Działania pisemne i zadania tekstowe - Matematyka z plusem 5

1.Dodawanie pisemne

Liczby podpisujemy tak, żeby jedności były pod jednościami, dziesiątki pod dziesiątkami itd. Dodajemy od prawej, kolumna po kolumnie. Gdy suma w kolumnie wynosi 10 lub więcej, piszemy jej cyfrę jedności, a 1 przenosimy do kolumny po lewej. Np. $4768 + 2595 = 7363$.

2.Dodawanie pisemne kilku liczb

Wszystkie liczby podpisujemy od prawej strony, jedności pod jednościami. Gdy suma w kolumnie wynosi 20 lub więcej, przenosimy 2, a gdy 30 lub więcej - 3. Np. $3857 + 649 + 2768$: jedności $7 + 9 + 8 = 24$, piszemy 4 i przenosimy 2. Wynik to 7274.

3.Odejmowanie pisemne

Liczby podpisujemy jedności pod jednościami i odejmujemy od prawej. Gdy cyfra odjemnej jest mniejsza od cyfry odjemnika, zamieniamy 1 z kolumny po lewej na 10: tamtą cyfrę zmniejszamy o 1, a do cyfry, od której odejmujemy, dodajemy 10. Zmienione cyfry zapisujemy nad odjemną. Np. $652 - 287 = 365$.

4.Odejmowanie pisemne, gdy w odjemnej są zera

Gdy trzeba pożyczyć, a obok stoi zero, idziemy w lewo do najbliższej cyfry różnej od zera. Zmniejszamy ją o 1, zera po drodze zamieniamy na 9, a cyfra, od której zaczęliśmy, dostaje 10 więcej. Np. $4005 - 1278$: 4 zamieniamy na 3, oba zera na 9, a 5 na 15. Potem $15 - 8 = 7$, $9 - 7 = 2$, $9 - 2 = 7$, $3 - 1 = 2$, wynik 2727.

5.Jak sprawdzić odejmowanie?

Do różnicy dodajemy odjemnik - musi wyjść odjemna. Np. $652 - 287 = 365$ jest dobrze, bo $365 + 287 = 652$. Tak samo sprawdzamy dodawanie: od sumy odejmujemy jeden składnik i musi wyjść drugi.

6.Szacowanie przed działaniem pisemnym

Zanim zaczniemy liczyć pisemnie, szacujemy wynik: zaokrąglamy liczby do pełnych setek albo tysięcy. Potem porównujemy oszacowanie z dokładnym wynikiem. Np. $3812 - 1975$ to około $3800 - 2000 = 1800$, a dokładnie 1837. Gdyby wyszło 2837, wiedzielibyśmy, że jest błąd.

7.Odejmowanie przez dokładanie, jak przy wydawaniu reszty

Zamiast odejmować, liczymy, ile trzeba dołożyć do odjemnika, żeby dojść do odjemnej: najpierw do pełnej dziesiątki, potem do pełnej setki, potem dalej. Np. $500 - 237$: do 240 brakuje 3, do 300 jeszcze 60, a do 500 jeszcze 200. Razem $3 + 60 + 200 = 263$.

8.Mnożenie pisemne przez liczbę jednocyfrową

Mnożymy od prawej każdą cyfrę przez czynnik jednocyfrowy. Z wyniku piszemy cyfrę jedności, a dziesiątki przenosimy i dodajemy dopiero po pomnożeniu następnej cyfry. Np. $736 \cdot 4$: $6 \cdot 4 = 24$, piszemy 4 i przenosimy 2; $3 \cdot 4 + 2 = 14$, piszemy 4 i przenosimy 1; $7 \cdot 4 + 1 = 29$. Wynik to 2944.

9.Mnożenie pisemne przez liczbę dwucyfrową

Najpierw mnożymy przez cyfrę jedności, potem przez cyfrę dziesiątek. Drugi wynik piszemy przesunięty o jedno miejsce w lewo, bo naprawdę mnożymy przez pełne dziesiątki. Na koniec oba wyniki dodajemy. Np. $243 \cdot 36$: $243 \cdot 6 = 1458$, $243 \cdot 3 = 729$ pod dziesiątkami, czyli 7290, a $1458 + 7290 = 8748$.

10.Mnożenie pisemne przez liczbę z zerem w środku, np. 406

Wiersza z samymi zerami nie piszemy. Mnożymy przez 6, a potem przez 4 i ten wynik piszemy przesunięty o dwa miejsca w lewo, pod setkami, bo 4 oznacza 4 setki. Np. $215 \cdot 406$: $215 \cdot 6 = 1290$, $215 \cdot 4 = 860$, czyli $86\,000$. Razem $87\,290$.

11.Mnożenie pisemne liczb z zerami na końcu

Zera końcowe oddzielamy kreską i mnożymy pisemnie tylko pozostałe cyfry. Na koniec dopisujemy do wyniku wszystkie oddzielone zera. Np. $4600 \cdot 250$: $46 \cdot 25 = 1150$, a zer jest razem 3, więc wynik to $1\,150\,000$.

12.Dzielenie pisemne przez liczbę jednocyfrową

Dzielimy od lewej. Bierzemy tyle cyfr dzielnej, żeby dzielnik się w nich zmieścił, i cyfrę wyniku piszemy nad ostatnią z nich. Mnożymy ją przez dzielnik, odejmujemy, spisujemy następną cyfrę dzielnej i powtarzamy. Np. $1956 : 6$: $19 : 6 = 3 \text{ r } 1$, potem $15 : 6 = 2 \text{ r } 3$, potem $36 : 6 = 6$. Wynik to 326.

13.Reszta w dzieleniu pisemnym

Gdy spiszemy już wszystkie cyfry dzielnej, różnica, która zostaje na końcu, jest resztą. Zapisujemy ją literą r: $4718 : 5 = 943 \text{ r } 3$. Reszta musi być mniejsza od dzielnika. Gdy wyjdzie równa dzielnikowi albo większa, cyfra ilorazu jest za mała.

14.Zero w ilorazie

Gdy po spisaniu cyfry dzielnik się nie mieści, piszemy w ilorazie 0 i spisujemy następną cyfrę. Np. $2835 : 7$: $28 : 7 = 4$, potem spisujemy 3, a 7 nie mieści się w 3, więc piszemy 0 i spisujemy 5: $35 : 7 = 5$. Wynik to 405, a nie 45.

15.Jak sprawdzić dzielenie?

Iloraz mnożymy przez dzielnik i dodajemy resztę, jeśli jest - musi wyjść dzielna. Np. $4718 : 5 = 943 \text{ r } 3$ jest dobrze, bo $943 \cdot 5 + 3 = 4718$. Bez reszty: $2835 : 7 = 405$, bo $405 \cdot 7 = 2835$.

16.Ile razy 20, 30, 40 mieści się w danej liczbie?

Mnożymy dzielnik przez liczby z tabliczki mnożenia, aż iloczyn przekroczy daną liczbę. Np. ile razy 40 mieści się w 290: $40 \cdot 7 = 280$ to jeszcze mniej niż 290, a $40 \cdot 8 = 320$ to już więcej. Zatem 40 mieści się w 290 siedem razy i zostaje 10.

17.Dzielenie pisemne przez liczbę dwucyfrową

Dzielimy tak samo jak przez liczbę jednocyfrową, ale w każdym kroku szacujemy: dzielnik 23 traktujemy jak 20 i sprawdzamy wynik mnożeniem. Np. $1955 : 23$: 20 mieści się w 195 dziewięć razy, ale $23 \cdot 9 = 207$ to za dużo, więc piszemy 8, a $195 - 184 = 11$. Spisujemy 5: $23 \cdot 5 = 115$. Wynik to 85.

18.Za duża albo za mała cyfra ilorazu

Gdy iloczyn cyfry ilorazu i dzielnika jest większy od liczby, którą dzielimy, cyfra jest za duża - bierzemy o 1 mniejszą. Gdy różnica wychodzi równa dzielnikowi albo większa, cyfra jest za mała - bierzemy o 1 większą. Np. przy $137 : 29$: $29 \cdot 5 = 145$ to za dużo, więc 4, bo $29 \cdot 4 = 116$.

19.Dzielenie pisemne liczb z zerami na końcu

W dzielnej i w dzielniku skreślamy po tyle samo zer końcowych, a potem dzielimy. Np. $85\,800 : 300 = 858 : 3 = 286$. Uwaga na resztę: skreślone zera trzeba do niej dopisać. $5300 : 400$: $53 : 4 = 13 \text{ r } 1$, więc $5300 : 400 = 13 \text{ r } 100$, bo $400 \cdot 13 + 100 = 5300$.

20.Jak obliczyć nieznany czynnik albo dzielnik?

Nieznany czynnik: iloczyn dzielimy przez znany czynnik, np. $15 \cdot x = 1065$, więc $x = 1065 : 15 = 71$. Nieznany dzielnik: dzielną dzielimy przez iloraz, np. $432 : z = 18$, więc $z = 432 : 18 = 24$. Wynik sprawdzamy mnożeniem.

21.Jak rozwiązać zadanie tekstowe?

1. Czytamy uważnie treść. 2. Zapisujemy krótko dane i to, czego szukamy, a gdy to pomaga - robimy rysunek. 3. Planujemy działania i je wykonujemy. 4. Sprawdzamy, czy wynik ma sens. 5. Piszemy odpowiedź pełnym zdaniem.

22.Ile odstępów jest między słupkami ustawionymi w rzędzie?

Odstępów jest o 1 mniej niż słupków (drzewek, latarni). Np. 6 słupków ustawionych w rzędzie co 4 m tworzy 5 odstępów, więc od pierwszego do ostatniego słupka jest $5 \cdot 4 = 20$ m. Rysunek pokazuje słupki na 0, 4, 8, 12, 16 i 20 m.

23.Ile jest liczb od jednej do drugiej?

Gdy liczymy wszystkie liczby od jednej do drugiej razem z nimi, odejmujemy mniejszą od większej i dodajemy 1. Mieszkania od nr 35 do nr 80 to $80 - 35 + 1 = 46$ mieszkań. Strony od 14 do 60 to $60 - 14 + 1 = 47$ stron.

24.Jak znaleźć dwie liczby, gdy znamy ich sumę i różnicę?

Od sumy odejmujemy różnicę - zostaje podwojona mniejsza liczba. Dzielimy ją przez 2, a do wyniku dodajemy różnicę. Np. suma wynosi 75, a jedna liczba jest o 9 większa: $75 - 9 = 66$, $66 : 2 = 33$, a druga liczba to $33 + 9 = 42$. Sprawdzenie: $33 + 42 = 75$.

25.Jak podzielić całość, gdy jedna część jest kilka razy większa od drugiej?

Mniejszą część traktujemy jako 1 część, a większą - jako tyle części, ile razy jest większa. Całość dzielimy przez liczbę wszystkich części. Np. jest 56 kulek, czerwonych 3 razy więcej niż niebieskich: razem $1 + 3 = 4$ części, niebieskich $56 : 4 = 14$, a czerwonych $3 \cdot 14 = 42$.

26.Różnica wieku

Różnica wieku dwóch osób się nie zmienia, bo co roku obie są o rok starsze. Jeśli Ewa miała 5 lat, gdy urodził się Kuba, to zawsze jest od niego o 5 lat starsza: gdy Kuba ma 12 lat, Ewa ma 17.

27.Reszta w zadaniu tekstowym

Po dzieleniu z resztą sprawdzamy, o co pyta zadanie. 50 osób siada na ławkach po 4 miejsca: $50 : 4 = 12 \text{ r } 2$. Ławek trzeba 13, bo 2 osoby też muszą usiąść. Pełnych ławek będzie jednak tylko 12.

28.Jak rozumieć zwroty „o … mniej niż” i „… razy mniej niż”?

Zdanie „Kasia ma 12 zł, o 5 zł mniej niż Tomek” znaczy, że Tomek ma o 5 zł więcej: $12 + 5 = 17$ zł. Tak samo „Ola ma 3 razy mniej niż Ala” znaczy, że Ala ma 3 razy więcej. Zanim policzysz, ustal, kto ma więcej.

29.Ile kosztuje kilka sztuk, gdy znamy cenę innej liczby sztuk?

Najpierw obliczamy cenę jednej sztuki: kwotę dzielimy przez liczbę sztuk. Potem mnożymy tę cenę przez potrzebną liczbę sztuk. Np. 8 długopisów kosztuje 32 zł, więc jeden kosztuje $32 : 8 = 4$ zł, a 5 długopisów - $5 \cdot 4 = 20$ zł.