Dzielenie z resztą, podzielność, potęgi - Klucz do matematyki 4 cz. 1

1.Dzielenie z resztą

Dzielimy z resztą, gdy liczby nie da się podzielić równo. Np. 17 kulek dzielimy na grupy po 5: są 3 grupy i zostają 2 kulki. Zapisujemy $17 : 5 = 3 \text{ r } 2$, a czytamy: 17 podzielić przez 5 równa się 3 reszta 2.

2.Nazwy liczb w dzieleniu z resztą

W zapisie $23 : 4 = 5 \text{ r } 3$ liczba 23 to dzielna, 4 to dzielnik, 5 to wynik dzielenia, a 3 to reszta. Reszta mówi, ile zostało po utworzeniu pełnych grup.

3.Jak podzielić z resztą?

1) Sprawdzamy, ile razy dzielnik mieści się w dzielnej. 2) Mnożymy ten wynik przez dzielnik. 3) Odejmujemy iloczyn od dzielnej - to reszta. Np. dla $29 : 6$: 6 mieści się 4 razy, $4 \cdot 6 = 24$, $29 - 24 = 5$, więc $29 : 6 = 4 \text{ r } 5$.

4.Jak znaleźć wynik w tabliczce mnożenia?

W tabliczce mnożenia przez dzielnik szukamy dwóch sąsiednich wyników, między którymi leży dzielna. Np. dla $52 : 8$: 52 leży między $6 \cdot 8 = 48$ a $7 \cdot 8 = 56$. Wynik to 6, a reszta to $52 - 48 = 4$, czyli $52 : 8 = 6 \text{ r } 4$.

5.Sprawdzenie dzielenia z resztą

Wynik mnożymy przez dzielnik i dodajemy resztę. Musi wyjść dzielna. Np. dla $29 : 6 = 4 \text{ r } 5$ sprawdzenie to $4 \cdot 6 + 5 = 24 + 5 = 29$, więc dzielenie jest dobre.

6.Jak duża może być reszta?

Reszta jest zawsze mniejsza niż liczba, przez którą dzielimy (dzielnik). Przy dzieleniu przez 4 reszta może być równa 0, 1, 2 albo 3. Gdyby zostały 4 lub więcej, utworzylibyśmy jeszcze jedną grupę.

7.Reszta równa 0

Gdy reszta wynosi 0, nic nie zostaje - dzielenie wychodzi równo. Np. $24 : 6 = 4 \text{ r } 0$, czyli po prostu $24 : 6 = 4$.

8.Dzielenie mniejszej liczby przez większą

Gdy dzielna jest mniejsza od dzielnika, nie powstaje ani jedna grupa. Wynik to 0, a reszta jest równa dzielnej. Np. $3 : 8 = 0 \text{ r } 3$, sprawdzenie: $0 \cdot 8 + 3 = 3$.

9.Jak obliczyć dzielną z wyniku i reszty?

Mnożymy wynik przez dzielnik i dodajemy resztę. Np. liczba, którą podzielono przez 6 i otrzymano 7 r 2, to $7 \cdot 6 + 2 = 42 + 2 = 44$.

10.Zadanie z resztą: ile kupimy albo ile pełnych grup?

Gdy pytamy, ile rzeczy kupimy albo ile pełnych grup ułożymy, odpowiedzią jest wynik dzielenia, a reszta zostaje. Np. zeszyt kosztuje 3 zł, a mamy 20 zł: $20 : 3 = 6 \text{ r } 2$, więc kupimy 6 zeszytów i zostaną 2 zł.

11.Zadanie z resztą: ile potrzeba?

Gdy pytamy, ile potrzeba pojazdów, pudełek albo miejsc dla wszystkich, a jest reszta, do wyniku dodajemy 1 - reszta też musi się zmieścić. Np. 26 dzieci, łódka dla 4 osób: $26 : 4 = 6 \text{ r } 2$, więc potrzeba 7 łódek.

12.Liczba podzielna przez drugą liczbę

Liczba jest podzielna przez drugą liczbę, gdy przy dzieleniu przez nią daje resztę 0, czyli dzieli się bez reszty. Np. 42 jest podzielna przez 7, bo $42 : 7 = 6$.

13.Liczba, która nie jest podzielna przez drugą liczbę

Gdy przy dzieleniu zostaje reszta różna od 0, liczba nie jest podzielna przez dzielnik. Np. $45 : 7 = 6 \text{ r } 3$, więc 45 nie jest podzielna przez 7.

14.Jak sprawdzić podzielność tabliczką mnożenia?

Sprawdzamy, czy liczba jest wynikiem w tabliczce mnożenia przez dzielnik. 56 jest podzielna przez 8, bo $7 \cdot 8 = 56$. 50 nie jest podzielna przez 8, bo leży między 48 a 56.

15.Cecha podzielności przez 10

Liczba naturalna jest podzielna przez 10, gdy jej ostatnią cyfrą jest 0. Np. 70, 430 i 2010 są podzielne przez 10, a 405 i 1001 nie są.

16.Cecha podzielności przez 5

Liczba naturalna jest podzielna przez 5, gdy jej ostatnią cyfrą jest 0 lub 5. Np. 65, 380 i 1205 są podzielne przez 5, a 52 i 503 nie są.

17.Cecha podzielności przez 2

Liczba naturalna jest podzielna przez 2, gdy jej ostatnią cyfrą jest 0, 2, 4, 6 lub 8. Np. 34, 596 i 1000 są podzielne przez 2, a 27 i 413 nie są.

18.Cechy podzielności przez 10, 5 i 2 - co je łączy?

We wszystkich trzech cechach patrzymy tylko na ostatnią cyfrę liczby. Liczba z ostatnią cyfrą 0, np. 340, jest podzielna naraz przez 10, przez 5 i przez 2. Liczba z ostatnią cyfrą 5, np. 345, jest podzielna przez 5, ale nie przez 2 i nie przez 10.

19.Liczby parzyste i nieparzyste

Liczby podzielne przez 2 nazywamy liczbami parzystymi - kończą się cyfrą 0, 2, 4, 6 lub 8, np. 58. Liczby naturalne, które nie są podzielne przez 2, nazywamy nieparzystymi - kończą się cyfrą 1, 3, 5, 7 lub 9, np. 361.

20.Kiedy wszystkich da się ustawić w pary?

Gdy liczba osób jest parzysta. 26 osób utworzy 13 par. Przy 25 osobach jedna zostanie bez pary, bo $25 : 2 = 12 \text{ r } 1$.

21.Potęgowanie

Mnożenie takich samych liczb zapisujemy krócej za pomocą potęgowania: $6 \cdot 6 = 6^2$ (2 czynniki, druga potęga), $6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^3$ (3 czynniki, trzecia potęga). Mała liczba u góry, czyli wykładnik, mówi, ile jest takich samych czynników.

22.Druga potęga - kwadrat

Druga potęga liczby to iloczyn dwóch takich samych czynników, np. $7^2 = 7 \cdot 7 = 49$. Nazywamy ją też kwadratem. Kwadrat o boku 3 kratek ma 3 rzędy po 3 kratki, czyli $3^2 = 3 \cdot 3 = 9$ kratek.

23.Trzecia potęga - sześcian

Trzecia potęga liczby to iloczyn trzech takich samych czynników, np. $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$. Nazywamy ją też sześcianem. Sześcian z klocków o krawędzi 3 klocków ma 3 warstwy po 3 rzędy po 3 klocki, czyli $3^3 = 27$ klocków.

24.Jak można przeczytać zapis $9^2$?

Na trzy sposoby: dziewięć do potęgi drugiej, dziewięć do kwadratu albo kwadrat liczby dziewięć.

25.Jak można przeczytać zapis $6^3$?

Na trzy sposoby: sześć do potęgi trzeciej, sześć do sześcianu albo sześcian liczby sześć.

26.Kwadraty i sześciany liczb 0 i 1

Zero razy zero to zero, a jeden razy jeden to jeden, więc $0^2 = 0$, $0^3 = 0$, $1^2 = 1$ i $1^3 = 1$.

27.Potęgowanie to nie mnożenie przez wykładnik

Nie myl potęgi z mnożeniem przez 2 lub 3. $6^2 = 6 \cdot 6 = 36$, a $6 \cdot 2 = 12$. $3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$, a $3 \cdot 3 = 9$.

28.Zapis iloczynu w postaci potęgi i odwrotnie

Liczymy takie same czynniki: dwa to druga potęga, trzy to trzecia potęga. Np. $16 \cdot 16 = 16^2$ i $21 \cdot 21 \cdot 21 = 21^3$. Potęgę rozpisujemy odwrotnie: $30^2 = 30 \cdot 30$.

29.Jak obliczyć sześcian liczby?

Rozpisujemy potęgę na iloczyn i mnożymy po kolei od lewej. Np. $4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4$: najpierw $4 \cdot 4 = 16$, potem $16 \cdot 4 = 64$, więc $4^3 = 64$.

30.Kwadraty liczb od 1 do 10

$1^2 = 1$, $2^2 = 4$, $3^2 = 9$, $4^2 = 16$, $5^2 = 25$, $6^2 = 36$, $7^2 = 49$, $8^2 = 64$, $9^2 = 81$, $10^2 = 100$. Pomagają szybko zgadnąć liczbę, gdy znamy jej kwadrat, np. $?^2 = 49$, więc ? = 7.

31.Potęgi w zadaniach z rozgałęzianiem

Gdy każda z 3 rzeczy dzieli się na 3 części, a każda z nich znowu na 3, na końcu jest $3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^3 = 27$ części. Np. 3 pudła, w każdym 3 pudełka, w każdym pudełku 3 kredki - razem 27 kredek.

32.Kolejność wykonywania działań

1. Działania w nawiasach. 2. Potęgowanie. 3. Dzielenie i mnożenie (w kolejności występowania). 4. Odejmowanie i dodawanie (w kolejności występowania).

33.Najpierw działania w nawiasach

Działanie w nawiasie wykonujemy przed innymi. $20 - (8 + 4) = 20 - 12 = 8$. Bez nawiasu wynik jest inny: $20 - 8 + 4 = 12 + 4 = 16$.

34.Dodawanie i odejmowanie w kolejności występowania

Gdy są tylko dodawanie i odejmowanie, liczymy po kolei od lewej. $15 - 7 + 2 = 8 + 2 = 10$. Błędem jest dodać najpierw $7 + 2$ - wychodzi wtedy 6.

35.Dzielenie i mnożenie w kolejności występowania

Gdy są tylko dzielenie i mnożenie, liczymy po kolei od lewej. $24 : 4 \cdot 2 = 6 \cdot 2 = 12$. Błędem jest pomnożyć najpierw $4 \cdot 2$ - wychodzi wtedy 3.

36.Mnożenie i dzielenie przed dodawaniem i odejmowaniem

Mnożenie i dzielenie wykonujemy przed dodawaniem i odejmowaniem, nawet gdy stoją dalej. $5 + 4 \cdot 3 = 5 + 12 = 17$, a nie $9 \cdot 3 = 27$. $40 - 12 : 4 = 40 - 3 = 37$.

37.Potęgowanie przed mnożeniem i dodawaniem

Potęgę obliczamy przed mnożeniem, dzieleniem, dodawaniem i odejmowaniem. $3 + 4^2 = 3 + 16 = 19$. $2 \cdot 3^2 = 2 \cdot 9 = 18$, a nie $6^2 = 36$.

38.Dwa mnożenia lub dzielenia rozdzielone dodawaniem

Najpierw wykonujemy mnożenie i dzielenie, potem dodajemy albo odejmujemy wyniki. $12 : 3 + 2 \cdot 5 = 4 + 2 \cdot 5 = 4 + 10 = 14$.

39.Wyrażenie z różnymi działaniami krok po kroku

Liczymy według kolejności działań i zapisujemy kolejne kroki jedno pod drugim. $30 - 2 \cdot 3^2 + 4 = 30 - 2 \cdot 9 + 4 = 30 - 18 + 4 = 12 + 4 = 16$.

40.Jak nawiasy zmieniają wynik?

Nawias mówi, które działanie wykonać najpierw, więc może zmienić wynik. $(3 + 5) \cdot 2 = 8 \cdot 2 = 16$, a $3 + 5 \cdot 2 = 3 + 10 = 13$.