52^\circ$ i $128^\circ$.

18.Kąty trapezu równoramiennego

W trapezie równoramiennym, który nie jest równoległobokiem, kąty leżące przy tej samej podstawie mają jednakowe miary. Np. gdy jeden kąt ostry ma $66^\circ$, drugi kąt ostry też ma $66^\circ$, a oba kąty rozwarte mają po $180^\circ - 66^\circ = 114^\circ$.

19.Jak czworokąty łączą się w grupy?

Każdy kwadrat jest prostokątem i rombem. Każdy prostokąt i każdy romb jest równoległobokiem. Każdy równoległobok jest trapezem, a każdy trapez jest czworokątem. Odwrotnie nie zawsze: nie każdy trapez jest równoległobokiem, a nie każdy romb jest kwadratem. Na rysunku każda grupa należy też do grup połączonych z nią wyżej.

20.Które czworokąty mają cztery kąty proste, a które cztery równe boki?

Cztery kąty proste mają prostokąty, a cztery boki jednakowej długości mają romby. Kwadrat ma jedno i drugie, dlatego jest jednocześnie prostokątem i rombem. Romb, który ma kąt prosty, jest kwadratem.

21.Jak rozpoznać czworokąt po przekątnych?

Gdy przekątne czworokąta przecinają się w połowie, jest to równoległobok. Gdy przy tym mają równe długości, jest to prostokąt. Gdy są prostopadłe, jest to romb. Gdy są i równe, i prostopadłe, jest to kwadrat.

22.Oś symetrii figury

Oś symetrii figury to prosta, która dzieli figurę na dwie jednakowe części tak, że po zgięciu kartki wzdłuż tej prostej obie części się pokrywają. Jedna część jest wtedy odbiciem symetrycznym drugiej. Gdy figura zawiera się w prostej (np. jest odcinkiem), ta prosta jest jej osią symetrii.

23.Figura osiowosymetryczna

Figura osiowosymetryczna to figura, która ma oś symetrii, np. trójkąt równoramienny albo kształt serca. Niektóre figury mają więcej niż jedną oś symetrii, a niektóre nie mają żadnej.

24.Osie symetrii kwadratu

Kwadrat ma 4 osie symetrii: dwie proste zawierające jego przekątne i dwie proste przechodzące przez środki przeciwległych boków.

25.Osie symetrii prostokąta i rombu

Prostokąt, który nie jest kwadratem, ma 2 osie symetrii: proste przechodzące przez środki przeciwległych boków. Jego przekątne nie są osiami symetrii. Romb, który nie jest kwadratem, też ma 2 osie symetrii, ale są to proste zawierające jego przekątne.

26.Osie symetrii trójkątów i trapezu równoramiennego

Trójkąt równoboczny ma 3 osie symetrii: każda przechodzi przez wierzchołek i środek przeciwległego boku. Trójkąt równoramienny, który nie jest równoboczny, ma 1 oś symetrii: przez wierzchołek między ramionami i środek podstawy. Trapez równoramienny, który nie jest równoległobokiem, ma 1 oś symetrii: przez środki obu podstaw.

27.Kiedy napis ma oś symetrii?

Napis ma pionową oś symetrii, gdy każda jego litera ma pionową oś symetrii (np. A, H, M, O, T, W) i napis czytany od końca jest taki sam, np. OHO. Napis ma poziomą oś symetrii, gdy każda jego litera ma poziomą oś symetrii (np. B, C, D, E, K, O), np. BOK. Napis OLO nie ma osi symetrii, bo litera L nie ma ani pionowej, ani poziomej osi symetrii.