Dodawanie, odejmowanie i ułamek liczby - Matematyka z plusem 5

Ułamki o jednakowych mianownikach opisują części tej samej wielkości. Licznik mówi, ile jest tych części. Dlatego dodajemy liczniki, a mianownik zostawiamy bez zmian, np. $\frac{3}{14} + \frac{8}{14} = \frac{11}{14}$.

Gdy suma jest ułamkiem niewłaściwym, wyłączamy z niej całości. Licznik dzielimy przez mianownik z resztą: iloraz to liczba całości, a reszta to nowy licznik. Na przykład $\frac{7}{9} + \frac{8}{9} = \frac{15}{9}$. Ponieważ $15 : 9 = 1 \text{ r } 6$, to $\frac{15}{9} = 1\frac{6}{9}$, a po skróceniu $1\frac{2}{3}$.

Liczby mieszane dodajemy osobno: części całkowite do części całkowitych, części ułamkowe do części ułamkowych. Całości wyłączone z części ułamkowej dopisujemy do części całkowitej, np. $5\frac{7}{10} + 2\frac{6}{10} = 7\frac{13}{10} = 8\frac{3}{10}$.

Na zapisie $7\frac{13}{10}$ nie kończymy, bo część ułamkowa liczby mieszanej ma być ułamkiem właściwym.

Przy jednakowych mianownikach odejmujemy liczniki, a mianownik zostawiamy bez zmian, np. $\frac{17}{20} - \frac{8}{20} = \frac{9}{20}$.

Liczby mieszane możemy odejmować osobno: całości od całości, części ułamkowe od części ułamkowych. Tak liczymy, gdy część ułamkowa odjemnej jest większa od części ułamkowej odjemnika albo jej równa, np. $8\frac{9}{11} - 3\frac{2}{11} = 5\frac{7}{11}$.

Od jedynki odejmujemy, zapisując ją jako ułamek o mianowniku odjemnika, np. $1 - \frac{5}{16} = \frac{16}{16} - \frac{5}{16} = \frac{11}{16}$.

Od liczby naturalnej odejmujemy na jeden z dwóch sposobów:

• jedną całość zamieniamy na ułamek: $9 - 4\frac{2}{7} = 8\frac{7}{7} - 4\frac{2}{7} = 4\frac{5}{7}$;
• liczymy, ile brakuje: od $4\frac{2}{7}$ do 5 brakuje $\frac{5}{7}$, a od 5 do 9 jeszcze 4, razem $4\frac{5}{7}$.

Częsty błąd to odjęcie samych całości i przepisanie ułamka: wychodzi wtedy $5\frac{2}{7}$.

Czasem część ułamkowa odjemnej jest mniejsza niż część ułamkowa odjemnika. Wtedy przed odejmowaniem zamieniamy jedną całość odjemnej na ułamek i dodajemy go do jej części ułamkowej.

Obliczmy $6\frac{1}{8} - 2\frac{5}{8}$. Ułamek $\frac{1}{8}$ jest mniejszy od $\frac{5}{8}$, więc zapisujemy $6\frac{1}{8}$ jako $5\frac{9}{8}$, bo $\frac{8}{8} + \frac{1}{8} = \frac{9}{8}$. Wtedy $5\frac{9}{8} - 2\frac{5}{8} = 3\frac{4}{8} = 3\frac{1}{2}$.

Całość zamieniamy na tyle części, ile wskazuje mianownik. Do licznika nie dodajemy 10, choć tak robimy w odejmowaniu pisemnym.

Można też odjąć w dwóch krokach: najpierw tyle, żeby została liczba naturalna, a potem resztę odjemnika:

$7\frac{3}{10} - \frac{7}{10} = 7\frac{3}{10} - \frac{3}{10} - \frac{4}{10} = 7 - \frac{4}{10} = 6\frac{6}{10} = 6\frac{3}{5}$.

Gdy odjemnik jest liczbą mieszaną, najpierw odejmujemy jego część całkowitą.

Ułamki o różnych mianownikach opisują części różnej wielkości. Zanim je dodamy albo odejmiemy, sprowadzamy je do wspólnego mianownika. Rozszerzając ułamek, mnożymy przez tę samą liczbę licznik i mianownik, a nie sam mianownik.

Najwygodniej wybrać najmniejszy wspólny mianownik, czyli NWW mianowników:

• gdy jeden mianownik dzieli się przez drugi, rozszerzamy tylko jeden ułamek: $\frac{5}{8} - \frac{1}{4} = \frac{5}{8} - \frac{2}{8} = \frac{3}{8}$;
• gdy mianowniki nie mają wspólnego dzielnika większego od 1, wspólny mianownik to ich iloczyn: $\frac{2}{3} + \frac{1}{7} = \frac{14}{21} + \frac{3}{21} = \frac{17}{21}$;
• w pozostałych przypadkach szukamy NWW, np. dla 4 i 6 jest to 12: $\frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{5}{12}$.

Najpierw sprowadzamy części ułamkowe do wspólnego mianownika. Potem liczymy osobno całości i osobno części ułamkowe.

• Przy dodawaniu wyłączamy całości z części ułamkowej, gdy jest ułamkiem niewłaściwym: $2\frac{5}{6} + 1\frac{3}{8} = 2\frac{20}{24} + 1\frac{9}{24} = 3\frac{29}{24} = 4\frac{5}{24}$.
• Przy odejmowaniu, gdy część ułamkowa odjemnej jest za mała, zamieniamy jedną całość na ułamek: $6\frac{2}{5} - 1\frac{2}{3} = 6\frac{6}{15} - 1\frac{10}{15} = 5\frac{21}{15} - 1\frac{10}{15} = 4\frac{11}{15}$.

Te same rachunki pomagają znaleźć brakującą liczbę w działaniu:

• brakujący składnik to suma minus znany składnik;
• brakujący odjemnik to odjemna minus różnica;
• brakująca odjemna to różnica plus odjemnik.

Jeśli $\square + 2\frac{1}{4} = 5\frac{1}{2}$, to $\square = 5\frac{2}{4} - 2\frac{1}{4} = 3\frac{1}{4}$. Sprawdzenie: $3\frac{1}{4} + 2\frac{1}{4} = 5\frac{2}{4} = 5\frac{1}{2}$.

Iloczyn liczby naturalnej i ułamka to suma jednakowych ułamków: $4 \cdot \frac{2}{9} = \frac{2}{9} + \frac{2}{9} + \frac{2}{9} + \frac{2}{9} = \frac{8}{9}$. Dlatego liczbę naturalną mnożymy przez licznik, a mianownik zostawiamy bez zmian. Gdy wyjdzie ułamek niewłaściwy, wyłączamy całości: $\frac{5}{6} \cdot 5 = \frac{25}{6} = 4\frac{1}{6}$.

Liczbę mieszaną mnożymy na jeden z dwóch sposobów:

• zamieniamy ją na ułamek niewłaściwy: $3 \cdot 4\frac{2}{7} = 3 \cdot \frac{30}{7} = \frac{90}{7} = 12\frac{6}{7}$;
• mnożymy osobno część całkowitą i część ułamkową, a wyniki dodajemy: $3 \cdot 4 + 3 \cdot \frac{2}{7} = 12\frac{6}{7}$.

Typowe błędy to pomnożenie także mianownika i pomnożenie samej części całkowitej, np. $3 \cdot 4\frac{2}{7} \neq 12\frac{2}{7}$.

Liczba 5 razy większa od $\frac{4}{17}$ to $5 \cdot \frac{4}{17} = \frac{20}{17} = 1\frac{3}{17}$, a liczba o 5 większa to $5\frac{4}{17}$.

Skracać warto, gdy liczba naturalna i mianownik mają wspólny dzielnik większy od 1. Dzielimy obie liczby przez ten dzielnik, a dopiero potem mnożymy. Wynik się nie zmienia, a liczymy na mniejszych liczbach.

• $\frac{7}{10} \cdot 4$: 4 i 10 dzielimy przez 2, więc otrzymujemy $\frac{7 \cdot 2}{5} = \frac{14}{5} = 2\frac{4}{5}$.
• $45 \cdot \frac{4}{15}$: 45 i 15 dzielimy przez 15. W mianowniku zostaje 1, więc wynik jest liczbą naturalną: $3 \cdot 4 = 12$.
• $6 \cdot 2\frac{3}{4}$: liczbę mieszaną najpierw zamieniamy na $\frac{11}{4}$. Potem 6 i 4 dzielimy przez 2: $\frac{3 \cdot 11}{2} = \frac{33}{2} = 16\frac{1}{2}$.

Ułamek liczby możemy obliczyć na dwa sposoby:

• dzielimy przez mianownik i mnożymy przez licznik: $\frac{3}{4}$ liczby 44 to $44 : 4 \cdot 3 = 33$;
• mnożymy ułamek przez tę liczbę i skracamy: $\frac{3}{4} \cdot 44 = 3 \cdot 11 = 33$.

Mnożenie jest wygodne, gdy liczba nie dzieli się przez mianownik: $\frac{2}{7}$ liczby 9 to $\frac{18}{7} = 2\frac{4}{7}$. Liczbę mieszaną najpierw zamieniamy na ułamek niewłaściwy.

Gdy wiemy, ile wynosi ułamek liczby, a szukamy całej liczby, najpierw obliczamy jedną część. Jeśli $\frac{4}{9}$ liczby to 28, to $\frac{1}{9}$ liczby to $28 : 4 = 7$, a cała liczba to $9 \cdot 7 = 63$.

Typowy błąd to obliczenie $\frac{4}{9}$ liczby 28. Szukana liczba jest jednak większa od 28, bo $\frac{4}{9}$ to mniej niż całość.