Liczby, rachunki w pamięci i szacowanie - Matematyka z plusem 5

1.Liczby naturalne

Liczby 0, 1, 2, 3, …, 100, 101, … nazywamy liczbami naturalnymi. Najmniejszą liczbą naturalną jest 0. Największej nie ma, bo do każdej liczby naturalnej można dodać 1 i otrzymać następną.

2.Co oznaczają cyfry w zapisie liczby?

Każda cyfra mówi, ile w liczbie jest jedności, dziesiątek, setek, tysięcy, dziesiątek tysięcy itd. Zależy to od miejsca cyfry w liczbie, a miejsca liczymy od prawej. Np. $52\,406 = 5 \cdot 10\,000 + 2 \cdot 1000 + 4 \cdot 100 + 0 \cdot 10 + 6$: 5 to cyfra dziesiątek tysięcy, 2 - tysięcy, 4 - setek, 0 - dziesiątek, a 6 - jedności.

3.Tysiąc, milion, miliard, bilion

Tysiąc to 1000 (3 zera), milion to $1\,000\,000$ (6 zer), czyli tysiąc tysięcy, miliard to $1\,000\,000\,000$ (9 zer), czyli tysiąc milionów, a bilion (12 zer) to tysiąc miliardów. Skróty: tys., mln, mld, bln. Kwoty porównujemy w tej samej jednostce: 2500 mln zł to 2 mld 500 mln zł, więc więcej niż 2 mld zł.

4.Jak odczytać dużą liczbę?

Cyfry dzielimy na grupy po trzy, zaczynając od prawej strony: grupa jedności, tysięcy, milionów, miliardów. Potem od lewej czytamy każdą grupę jak liczbę trzycyfrową i dodajemy nazwę grupy. Grupy samych zer nie czytamy. Np. $3\,040\,250\,017$ to trzy miliardy czterdzieści milionów dwieście pięćdziesiąt tysięcy siedemnaście.

5.Jak zapisać cyframi liczbę podaną słowami?

Zapisujemy grupy od lewej: miliardy, miliony, tysiące, jedności. Każda grupa oprócz pierwszej z lewej ma dokładnie 3 cyfry, więc brakujące miejsca wypełniamy zerami. Np. dwa miliony sześćdziesiąt tysięcy osiem to $2\,060\,008$, a nie 2608. Pięć miliardów to $5\,000\,000\,000$.

6.Jak odczytać liczbę na osi liczbowej?

Najpierw ustalamy, ile oznacza jeden odstęp między sąsiednimi kreskami: różnicę dwóch podpisanych liczb dzielimy przez liczbę odstępów między nimi. Potem od podpisanej kreski odliczamy odstępy. Np. gdy od kreski 0 do kreski 200 są 2 odstępy, jeden odstęp to $200 : 2 = 100$. Na rysunku kreski są właśnie co 100: punkt A leży 3 odstępy w prawo od 0, czyli na 300, a punkt B - w połowie odstępu między 600 a 700, czyli na 650.

7.Jak porównać dwie liczby naturalne?

Większa jest liczba, która ma więcej cyfr, np. $10\,002 > 9875$. Gdy liczby mają tyle samo cyfr, porównujemy cyfry od lewej strony: rozstrzyga pierwsza różna cyfra. Np. $48\,095 < 48\,590$, bo w setkach $0 < 5$. Na osi liczbowej większa liczba leży dalej w prawo.

8.Nazwy liczb w dodawaniu i odejmowaniu

W dodawaniu $54 + 29 = 83$ liczby 54 i 29 to składniki, a wynik 83 to suma. W odejmowaniu $72 - 35 = 37$ liczba 72 to odjemna (od niej odejmujemy), 35 to odjemnik (tę liczbę odejmujemy), a wynik 37 to różnica.

9.Dodawanie w pamięci - dwa sposoby

Sposób I: dodajemy osobno dziesiątki i osobno jedności, a potem oba wyniki. $58 + 34$: $50 + 30 = 80$, $8 + 4 = 12$, $80 + 12 = 92$. Sposób II: do pierwszej liczby dodajemy dziesiątki drugiej, a potem jej jedności. $58 + 34$: $58 + 30 = 88$, $88 + 4 = 92$.

10.Odejmowanie w pamięci po częściach

Odjemnik rozkładamy na części i odejmujemy je jedna po drugiej. Najczęściej najpierw dziesiątki, potem jedności: $83 - 47 = 83 - 40 - 7 = 43 - 7 = 36$. Można też najpierw dojść do pełnej setki: $652 - 57 = 652 - 52 - 5 = 600 - 5 = 595$.

11.Odejmowanie przez dopełnianie

Liczymy, ile brakuje od odjemnika do odjemnej, i zatrzymujemy się po drodze na pełnej dziesiątce. $74 - 46$: od 46 do 50 brakuje 4, a od 50 do 74 jeszcze 24. Razem $4 + 24 = 28$, więc $74 - 46 = 28$. Rysunek pokazuje te dwa kawałki na osi liczbowej.

12.Przestawianie i łączenie składników

Gdy dodajemy kilka liczb, możemy je przestawiać i łączyć w dowolny sposób - suma się nie zmienia. Najpierw dodajemy te, które dają pełną dziesiątkę albo setkę: $36 + 85 + 64 = (36 + 64) + 85 = 100 + 85 = 185$.

13.Jak sprytnie dodać lub odjąć liczbę bliską pełnej dziesiątce albo setce?

Dodajemy pełną dziesiątkę i poprawiamy wynik: $238 + 49 = 238 + 50 - 1 = 287$. Albo przesuwamy część jednego składnika do drugiego: $238 + 49 = 240 + 47 = 287$. Przy odejmowaniu 99 odejmujemy 100 i dodajemy 1, bo odjęliśmy o 1 za dużo: $524 - 99 = 524 - 100 + 1 = 425$.

14.Zwroty „o … więcej”, „o … mniej” i „o ile”

Liczba o 30 większa od 86 to $86 + 30 = 116$, a liczba o 40 mniejsza od 86 to $86 - 40 = 46$. Aby obliczyć, o ile jedna liczba jest mniejsza od drugiej, odejmujemy mniejszą od większej: 375 jest mniejsza od 1000 o $1000 - 375 = 625$.

15.Jak obliczyć nieznaną odjemną lub odjemnik?

Nieznaną odjemną obliczamy dodawaniem: różnica + odjemnik. Gdy $\square - 18 = 25$, to $\square = 25 + 18 = 43$. Nieznany odjemnik obliczamy odejmowaniem: odjemna - różnica. Gdy $52 - \square = 17$, to $\square = 52 - 17 = 35$. Wynik sprawdzamy, wstawiając liczbę do działania.

16.Nazwy liczb w mnożeniu i dzieleniu

W mnożeniu $16 \cdot 4 = 64$ liczby 16 i 4 to czynniki, a wynik 64 to iloczyn. W dzieleniu $56 : 7 = 8$ liczba 56 to dzielna (tę liczbę dzielimy), 7 to dzielnik (przez niego dzielimy), a wynik 8 to iloraz.

17.Mnożenie i dzielenie w pamięci przez rozkład

Przy mnożeniu rozkładamy większy czynnik na dziesiątki i jedności, mnożymy każdą część i dodajemy wyniki: $6 \cdot 37 = 6 \cdot 30 + 6 \cdot 7 = 180 + 42 = 222$. Przy dzieleniu rozkładamy dzielną na dwie liczby, które łatwo podzielić przez dzielnik: $84 : 6 = 60 : 6 + 24 : 6 = 10 + 4 = 14$.

18.Mnożenie przez 10, 100, 1000

Mnożąc liczbę przez 10, 100 lub 1000, dopisujemy na jej końcu odpowiednio jedno, dwa lub trzy zera: $56 \cdot 10 = 560$, $56 \cdot 100 = 5600$, $56 \cdot 1000 = 56\,000$. Dlatego liczba z dopisanym na końcu zerem jest 10 razy większa, a z dwoma zerami - 100 razy większa.

19.Mnożenie liczb z zerami na końcu

Najpierw mnożymy liczby bez zer końcowych, a potem dopisujemy do wyniku wszystkie te zera z obu czynników: $70 \cdot 300 = 21\,000$, bo $7 \cdot 3 = 21$ i dopisujemy 3 zera. Uwaga: $50 \cdot 60 = 3000$, bo $5 \cdot 6 = 30$ i dopisujemy jeszcze 2 zera.

20.Dzielenie liczb z zerami na końcu

Wynik dzielenia się nie zmienia, gdy dzielną i dzielnik zwiększymy lub zmniejszymy tyle samo razy. Dlatego w dzielnej i w dzielniku skreślamy po tyle samo zer końcowych: $45\,000 : 900 = 450 : 9 = 50$. Sprawdzamy mnożeniem: $900 \cdot 50 = 45\,000$.

21.Kwadrat i sześcian liczby

Kwadrat liczby to iloczyn dwóch jednakowych czynników: $7^2 = 7 \cdot 7 = 49$, $50^2 = 50 \cdot 50 = 2500$. Sześcian to iloczyn trzech jednakowych czynników: $4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$, $10^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$. Uwaga: $7^2$ to nie $7 \cdot 2$.

22.Dzielenie z resztą

Sprawdzamy, ile razy dzielnik mieści się w dzielnej. To, co zostaje, to reszta. Zapisujemy ją literą r: $47 : 6 = 7 \text{ r } 5$, bo $6 \cdot 7 = 42$, a $47 - 42 = 5$. Reszta jest zawsze mniejsza od dzielnika. Przy dzieleniu przez 10 reszta to ostatnia cyfra dzielnej, np. $3458 : 10 = 345 \text{ r } 8$, a przez 100 - liczba z dwóch ostatnich cyfr, np. $3458 : 100 = 34 \text{ r } 58$.

23.Jak sprawdzić dzielenie z resztą?

Dzielnik mnożymy przez iloraz i dodajemy resztę - musi wyjść dzielna: $47 : 6 = 7 \text{ r } 5$, bo $6 \cdot 7 + 5 = 47$. Tak samo znajdujemy nieznaną dzielną: gdy $\square : 8 = 4 \text{ r } 3$, to $\square = 8 \cdot 4 + 3 = 35$.

24.Jednostki długości, masy i pieniędzy

Długość: $1~\mathrm{km} = 1000~\mathrm{m}$, $1~\mathrm{m} = 10~\mathrm{dm} = 100~\mathrm{cm}$, $1~\mathrm{dm} = 10~\mathrm{cm}$. Masa: $1~\mathrm{t} = 1000~\mathrm{kg}$, $1~\mathrm{kg} = 100~\mathrm{dag} = 1000~\mathrm{g}$, $1~\mathrm{dag} = 10~\mathrm{g}$. Pieniądze: $1~\text{zł} = 100~\text{gr}$. Większą jednostkę zamieniamy na mniejszą mnożeniem: $4~\mathrm{m}~7~\mathrm{cm} = 407~\mathrm{cm}$, a mniejszą na większą dzieleniem: $5000~\mathrm{g} = 5~\mathrm{kg}$.

25.Przestawianie i łączenie czynników

Gdy mnożymy kilka liczb, możemy je przestawiać i łączyć w dowolny sposób - iloczyn się nie zmienia. Najpierw mnożymy pary, które dają 10 albo 100, np. $2 \cdot 5 = 10$, $4 \cdot 25 = 100$, $2 \cdot 50 = 100$. Np. $25 \cdot 17 \cdot 4 = 25 \cdot 4 \cdot 17 = 100 \cdot 17 = 1700$.

26.Sprytne mnożenie przez 4, 6 i 8

Zamiast mnożyć przez 4, mnożymy dwa razy przez 2: $64 \cdot 4 = 64 \cdot 2 \cdot 2 = 128 \cdot 2 = 256$. Przez 6 mnożymy przez 2, a potem przez 3: $35 \cdot 6 = 35 \cdot 2 \cdot 3 = 70 \cdot 3 = 210$. Przez 8 mnożymy trzy razy przez 2: $65 \cdot 8 = 65 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 130 \cdot 2 \cdot 2 = 260 \cdot 2 = 520$.

27.Sprytne mnożenie przez 5, 50 i 25

Przez 5: mnożymy przez 10 i dzielimy przez 2, np. $68 \cdot 5 = 680 : 2 = 340$. Przez 50: mnożymy przez 100 i dzielimy przez 2, np. $68 \cdot 50 = 6800 : 2 = 3400$. Przez 25: mnożymy przez 100 i dzielimy przez 4, np. $36 \cdot 25 = 3600 : 4 = 900$.

28.Nawiasy w wyrażeniu

Jeśli w wyrażeniu są nawiasy, zaczynamy od obliczeń w nawiasach: $4 \cdot (6 + 3) = 4 \cdot 9 = 36$, $(25 - 7) : 6 = 18 : 6 = 3$. Bez nawiasu wynik jest inny: $4 \cdot 6 + 3 = 24 + 3 = 27$.

29.Mnożenie i dzielenie przed dodawaniem i odejmowaniem

Mnożenie i dzielenie wykonujemy zawsze przed dodawaniem i odejmowaniem: $7 + 4 \cdot 5 = 7 + 20 = 27$, $30 - 18 : 6 = 30 - 3 = 27$. Częsty błąd to liczenie od lewej: $7 + 4 = 11$, $11 \cdot 5 = 55$.

30.Kiedy liczymy od lewej do prawej?

Gdy obok siebie stoją tylko dodawanie i odejmowanie albo tylko mnożenie i dzielenie, liczymy od lewej do prawej: $40 - 15 + 5 = 25 + 5 = 30$, a nie $40 - 20 = 20$. Tak samo $48 : 6 \cdot 2 = 8 \cdot 2 = 16$, a nie $48 : 12 = 4$.

31.Potęgowanie w wyrażeniu

Potęgowanie wykonujemy przed innymi działaniami: $3 \cdot 4^2 = 3 \cdot 16 = 48$, $2^3 + 3^2 = 8 + 9 = 17$. Gdy potęga stoi przy nawiasie, najpierw liczymy nawias: $(2 + 3)^2 = 5^2 = 25$.

32.Kolejność działań

1. Działania w nawiasach. 2. Potęgowanie. 3. Mnożenie i dzielenie od lewej do prawej. 4. Dodawanie i odejmowanie od lewej do prawej. Np. $2 \cdot (9 - 4)^2 - 10 : 5 = 2 \cdot 5^2 - 10 : 5 = 2 \cdot 25 - 10 : 5 = 50 - 2 = 48$.

33.Mnożenie przez sumę lub różnicę w nawiasie

Możemy najpierw obliczyć nawias: $6 \cdot (10 + 3) = 6 \cdot 13 = 78$. Ten sam wynik otrzymamy, gdy pomnożymy przez 6 każdą liczbę z nawiasu i dodamy wyniki: $6 \cdot 10 + 6 \cdot 3 = 60 + 18 = 78$. Przy różnicy wyniki odejmujemy: $4 \cdot (25 - 2) = 4 \cdot 25 - 4 \cdot 2 = 100 - 8 = 92$.

34.Jak zapisać treść zadania jednym wyrażeniem?

Sumę albo różnicę, którą trzeba obliczyć najpierw, bierzemy w nawias. Liczba 5 razy większa od sumy liczb 8 i 4 to $5 \cdot (8 + 4) = 60$, a nie $5 \cdot 8 + 4 = 44$. Iloczynu nie trzeba brać w nawias: liczba o 7 mniejsza od iloczynu liczb 6 i 9 to $6 \cdot 9 - 7 = 47$.

35.Jak odgadnąć liczbę ukrytą w działaniu?

Liczymy od końca, wykonując działania odwrotne: zamiast odejmowania - dodawanie, zamiast mnożenia - dzielenie. $4 \cdot \square - 6 = 30$: przed odjęciem 6 było $30 + 6 = 36$, więc $4 \cdot \square = 36$ i $\square = 36 : 4 = 9$. Sprawdzamy: $4 \cdot 9 - 6 = 30$.

36.Szacowanie wyniku

Oszacować wynik to określić jego przybliżoną wartość bez dokładnych obliczeń. Szacujemy np. przy zakupach i wtedy, gdy chcemy sprawdzić, czy dokładny wynik ma sens: $52 \cdot 198$ to około $50 \cdot 200 = 10\,000$, więc wynik 1296 jest na pewno błędny.

37.Szacowanie sumy i różnicy

Liczby zastępujemy pobliskimi pełnymi setkami i sprawdzamy, czy je zmniejszyliśmy, czy zwiększyliśmy. $412 + 335 > 400 + 300 = 700$, bo oba składniki zmniejszyliśmy. $189 + 296 < 200 + 300 = 500$, bo oba zwiększyliśmy. Różnica jest większa, gdy odjemna jest większa, a odjemnik mniejszy: $915 - 296 > 900 - 300 = 600$.

38.Szacowanie iloczynu

Czynnik zastępujemy pobliską pełną dziesiątką albo setką. $4 \cdot 198 < 4 \cdot 200 = 800$, bo $198 < 200$. $6 \cdot 312 > 6 \cdot 300 = 1800$, bo $312 > 300$. Tak sprawdzimy np., czy 800 zł wystarczy na 4 rzeczy po 198 zł - wystarczy.

39.Szacowanie ilorazu

Dzielną zastępujemy pobliską liczbą, która łatwo dzieli się przez dzielnik. $365 : 9$ to około 40, bo $360 : 9 = 40$. Za 145 zł kupimy 20 książeczek po 7 zł, bo $140 : 7 = 20$, a na 21. książeczkę zabraknie: $7 \cdot 21 = 147$.