Mnożenie i dzielenie ułamków zwykłych - Matematyka z plusem 5

Iloczyn dwóch ułamków obliczamy, mnożąc licznik przez licznik i mianownik przez mianownik, np. $\frac{2}{5} \cdot \frac{4}{9} = \frac{2 \cdot 4}{5 \cdot 9} = \frac{8}{45}$. Wspólny mianownik jest potrzebny przy dodawaniu i odejmowaniu, a przy mnożeniu nie.

Regułę widać na rysunku. Całość podzielono na 2 rzędy i 3 kolumny, czyli na 6 równych pól. Zamalowana część ma $\frac{2}{3}$ szerokości i $\frac{1}{2}$ wysokości całości. Zajmuje 2 pola z 6, więc $\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Ułamek ułamka obliczamy mnożeniem, tak samo jak ułamek liczby naturalnej. Rysunek pokazuje też, że $\frac{2}{3}$ z połowy całości to $\frac{1}{3}$ całości.

Gdy jeden z czynników jest liczbą naturalną, możemy zapisać go jako ułamek o mianowniku 1. Wtedy reguła daje ten sam wynik co mnożenie przez tę liczbę samego licznika.

Przed mnożeniem warto skracać. Skracamy licznik z mianownikiem: w tym samym ułamku albo na krzyż, czyli licznik jednego ułamka z mianownikiem drugiego. Na przykład w $\frac{6}{25} \cdot \frac{15}{8}$ dzielimy 6 i 8 przez 2, a 15 i 25 przez 5. Zostaje $\frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 4} = \frac{9}{20}$.

Liczby mieszane przed mnożeniem zamieniamy na ułamki niewłaściwe: $1\frac{3}{7} \cdot 2\frac{4}{5} = \frac{10}{7} \cdot \frac{14}{5} = \frac{2 \cdot 2}{1 \cdot 1} = 4$. Tu skróciliśmy 10 z 5 oraz 14 z 7.

Nie mnożymy osobno całości i osobno części ułamkowych. Wyszłoby wtedy $2\frac{12}{35}$, a poprawny wynik to 4.

Kwadrat ułamka to iloczyn dwóch jednakowych ułamków, a sześcian - trzech. Do potęgi podnosimy osobno licznik i mianownik:

• $\left(\frac{2}{7}\right)^2 = \frac{2 \cdot 2}{7 \cdot 7} = \frac{4}{49}$;
• $\left(\frac{1}{5}\right)^3 = \frac{1 \cdot 1 \cdot 1}{5 \cdot 5 \cdot 5} = \frac{1}{125}$.

Liczbę mieszaną najpierw zamieniamy na ułamek niewłaściwy: $\left(1\frac{2}{3}\right)^2 = \left(\frac{5}{3}\right)^2 = \frac{25}{9} = 2\frac{7}{9}$.

Typowe błędy:

• podniesienie do potęgi samego licznika: $\left(\frac{2}{7}\right)^2 \neq \frac{4}{7}$;
• pomnożenie licznika i mianownika przez 2 zamiast potęgowania: $\left(\frac{2}{7}\right)^2 \neq \frac{4}{14}$;
• podniesienie do potęgi osobno części całkowitej i części ułamkowej: $\left(1\frac{2}{3}\right)^2 \neq 1\frac{4}{9}$.

Jeżeli iloczyn dwóch liczb jest równy 1, to każda z nich jest odwrotnością drugiej. Odwrotność ułamka otrzymamy, gdy zamienimy licznik z mianownikiem, np. odwrotnością $\frac{5}{6}$ jest $\frac{6}{5}$, bo $\frac{5}{6} \cdot \frac{6}{5} = 1$.

Liczbę naturalną i liczbę mieszaną przed odwróceniem zapisujemy jako ułamek, jak w tabeli. Częsty błąd to odwrócenie samej części ułamkowej, np. $2\frac{5}{3}$ zamiast $\frac{5}{13}$.

Odwrotność to co innego niż liczba, której brakuje do 1: odwrotnością $\frac{5}{6}$ jest $\frac{6}{5}$, a nie $\frac{1}{6}$.

Liczba większa od 0 i mniejsza od 1 ma odwrotność większą od 1, a liczba większa od 1 - mniejszą od 1.

Podzielić ułamek przez 3 to podzielić go na 3 równe części, czyli wziąć z niego $\frac{1}{3}$. Dlatego dzielenie przez liczbę naturalną zastępujemy mnożeniem przez jej odwrotność, np. $\frac{4}{11} : 3 = \frac{4}{11} \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{33}$.

Przed mnożeniem warto skracać: $\frac{6}{13} : 4 = \frac{6}{13} \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{26}$, bo 6 i 4 dzielimy przez 2.

Liczbę mieszaną najpierw zamieniamy na ułamek niewłaściwy: $6\frac{3}{4} : 9 = \frac{27}{4} \cdot \frac{1}{9} = \frac{3}{4}$, bo 27 i 9 dzielimy przez 9.

Tak samo obliczamy liczbę kilka razy mniejszą. Liczba 4 razy mniejsza od $\frac{12}{13}$ to $\frac{12}{13} : 4 = \frac{3}{13}$.

Typowe błędy:

• pomnożenie licznika i mianownika przez dzielnik, czyli rozszerzenie ułamka zamiast dzielenia;
• pomnożenie przez dzielnik zamiast przez jego odwrotność;
• podzielenie tylko jednej części liczby mieszanej.

Iloraz $2 : \frac{2}{7}$ mówi, ile razy $\frac{2}{7}$ mieści się w 2. Dwie całości to $\frac{14}{7}$, czyli 7 kawałków po $\frac{2}{7}$. Ten sam wynik daje mnożenie przez odwrotność: $2 \cdot \frac{7}{2} = 7$.

Aby podzielić liczbę przez ułamek, mnożymy ją przez odwrotność ułamka: $\frac{5}{9} : \frac{2}{3} = \frac{5}{9} \cdot \frac{3}{2} = \frac{5}{6}$. Liczbę mieszaną najpierw zamieniamy na ułamek niewłaściwy: $3\frac{3}{4} : 1\frac{7}{8} = \frac{15}{4} \cdot \frac{8}{15} = 2$.

Gdy dzielna jest większa od 0, sens wyniku łatwo sprawdzić:

• dzielnik mniejszy od 1 daje iloraz większy od dzielnej, np. $2 : \frac{2}{7} = 7$;
• dzielnik większy od 1 daje iloraz mniejszy od dzielnej.

Dzieleniem znajdujemy też brakujący czynnik: jeśli $\square \cdot \frac{4}{5} = \frac{8}{15}$, to $\square = \frac{8}{15} \cdot \frac{5}{4} = \frac{2}{3}$.

Przed liczeniem ustalamy, o co pyta zadanie.

W kolejnych wierszach otrzymujemy: $\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{9} = \frac{1}{6}$ kg, $6 \cdot 2\frac{1}{4} = 13\frac{1}{2}$ zł, $\frac{3}{4} : 6 = \frac{1}{8}$ l, $4 : \frac{2}{5} = 10$ woreczków i $12 : \frac{3}{5} = 20$ km.

Ostatni przykład można też liczyć przez jedną część: $\frac{1}{5}$ trasy to $12 : 3 = 4$ km, a cała trasa to $5 \cdot 4 = 20$ km.

Na ułamkach obowiązuje ta sama kolejność działań co na liczbach naturalnych. Najpierw liczymy w nawiasach, potem potęgi, następnie mnożymy i dzielimy, a na końcu dodajemy i odejmujemy.

Mnożenie i dzielenie stojące obok siebie wykonujemy od lewej do prawej: $\frac{3}{4} : \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{2}$. Liczenie od prawej do lewej daje tu błędny wynik $4\frac{1}{2}$.

Inne typowe błędy:

• odejmowanie przed dzieleniem: $\frac{5}{6} - \frac{1}{2} : 3 = \frac{5}{6} - \frac{1}{6} = \frac{2}{3}$, a nie $\frac{1}{9}$;
• mnożenie przed potęgowaniem: $3 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 3 \cdot \frac{4}{9} = 1\frac{1}{3}$, a nie 4.

Nawias zmienia kolejność działań: $\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right) \cdot \frac{4}{7} = \frac{7}{12} \cdot \frac{4}{7} = \frac{1}{3}$.