Ułamki zwykłe, skracanie i porównywanie - Matematyka z plusem 5

1.Licznik i mianownik ułamka

Ułamek zwykły zapisujemy z kreską ułamkową, np. $\frac{5}{8}$. Liczba nad kreską to licznik, a liczba pod kreską - mianownik. Mianownik mówi, na ile równych części podzielono całość, a licznik - ile takich części wzięto. Na rysunku koło podzielono na 8 równych części i zamalowano 5, czyli $\frac{5}{8}$ koła.

2.Jak zapisać ułamkiem, jaką część całości stanowi grupa?

Liczbę elementów grupy piszemy w liczniku, a liczbę wszystkich elementów - w mianowniku. Np. w klasie jest 26 uczniów, w tym 11 dziewczynek. Dziewczynki stanowią $\frac{11}{26}$ klasy, a chłopcy $\frac{15}{26}$ klasy, bo $26 - 11 = 15$.

3.Jak zapisać ułamkiem część godziny, tygodnia albo centymetra?

Sprawdzamy, ile mniejszych jednostek ma większa jednostka - ta liczba jest mianownikiem. Godzina ma 60 minut, więc 13 minut to $\frac{13}{60}$ godziny. Tydzień ma 7 dni, więc 3 dni to $\frac{3}{7}$ tygodnia. Centymetr ma 10 mm, więc 9 mm to $\frac{9}{10}$ cm. Odwrotnie: $\frac{1}{3}$ godziny to $60 : 3 = 20$ minut.

4.Ułamek właściwy i ułamek niewłaściwy

Ułamek właściwy ma licznik mniejszy od mianownika i jest mniejszy od 1, np. $\frac{3}{4}$. Ułamek niewłaściwy ma licznik większy od mianownika albo mu równy i jest większy od 1 lub równy 1, np. $\frac{4}{4} = 1$ i $\frac{6}{4}$. Na rysunku $\frac{3}{4}$ to mniej niż cały pasek, $\frac{4}{4}$ to cały pasek, a $\frac{6}{4}$ - więcej niż cały.

5.Jak zaznaczyć ułamek na osi liczbowej?

Odcinek od 0 do 1 dzielimy na tyle równych części, ile wynosi mianownik, i od zera odliczamy tyle kresek, ile wynosi licznik. Np. gdy jednostkę podzielimy na 3 części, $\frac{2}{3}$ leży na drugiej kresce za zerem. Ułamek niewłaściwy leży w 1 albo dalej: $\frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}$ leży na drugiej kresce za liczbą 1.

6.Liczba mieszana

Liczba mieszana składa się z części całkowitej i części ułamkowej, np. w $1\frac{3}{4}$ część całkowita to 1, a część ułamkowa to $\frac{3}{4}$. Liczba mieszana to inaczej zapisany ułamek niewłaściwy. Na rysunku jest 1 całe koło i $\frac{3}{4}$ koła, czyli 7 ćwiartek: $1\frac{3}{4} = \frac{7}{4}$.

7.Jak zapisać liczbę naturalną w postaci ułamka o danym mianowniku?

Mnożymy liczbę przez mianownik i wynik piszemy w liczniku. Np. $3 = \frac{15}{5}$, bo $3 \cdot 5 = 15$. Tak samo $4 = \frac{24}{6}$, bo w 4 całościach jest $4 \cdot 6 = 24$ szóstych części.

8.Jak zamienić liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy?

Część całkowitą mnożymy przez mianownik i dodajemy licznik. Wynik piszemy w liczniku, a mianownik się nie zmienia. Np. $3\frac{2}{5} = \frac{17}{5}$, bo $3 \cdot 5 + 2 = 17$: w 3 całościach jest 15 piątych części, a razem z częścią ułamkową - 17.

9.Ułamek jako iloraz

Wynik dzielenia możemy zapisać w postaci ułamka: dzielna jest licznikiem, a dzielnik - mianownikiem. Kreska ułamkowa zastępuje znak dzielenia. Np. 2 jednakowe pizze dzielimy po równo między 3 osoby: $2 : 3 = \frac{2}{3}$, więc każda osoba dostaje $\frac{2}{3}$ pizzy. I odwrotnie: $\frac{5}{9} = 5 : 9$.

10.Kiedy ułamek jest liczbą naturalną?

Gdy licznik dzieli się przez mianownik bez reszty, np. $\frac{36}{9} = 36 : 9 = 4$. Ułamek o mianowniku 1 jest równy licznikowi: $\frac{8}{1} = 8$. Ułamek o liczniku 0 jest równy 0: $\frac{0}{7} = 0$.

11.Wyłączanie całości z ułamka

To zamiana ułamka niewłaściwego na liczbę mieszaną albo na liczbę naturalną. Dzielimy licznik przez mianownik z resztą: wynik dzielenia to część całkowita, a reszta - licznik części ułamkowej. Mianownik się nie zmienia. Np. $23 : 4 = 5 \text{ r } 3$, więc $\frac{23}{4} = 5\frac{3}{4}$. Gdy reszty nie ma, wychodzi liczba naturalna.

12.Skracanie ułamka

Skracanie ułamka to podzielenie licznika i mianownika przez ich wspólny dzielnik. Otrzymujemy tę samą liczbę, tylko inaczej zapisaną: $\frac{6}{8} = \frac{6 : 2}{8 : 2} = \frac{3}{4}$. Na rysunku $\frac{6}{8}$ koła i $\frac{3}{4}$ koła to taka sama część koła.

13.Ułamek nieskracalny

Ułamek nieskracalny to ułamek, którego nie da się skrócić: jego licznik i mianownik nie mają wspólnego dzielnika innego niż 1. Np. $\frac{4}{9}$, $\frac{7}{10}$ i $\frac{11}{6}$ są nieskracalne, a $\frac{6}{15}$ można skrócić przez 3.

14.Jak od razu skrócić ułamek do ułamka nieskracalnego?

Licznik i mianownik dzielimy przez ich NWD. Np. $\mathrm{NWD}(18, 48) = 6$, więc $\frac{18}{48} = \frac{18 : 6}{48 : 6} = \frac{3}{8}$. Można też skracać kilka razy, aż ułamek będzie nieskracalny: $\frac{18}{48} = \frac{9}{24} = \frac{3}{8}$ (najpierw przez 2, potem przez 3).

15.Jak skrócić ułamek, gdy licznik i mianownik kończą się zerami?

Skreślamy tyle samo zer na końcu licznika i na końcu mianownika - to skracanie przez 10, 100 itd. Potem sprawdzamy, czy da się skrócić dalej. Np. $\frac{300}{4500} = \frac{3}{45} = \frac{1}{15}$.

16.Jak znaleźć liczbę, przez którą da się skrócić ułamek?

Szukamy wspólnego dzielnika licznika i mianownika, korzystając z cech podzielności. Gdy obie liczby są parzyste, skracamy przez 2. Gdy obie kończą się cyfrą 0 lub 5 - przez 5. Gdy sumy cyfr obu liczb dzielą się przez 3 - przez 3. Np. w $\frac{51}{87}$: $5 + 1 = 6$, $8 + 7 = 15$, więc $\frac{51}{87} = \frac{17}{29}$.

17.Jak skrócić ułamek, korzystając z rozkładu na czynniki pierwsze?

Rozkładamy licznik i mianownik na czynniki pierwsze i skreślamy czynniki, które są i w liczniku, i w mianowniku: $\frac{30}{42} = \frac{\cancel{2} \cdot \cancel{3} \cdot 5}{\cancel{2} \cdot \cancel{3} \cdot 7} = \frac{5}{7}$. Gdy w liczniku skreślimy wszystkie czynniki, zostaje w nim 1: $\frac{14}{42} = \frac{1}{3}$.

18.Rozszerzanie ułamka

Rozszerzanie ułamka to pomnożenie licznika i mianownika przez tę samą liczbę różną od 0. Ułamek po rozszerzeniu jest równy danemu: $\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{10}{15}$. Rozszerzanie to odwrotność skracania.

19.Jak rozszerzyć ułamek do danego mianownika?

Sprawdzamy, ile razy nowy mianownik jest większy od starego, i przez tę liczbę mnożymy licznik. Np. $\frac{3}{4} = \frac{?}{20}$: $20 : 4 = 5$, więc licznik to $3 \cdot 5 = 15$ i $\frac{3}{4} = \frac{15}{20}$. Tak samo do danego licznika: $\frac{2}{7} = \frac{10}{?}$, $10 : 2 = 5$, więc mianownik to $7 \cdot 5 = 35$.

20.Wspólny mianownik

Sprowadzić ułamki do wspólnego mianownika to rozszerzyć je tak, żeby miały jednakowe mianowniki. Np. $\frac{1}{3} = \frac{5}{15}$ i $\frac{2}{5} = \frac{6}{15}$. Wspólnym mianownikiem zawsze może być iloczyn mianowników, tu $3 \cdot 5 = 15$.

21.Najmniejszy wspólny mianownik

Często wystarczy wspólny mianownik mniejszy niż iloczyn mianowników. Najmniejszy wspólny mianownik to NWW mianowników. Np. dla $\frac{3}{4}$ i $\frac{5}{6}$: $\mathrm{NWW}(4, 6) = 12$, więc $\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$ i $\frac{5}{6} = \frac{10}{12}$. Iloczyn $4 \cdot 6 = 24$ też jest wspólnym mianownikiem, ale liczby są wtedy większe.

22.Porównywanie ułamków o jednakowych mianownikach

Gdy ułamki mają jednakowe mianowniki, większy jest ten, który ma większy licznik. Np. $\frac{7}{9} > \frac{4}{9}$, bo 7 dziewiątych części to więcej niż 4 takie same części.

23.Porównywanie ułamków o jednakowych licznikach

Gdy ułamki mają jednakowe liczniki, większy jest ten, który ma mniejszy mianownik. Np. $\frac{3}{4} > \frac{3}{7}$: im na mniej części dzielimy całość, tym każda część jest większa. Na rysunku 3 czwarte paska zajmują więcej niż 3 siódme takiego samego paska.

24.Porównywanie liczb mieszanych

Najpierw porównujemy części całkowite: większa jest liczba o większej części całkowitej, np. $4\frac{1}{9} > 3\frac{8}{9}$. Gdy części całkowite są równe, porównujemy części ułamkowe, np. $3\frac{2}{3} > 3\frac{3}{5}$, bo $\frac{2}{3} = \frac{10}{15}$, a $\frac{3}{5} = \frac{9}{15}$.

25.Porównywanie ułamków o różnych licznikach i mianownikach

Sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika i porównujemy liczniki. Np. $\frac{3}{4}$ i $\frac{5}{7}$: $\frac{3}{4} = \frac{21}{28}$, $\frac{5}{7} = \frac{20}{28}$, a $21 > 20$, więc $\frac{3}{4} > \frac{5}{7}$.

26.Kiedy ułamek jest mniejszy, a kiedy większy od $\frac{1}{2}$?

Ułamek jest mniejszy od $\frac{1}{2}$, gdy jego licznik jest mniejszy od połowy mianownika, a większy od $\frac{1}{2}$, gdy licznik jest większy od połowy mianownika. Dzięki temu łatwo porównać np. $\frac{4}{9}$ i $\frac{5}{8}$: połowa 9 to $4\frac{1}{2}$, a połowa 8 to 4, więc $\frac{4}{9} < \frac{1}{2} < \frac{5}{8}$.

27.Jak porównać ułamki, którym do 1 brakuje jednej części?

Gdy w obu ułamkach licznik jest o 1 mniejszy od mianownika, sprawdzamy, ile każdemu brakuje do 1. Większy jest ten, któremu brakuje mniej. Np. $\frac{8}{9} < \frac{10}{11}$, bo do 1 brakuje im $\frac{1}{9}$ i $\frac{1}{11}$, a $\frac{1}{11} < \frac{1}{9}$.