Prostokąty, wielokąty i obwód - Klucz do matematyki 4 cz. 1

1.Prostokąt i jego wierzchołki

Prostokąt ma cztery wierzchołki. Nazywając prostokąt, wymieniamy wierzchołki po kolei, tak jakbyśmy go obchodzili dookoła: ABCD. Ten sam prostokąt to też BCDA albo CDAB. Nie wolno przeskakiwać wierzchołków, więc ACBD to zła nazwa.

2.Boki prostokąta

Prostokąt ma cztery boki: w prostokącie ABCD to odcinki AB, BC, CD i DA. Każdy prostokąt ma dwie pary boków równych i równoległych: AB i CD oraz BC i DA. Na rysunku AB i CD mają po 9 cm, a BC i DA - po 5 cm.

3.Kąty prostokąta

Sąsiednie boki prostokąta, np. AB i BC, są prostopadłe. Tworzą kąty proste - prostokąt ma ich cztery. Czy kąt jest prosty, sprawdzamy ekierką.

4.Jak narysować prostokąt na gładkiej kartce?

Rysujemy przy linijce bok AB. Przy punktach A i B rysujemy ekierką odcinki prostopadłe do AB i odmierzamy na nich długość drugiego boku. Łączymy końce tych odcinków. Bez ekierki prostokąt łatwo wychodzi krzywy.

5.Jak narysować prostokąt na kartce w kratkę?

Rysujemy po liniach kratki - wtedy kąty proste wychodzą same. Długości odliczamy w kratkach: 2 kratki to 1 cm. Prostokąt o bokach 4 cm i 3 cm ma boki długości 8 kratek i 6 kratek.

6.Kwadrat

Kwadrat to prostokąt, który ma wszystkie boki równe. W kwadracie KLMN: $KL = LM = MN = NK$. Jak każdy prostokąt ma cztery kąty proste.

7.Czy każdy kwadrat jest prostokątem?

Tak. Kwadrat ma cztery kąty proste i dwie pary boków równych i równoległych, czyli wszystko, co ma prostokąt. Ale nie każdy prostokąt jest kwadratem - tylko taki, który ma wszystkie boki równe.

8.Obrócony prostokąt i kwadrat

Prostokąt albo kwadrat obrócony na kartce, np. stojący na wierzchołku, nadal jest tą samą figurą. Obrót nie zmienia długości boków ani kątów prostych. Sprawdzamy to linijką i ekierką.

9.Przekątna prostokąta

Przekątna prostokąta to odcinek, który łączy dwa wierzchołki prostokąta i nie jest jego bokiem. Każdy prostokąt ma dwie przekątne: w prostokącie ABCD są to odcinki AC i BD.

10.Przekątne prostokąta i kwadratu - własności

Przekątne prostokąta mają równe długości. Przecinają się w punkcie, który dzieli każdą z nich na połowy. W kwadracie przekątne są dodatkowo prostopadłe.

11.Trójkąt

Trójkąt ma trzy boki, trzy kąty i trzy wierzchołki.

12.Czworokąt

Czworokąt ma cztery boki, cztery kąty i cztery wierzchołki. Każdy prostokąt i każdy kwadrat jest czworokątem. Czworokątem jest też figura w kształcie grotu strzałki.

13.Pięciokąt

Pięciokąt ma pięć boków, pięć kątów i pięć wierzchołków. Może mieć wcięcie - liczy się tylko liczba boków.

14.Wielokąty

Trójkąty, czworokąty, pięciokąty, sześciokąty i kolejne nazywamy wielokątami. Wielokąt ma tyle samo boków, kątów i wierzchołków. Liczba w nazwie mówi, ile ich jest: ośmiokąt ma 8 boków, 8 kątów i 8 wierzchołków.

15.Jak rozpoznać wielokąt?

Brzeg wielokąta składa się z samych odcinków, które zamykają figurę. Koło, owal i figury z łukiem albo zaokrąglonymi rogami nie są wielokątami. Sam odcinek też nie jest wielokątem.

16.Jak nazwać wielokąt literami?

Wymieniamy wierzchołki po kolei, tak jakbyśmy obchodzili wielokąt dookoła, zaczynając od dowolnego z nich. Pięciokąt z rysunku to ABCDE albo CDEAB. Zapis ACBDE jest zły, bo przeskakuje wierzchołki.

17.Przekątna wielokąta

Przekątna wielokąta to odcinek, który łączy dwa jego wierzchołki i nie jest bokiem. Odcinek łączący dwa sąsiednie wierzchołki to bok, a nie przekątna.

18.Ile przekątnych wychodzi z jednego wierzchołka wielokąta?

Z wierzchołka prowadzimy przekątne do wszystkich innych wierzchołków oprócz dwóch sąsiednich. W sześciokącie z jednego wierzchołka wychodzą 3 przekątne, bo $6 - 3 = 3$: odejmujemy ten wierzchołek i dwa sąsiednie.

19.Ile przekątnych ma trójkąt, czworokąt, pięciokąt i sześciokąt?

Trójkąt nie ma przekątnych - każde dwa jego wierzchołki łączy bok. Czworokąt ma 2 przekątne, pięciokąt - 5, a sześciokąt - 9. Każdą przekątną liczymy tylko raz, choć ma dwa końce.

20.Przekątna, która leży poza wielokątem

W czworokącie w kształcie grotu strzałki jedna przekątna leży wewnątrz figury, a druga - na zewnątrz. Obie są przekątnymi, bo łączą dwa wierzchołki i nie są bokami.

21.Wielokąty wokół nas

Znaki drogowe mają kształty wielokątów: znak „stop” to ośmiokąt, znaki ostrzegawcze to trójkąty, a wiele znaków informacyjnych to prostokąty. Okrągły znak nie jest wielokątem.

22.Obwód wielokąta

Obwód wielokąta to suma długości jego boków. Trójkąt o bokach 4 cm, 5 cm i 6 cm ma obwód: $\mathrm{Obw.} = 4 + 5 + 6 = 15~[\mathrm{cm}]$.

23.Jak zapisać obliczenie obwodu?

Piszemy skrót Obw., sumę długości boków i wynik. Gdy wszystkie boki są podane w tej samej jednostce, zapisujemy ją raz, na końcu, w nawiasie: $\mathrm{Obw.} = 2 + 3 + 5 + 6 = 16~[\mathrm{cm}]$.

24.Skąd wziąć długości boków do obliczenia obwodu?

Gdy w zadaniu nie ma polecenia „zmierz”, długości boków odczytujemy z podpisów na rysunku. Gdy jest polecenie „zmierz”, najpierw mierzymy boki linijką, a potem je dodajemy.

25.Szkic

Szkic to rysunek pomocniczy do zadania. Boki mogą mieć na nim dowolną długość, ale podpisujemy je tak, jak podano w treści zadania. Szkic pomaga nie pominąć żadnego boku.

26.Jak obliczyć obwód prostokąta?

Prostokąt ma dwa boki długości a i dwa boki długości b, więc $\mathrm{Obw.} = 2 \cdot a + 2 \cdot b$. Prostokąt o bokach 7 cm i 4 cm: $\mathrm{Obw.} = 2 \cdot 4 + 2 \cdot 7 = 8 + 14 = 22~[\mathrm{cm}]$. Można też dodać po kolei wszystkie cztery boki.

27.Obwód prostokąta z sumy sąsiednich boków

Dodajemy długości dwóch sąsiednich boków i mnożymy wynik przez 2, bo druga para boków jest taka sama. Najpierw liczymy w nawiasie: $\mathrm{Obw.} = 2 \cdot (7 + 4) = 2 \cdot 11 = 22~[\mathrm{cm}]$.

28.Wymiary prostokąta

Wymiary prostokąta to długości jego dwóch sąsiednich boków. Zapisujemy je ze znakiem $\times$, np. $7~\mathrm{cm} \times 4~\mathrm{cm}$. Taki zapis znaczy: boki prostokąta mają 7 cm i 4 cm.

29.Obwód kwadratu

Kwadrat ma cztery równe boki, więc jego obwód to cztery razy długość boku. Kwadrat o boku 6 cm: $\mathrm{Obw.} = 4 \cdot 6 = 24~[\mathrm{cm}]$, tak samo jak $6 + 6 + 6 + 6 = 24$.

30.Obwód, gdy boki są podane w różnych jednostkach

Zanim dodamy, zamieniamy wszystkie długości na tę samą jednostkę. Trójkąt o bokach 80 mm, 10 cm i 12 cm: $80~\mathrm{mm} = 8~\mathrm{cm}$, więc $\mathrm{Obw.} = 8 + 10 + 12 = 30~[\mathrm{cm}]$.

31.Obwód figury, która nie jest wielokątem

Taka figura nie ma boków do dodania. Jej przybliżony obwód wyznaczamy sznurkiem: otaczamy nim figurę, a potem mierzymy długość sznurka.

32.Obwód w życiu codziennym

Obwód obliczamy, gdy coś biegnie dookoła figury: płot wokół działki, koronka wokół serwetki, listwa wzdłuż ścian pokoju. Gdy w płocie jest brama, jej szerokość odejmujemy od obwodu.

33.Jak obliczyć brakujący bok trójkąta, gdy znamy obwód?

Od obwodu odejmujemy sumę znanych boków. Obwód trójkąta to 20 cm, a dwa boki mają po 7 cm: $7 + 7 = 14$, $20 - 14 = 6$, więc trzeci bok ma 6 cm.

34.Jak obliczyć drugi bok prostokąta, gdy znamy obwód?

Obwód prostokąta to 26 cm, a jeden bok ma 8 cm. Dwa takie boki mają razem $2 \cdot 8 = 16$ cm. Na dwa pozostałe boki zostaje $26 - 16 = 10$ cm, więc każdy z nich ma $10 : 2 = 5$ cm.

35.Jak obliczyć bok kwadratu, gdy znamy obwód?

Kwadrat ma cztery równe boki, więc obwód dzielimy przez 4. Kwadrat o obwodzie 28 cm ma bok $28 : 4 = 7$ cm. Sprawdzenie: $4 \cdot 7 = 28$.

36.Różne prostokąty o tym samym obwodzie

Różne prostokąty mogą mieć ten sam obwód. Obwód 14 cm mają np. prostokąty o wymiarach $6~\mathrm{cm} \times 1~\mathrm{cm}$, $5~\mathrm{cm} \times 2~\mathrm{cm}$ i $4~\mathrm{cm} \times 3~\mathrm{cm}$, bo w każdym suma dwóch sąsiednich boków to 7 cm.